2023年备战2023年数学中考————初中平面几何定理公理总结.docx

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1、2023年备战2023年数学中考初中平面几何定理公理总结 第一篇：备战2023年数学中考初中平面几何定理公理总结 初中平面几何定理公理总结 一、线与角 1、两点之间，线段最短 2、经过两点有一条直线，并且只有一条直线 3、对顶角相等；同角的余角或补角相等；等角的余角或补角相等 4、经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 5、1经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 2假如两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行 6、平行线的判定： 1同位角相等，两直线平行2内错角相等，两直线平行3同旁内角互补，两直线平行 7、平行线的特征： 1两直线平行，同位角相等2两直线

2、平行，内错角相等3两直线平行，同旁内角互补 8、角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 角平分线的判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 9、线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等 线段垂直平分线的判定：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上二、三角形、多边形 10、三角形中的有关公理、定理： 1三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角三角形的外角和等于360 2三角形内角和定理：三角形的内角和等于180 3三角形的任何两边的和大于第三边 4三

3、角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 11、多边形中的有关公理、定理： 1多边形的内角和定理：n边形的内角和等于n2180 2多边形的外角和定理：随便多边形的外角和都为360 3欧拉公式：顶点数 + 面数棱数=22、假如图形关于某始终线对称，那么连结对应点的线段被对称轴垂直平分 13、等腰三角形中的有关公理、定理： 1等腰三角形的两个底角相等简写成“等边对等角 2假如一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等简写成“等角对等边 3等腰三角形的“三线合一定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一 4等边三角形的各个内角都相

4、等，并且每一个内角都等于60 5三边都相等的三角形叫做等边三角形；有一个角等于600的等腰三角形是等边三角形； 三个角都相等的三角形是等边三角形 14、直角三角形的有关公理、定理： 1直角三角形的两个锐角互余 2勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 3勾股定理逆定理：假如一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形 4直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 5在直角三角形中，假如一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半 三、特殊四边形 15、平行四边形的性质： 1平行四边形的对边平行且相等2平行四边形的对角相等3平行四边形的对角线互相平分.1

5、6、平行四边形的判定: 1两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 3两组对边分别相等的四边形是平行四边形 4两组对角分别相等的四边形是平行四边形 5对角线互相平分的四边形是平行四边形 17、平行线之间的距离处处相等 18、矩形的性质： 1矩形的四个角都是直角2矩形的对角线相等且互相平分 19、矩形的判定：1有一个角是直角的平行四边形是矩形2有三个角是直角的四边形是矩形3对角线相等的平行四边形是矩形 20、菱形的性质： 1菱形的四条边都相等2菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角 21、菱形的判定：1有一组邻边相等的平行四边形是菱形2四条边

6、相等的四边形是菱形3对角线互相垂直的平行四边形是菱形 22、正方形的性质： 1正方形的四个角都是直角2正方形的四条边都相等 3正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角 23、正方形的判定： 1有一个角是直角的菱形是正方形 2有一组邻边相等的矩形是正方形 3两条对角线垂直的矩形是正方形 4两条对角线相等的菱形是正方形 梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形 24、等腰梯形的判定： 1同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形 2两条对角线相等的梯形是等腰梯形 25、等腰梯形的性质： 1等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等 2等腰梯形的两条对角线相等 26、梯形

7、的中位线平行于梯形的两底边，并且等于两底和的一半 四、相像形与全等形 27、相像多边形的性质： 1相像多边形的对应边成比例2相像多边形的对应角相等 3相像多边形周长的比等于相像比 4相像多边形的面积比等于相像比的平方 5相像三角形的对应角相等，对应边成比例；相像三角形对应高的比，对应中线的比，都等于相像比；相像三角形周长的比等于相像比；相像三角形的面积比等于相像比的平方 28、相像三角形的判定： 1假如一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相像 2假如一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相像 3假如一个三角形的三条边和另

8、一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相像 29、全等多边形的对应边、对应角分别相等 30、全等三角形的判定： 1假如两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等S.S.S. 2假如两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等S.A.S. 3假如两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等(A.S.A.) 4有两个角及其中一个角的对边分别对应相等的两个三角形全等A.A.S. 5假如两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等H.L. 五、圆 31、1在同圆或等圆中，假如两个圆心角，两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对

9、应的其余各组量都分别相等；2半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90直角； 390的圆周角所对的弦是圆的直径 32、在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等 33、不在同一条直线上的三个点确定一个圆 34、1经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线2圆的切线垂直于过切点的半径 35、从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角 36、圆的内接四边形对角互补，外角等于内对角 37、垂径定理及推论：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分所对的弧；平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 六

