2023年立体几何垂直证明范文.docx

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1、2023年立体几何垂直证明范文 第一篇：立体几何垂直证明范文 立体几何专题-垂直证明 学习内容：线面垂直面面垂直 立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为 线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法：1通过“平移。2利用等腰三角形底边上的中线的性质。3利用勾股定理。4利用三角形全等或三角行相像。(5)利用直径所对的圆周角是直角，等等。 试题探究 一、通过“平移,根据若a/b,且b平面a,则a平面a 1在四棱锥P-ABCD中，PBC为正三角形，AB平面PBC，ABCD，AB= 12DC，E为PD中点.求证：AE平面PDC.、2如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PA底面ABCD，PDA=4

2、5，点E为棱AB的中点 求证：平面PCE平面PCD； 3.如下图, 四棱锥P-ABCD底面是直角梯形 BAAD,CDAD,CD=2AB,PA底面ABCD,E为PC的中点, PAAD。 证明: BE平面PDC; 二、利用等腰三角形底边上的中线的性质 4、在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，ACB=90o，AP=BP=AB，PCAC 求证：PCAB； P 求二面角B-AP-C的大小；A B C5、如图，在三棱锥P-ABC中，PAB是等边三角形，PAC=PBC=90 证明：ABPC 三、利用勾股定理 PACD,PA=1,PD= 6、如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，求证:PA平面A

3、BCD； _A _D _B_C7、如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2,AB=AD= 1求证：AO平面BCD； 2求异面直线AB与CD所成角的大小；B E 四、利用三角形全等或三角行相像 8、正方体ABCDA1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，求证：D1O平面MAC.9、如图，已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F，求证：A1C平面BDE； 五、利用直径所对的圆周角是直角 10、如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA平面ABC.1求证：平面PAC平面PBC； 2若D

4、也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中全部互相垂直的各对平面.P A11、如图，在圆锥PO中，已知PO，O的直径AB=2,C是狐AB的中点，D为AC的中点证明：平面POD 平面PAC; 其次篇：中学立体几何证明垂直的专题训练 中学立体几何证明垂直的专题训练 深圳龙岗区东升学校 罗虎胜 立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为 线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法：1通过“平移。 2利用等腰三角形底边上的中线的性质。3利用勾股定理。 4利用三角形全等或三角行相像。(5)利用直径所对的圆周角是直角，等等。 (1)通过“平移,根据若a/b,且b平面a,则a平面a 1在四棱锥P

5、-ABCD中，PBC为正三角形，AB平面PBC，ABCD，AB= DC，2E为PD中点.求证：AE平面PDC.分析：取PC的中点F，易证AE/BF，易证 BF平面PDC 2如图，四棱锥PABCDABCD，PDA=45，点E为棱AB的中点 求证：平面PCE平面PCD； 分析：取PC的中点G，易证EG/AF，又易证AF于是EG平面PCD,则平面PCE平面PCD 第2题图 3、如下图，在四棱锥P-AB中，AB平面,PAB/CD,PD=AD,E是PB的中点，F是CD上的点，且 DF= AB,PH为DPAD中AD边上的高。 21证明：PH平面ABCD； 2若PH=1，AD=FC=1，求三棱锥E-BCF的

6、体积；3证明：EF平面PAB.分析：要证EF平面PAB，只要把FE平移到DG，也即是取AP的中点G，易证EF/GD, 易证DG平面PAB 4.如下图, 四棱锥P-ABCD底面是直角梯形 BAAD,CDAD,CD=2AB,PA底面ABCD,E为PC的中点, PAAD。证明: BE平面PDC; 分析：取PD的中点F，易证AF/BE, 易证AF平面PDC 2利用等腰三角形底边上的中线的性质 5、在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，ACB=90o，PCACAP=BP=AB，求证：PCAB； 求二面角B-AP-C的大小； P A C B6、如图，在三棱锥P-ABC中，PAB是等边三角形，PAC=PBC

7、=90 证明：ABPC 因为DPAB是等边三角形，PAC=PBC=90, 所以RtDPBCRtDPAC,可得AC=BC。如图，取AB中点D，连结PD,CD, 则PDAB,CDAB, 所以AB平面PDC, 所以ABPC。 3利用勾股定理 7、如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为 1的正方形，PACD,PA=1,PD=求证:PA平面ABCD； _ B _ A _D _C8、如图1，在直角梯形ABCD中，AB/CD，ABAD，且AB=AD= CD=1 2现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面 ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图21求证：AM平面

8、BEC； 2求证：BC平面BDE； E M E C F MC B A9、如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=1求证：AO平面BCD； 2求异面直线AB与CD所成角的大小； 1证明：连结OCQBO=DO,AB=AD,AOBD.B E QBO=DO,BC=CD, COBD.在DAOC中，由已知可得AO=1,CO= 而AC=2,AO2+CO2=AC2,AOC=90o,即AOOC.QBDIOC=O, AO平面BCD,BCCD，侧面SAB为等边三角形，10、如图，四棱锥S-ABCD中，ABBC AB=BC=2,CD=SD=1 证明：SD平面SAB

9、; 求AB与平面SBC所成角的大小 解法一： I取AB中点E，连结DE，则四边形 BCDE为 矩形，DE=CB=2，连结SE，则SEAB,SE=又SD=1，故ED=SE+SD，所以DSE为直角。 由ABDE,ABSE,DEISE=E，得AB平面SDE，所以ABSD。SD与两条相交直线AB、SE都垂直。 所以SD平面SAB。 4利用三角形全等或三角行相像 11正方体ABCDA1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，求证：D1O平面MAC.分析：法一：取AB的中点E，连A1E,OE,易证ABMA1AE, 于是AMA1E,又OE平面ABB1A1OEAM, AM平面OEA1D1AM

10、D1O 法二：连OM,易证D1DOOBM,于是D1OOM 12如图，正三棱柱ABCA1B1C1的全部棱长都为2，D为CC1中点.求证：AB1平面A1BD； 分析： 取BC的中点E，连AE,B1E,易证DCBEBB1，从而BDEB113、.如图，已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F，求证：A1C平面BDE； 5利用直径所对的圆周角是直角 AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA平面ABC.求证：平面PAC平面PBC； 2若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中全部互 相垂直的各对平面.P A15、如图，在圆锥PO中，已知PO

11、O的直径AB=2,C是狐AB的中点，D为 AC的中点证明：平面POD平面PAC; 16、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M 求证：平面ABM平面PCD； 证：依题设，在以为直径的球面上，则.因为平面，则，