10、、变换 37、轴对称：1关于某条直线对称的两个图形是全等形；假如两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；2两个图形关于某直线对称，假如它们的对应线段或延长线相交，交点确定在对称轴上；3两个图形关于某直线对称，假如它们的对应线段或延长线相交，交点确定在对称轴上；4假如两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 38、平移：1平移不变更图形的形态和大小(即平移前后的两个图形全等)；2对应线段平行且相等或在同始终线上,对应角相等；3经过平移,两个对应点所连的线段平行或在同始终线上且相等.39、旋转：1旋转不变更图形的形态和大小(即旋转前后的两个图形

11、全等)2随便一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等(都是旋转角)3经过旋转,对应点到旋转中心的距离相等 40、中心对称：1关于中心对称的两个图形是全等形；2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心；3假如两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称 41、位似：1假如两个图形不仅相像,而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相像比又称为位似比；2位似图形上的随便一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 其次篇：初中平面几何重要定理汇总 初中平面几何重要定理汇总 1、勾股定理(毕达哥拉斯定

12、理)直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边是c；则a*a+b*b=c*c 2、射影定理(欧几里得定理)(直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式RtABC中,BAC=90,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:(1)(AD)2;=BDDC,(2)(AB)2;=BDBC ,(3)(AC)2;=CDBC。等积式(4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明) 3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分 4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点 5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的

13、两个三角形的重心是重合的。 6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。 7、三角形的三条高线交于一点 8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL 9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线(欧拉线)上。 10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同始终线(欧拉线)上 12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆) 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四

14、个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s为三角形周长的一半 14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点 15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2) 16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有nAB2+mAC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2 17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两

15、定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上 19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有ABCD+ADBC=ACBD 20、以随便三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰BDC、CEA、AFB，则DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若ABC和DEF都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的中心构成的三角形也是正三角形。 22、爱尔可斯定理2：若ABC、DEF、GHI都是正三角形，则由三角形ADG、BEH、CFI的重心构成的三角形是正三角形。 23、梅涅劳斯定理：设ABC的三边BC、C

16、A、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有BPPCCQQAARRB=1 24、梅涅劳斯定理的逆定理：(略) 25、梅涅劳斯定理的应用定理1：设ABC的A的外角平分线交边CA于Q、C的平分线交边AB于R，、B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线。 26、梅涅劳斯定理的应用定理2：过随便ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线 27、塞瓦定理：设ABC的三个顶点A、B、C的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连接面成的三条直线，分别与边BC、CA、AB或它们的延长线交于点P、Q、R，则

17、BPPCCQQAARRB()=1.28、塞瓦定理的应用定理：设平行于ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS确定过边BC的中心M 29、塞瓦定理的逆定理：(略) 30、塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点 31、塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点。 32、西摩松定理：从ABC的外接圆上随便一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，(这条直线叫西摩松线) 33、西摩松定理的逆定理：(略) 34、史坦纳定理：

18、设ABC的垂心为H，其外接圆的随便点P，这时关于ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心。 35、史坦纳定理的应用定理：ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和ABC的垂心H同在一条(与西摩松线平行的)直线上。这条直线被叫做点P关于ABC的镜象线。 36、波朗杰、腾下定理：设ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2).37、波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于PQR的的西摩松线交于与前相同的一点 38、波朗杰、腾下

19、定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点。 39、波朗杰、腾下定理推论3：考查ABC的外接圆上的一点P的关于ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆珠笔的弦，则三点P、Q、R的关于ABC的西摩松线交于一点 40、波朗杰、腾下定理推论4：从ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于ABC的西摩松线交于一点。 41、关于西摩松线的定理1：ABC的外接圆的两

20、个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上。 42、关于西摩松线的定理2(清静定理)：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点。 43、卡诺定理：通过ABC的外接圆的一点P，引与ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线。 44、奥倍尔定理：通过ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在ABC的外接圆取一点P，则PL、PM、PN与ABC的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E

21、、F三点共线 45、清宫定理：设P、Q为ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线 46、他拿定理：设P、Q为关于ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，假如QU、QV、QW与边BC、CA、AB或其延长线的交点分别为ED、E、F，则D、E、F三点共线。(反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，假如OC2=OQOP 则称P、Q两点关于圆O互为反点) 47、朗古来定理：在同一圆同上有A1B1C1

22、D14点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上。 48、九点圆定理：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点九点共圆,或欧拉圆,费尔巴哈圆.49、一个圆周上有n个点，从其中随便n-1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点。 50、康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中随便n-2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点。 51、康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N点关于四个三角形BCD、CDA、DAB、ABC中的每一个的两条西摩松的交点在同始终线上。这

23、条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线。 52、康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点。这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点。 53、康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上。这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线。 54、费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相

24、切。 55、莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。 56、牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三条共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。 57、牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。 58、笛沙格定理1：平面上有两个三角形ABC、DEF，设它们的对应顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点，这时假如对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。 59、笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形ABC、DEF，设它们的对应顶点(A和

25、D、B和E、C和F)的连线交于一点，这时假如对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。 60、布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B和E、C和F，则这三线共点。 60、巴斯加定理：圆内接六边形ABCDEF相对的边AB和DE、BC和EF、CD和FA的(或延长线的)交点共线。 第三篇：初中平面几何的60个定理 1、勾股定理(毕达哥拉斯定理)小学都应当驾驭的重要定理 2、射影定理(欧几里得定理)重要 3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分 重要 4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点 学习中位线时的一个常见问题，中考不需要，初中

26、竞赛需要 5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 完全没有意义，学习解析几何后明显的结论，不用知道 6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。重要 7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点 重要 8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL 中考不需要，竞赛中很明显的结论 9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。 中学竞赛中特殊重要的定理，称为欧拉线 10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，中学竞赛中的常用定理 11、欧

27、拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同始终线(欧拉线)上 中学竞赛中会用，不常用 12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆)圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 中学竞赛的题目，不用驾驭 13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)ss为三角形周长的一半 重要 14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点 重要 15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(

28、AP2+BP2)初中竞赛需要，重要 16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有nAB2+mAC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2 中学竞赛需要，重要 17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 明显的结论，不需要驾驭 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上 中学竞赛需要，重要 19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有ABCD+ADBC=AC 初中竞赛需要，重要 20、以随便三角形ABC的边BC、

29、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰BDC、CEA、AFB，则DEF是正三角形，学习复数后是明显的结论，不需要驾驭 21、爱尔可斯定理1：若ABC和三角形都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。不需要驾驭 22、爱尔可斯定理2：若ABC、DEF、GHI都是正三角形，则由三角形ADG、BEH、CFI的重心构成的三角形是正三角形。 不需要驾驭 23、梅涅劳斯定理：设ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有 BPPCCQQAARRB=1 初中竞赛需要，重要 24、梅涅劳斯定理的逆定理：(略)初中竞赛需要，

30、重要 25、梅涅劳斯定理的应用定理1：设ABC的A的外角平分线交边CA于Q、C的平分线交边AB于R，、B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线。 不用驾驭 26、梅涅劳斯定理的应用定理2：过随便ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线 不用驾驭 27、塞瓦定理：设ABC的三个顶点A、B、C的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连接面成的三条直线，分别与边BC、CA、AB或它们的延长线交于点P、Q、R，则BPPCCQQAARRB()=1.初中竞赛需要，重要 28、塞瓦定理的应用定理：设平行于ABC的边BC的直线与两边

31、AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS确定过边BC的中心M 不用驾驭 29、塞瓦定理的逆定理：(略)初中竞赛需要，重要 30、塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点 这个定理用塞瓦定理来证明将毫无几何美感，应当用中位线证明才秀丽 31、塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点。 不用驾驭 32、西摩松定理：从ABC的外接圆上随便一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，(这条直线叫西摩松线)初中竞赛的常用定理 33、西摩松定理的逆定理：

32、(略)初中竞赛的常用定理 34、史坦纳定理：设ABC的垂心为H，其外接圆的随便点P，这时关于ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心。 不用驾驭 35、史坦纳定理的应用定理：ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和ABC的垂心H同在一条(与西摩松线平行的)直线上。这条直线被叫做点P关于ABC的镜象线。 不用驾驭 36、波朗杰、腾下定理：设ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2).不用驾驭 37、波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于ABC的西摩松线交于一点，则

33、A、B、C三点关于PQR的的西摩松线交于与前相同的一点 不用驾驭 38、波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点。 不用驾驭 39、波朗杰、腾下定理推论3：考查ABC的外接圆上的一点P的关于ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆珠笔的弦，则三点P、Q、R的关于ABC的西摩松线交于一点 不用驾驭 40、波朗杰、腾下定理推论4：从ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个

34、圆上，这时L、M、N点关于关于ABC的西摩松线交于一点。 不用驾驭 41、关于西摩松线的定理1：ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上。不用驾驭 42、关于西摩松线的定理2(清静定理)：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点。 不用驾驭 43、卡诺定理：通过ABC的外接圆的一点P，引与ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线。 不用驾驭 44、奥倍尔定理：通过ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与ABC的外接

35、圆的交点分别是L、M、N，在ABC的外接圆取一点P，则PL、PM、PN与ABC的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线 不用驾驭 45、清宫定理：设P、Q为ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线 不用驾驭 46、他拿定理：设P、Q为关于ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，假如QU、QV、QW与边BC、CA、AB或其延长线的交点分别为ED、E、F，则D、E、F

36、三点共线。(反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，假如OC2=OQOP 则称P、Q两点关于圆O互为反点)不用驾驭 47、朗古来定理：在同一圆同上有A1B1C1D14点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上。 不用驾驭 48、九点圆定理：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点九点共圆,或欧拉圆,费尔巴哈圆.上面已经有了 49、一个圆周上有n个点，从其中随便n-1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点。 不用驾驭 50、康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中随便n-2个

37、点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点。 不用驾驭 51、康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N点关于四个三角形BCD、CDA、DAB、ABC中的每一个的两条西摩松的交点在同始终线上。这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线。不用驾驭 52、康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点。这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点。 不用驾驭 53、康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及

38、M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上。这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线。 不用驾驭 54、费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切。 不用驾驭 55、莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。 这是我认为的平面几何中最秀丽最奇异的几个定理之一，但不用驾驭 56、牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三条共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。 中学

39、竞赛中常用 57、牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。 不用驾驭 58、笛沙格定理1：平面上有两个三角形ABC、DEF，设它们的对应顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点，这时假如对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。 中学竞赛中间或会用 59、笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形ABC、DEF，设它们的对应顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点，这时假如对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。60、布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B和E、C和F，则这三线共点。 中学竞赛中间或会用 60、巴斯加定理：圆内接六边形AB

40、CDEF相对的边AB和DE、BC和EF、CD和FA的(或延长线的)交点共线。中学竞赛中重要，一般称做帕斯卡定理，而且是圆锥曲线内接六边形。 第四篇：公理与定理 公理与定理 一、新知预习 1、人们在长期些真命题为。 2、说说本套教材公理化体系的十大公理。 3、以和的命题称为。 4、公理与定理的区分探讨 5、假如一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理称为，其中一个定理是另一个定理的。 二、问题探究 例题：以下定理有逆定理吗？假如有请写出来。 1、两直线平行，同位角相等。 2、线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。 3、对顶角相等 三、随堂训练 1、以下说法正确的选项是 1、任何一个命题

41、确定有一个逆命题。2、任何一个定理都有一个逆定理。 3、互逆的两个命题确定同真同假。4、互逆的两个定理确定都是真命题。 A、1个B、2个C、3个D、4个 2、“两直线平行，同旁内角互补这句话是 A、假命题B、定义C、公理D、定理 3、以下真命题是公理的是 A、对顶角相等B、同位角相等，两直线平行 C、等量加等量，和相等D、等角的补角相等 4、假如ABEF，CDEF，那么ABCD，这一推理的根据是 A、垂直B、；平行公理C、等量代换D、两直线平行，同位角相等 5、请写出以下定理(可查阅教材第146页152页附录) 三角形的中位线性质定理： 角平分线的性质定理： 勾股定理和它的逆定理： 第五篇：公

42、理与定理 2.3公理与定理 教学目标： 1、了解公理与定理的概念，以及他们之间的内在联系；、了解公理与定理都是真命题，它们都是推理论证的根据；、驾驭教材十条公理和已学过的定理。 教学重点及难点 教学重点：公理、定理的概念 教学难点：理解几何公理化思想 一、学 阅读教材P41-43，思索并回答以下问题： 1、推断以下命题的真假 1假如a是有理数，那么a是实数；2假如m是自然数，那么m是整数；3假如a是整数，那么a是有理数；4假如四边形ABCD是正方形，那么它是矩形 导入：在真假命题的推断上，光用定义是远远不够的，那么除了根据定义以外，还能根据什么来推论，去推断命题的真假呢？ 2、1什么叫作公理？什么叫作定理？公理与定理之间有什么关系？ 2什么叫作互逆的定理？ 3、你能背得目前所学的十条公理吗？试试看喔！ 等量之间的关系： 1;2; 3;4;点与线的关系: 1; 2; 3;三种变换 1; 2; 3; 4、说说平行线的性质定理和三角形全等的判定定理 5、以下定理有逆定理吗？如有，把它写出来。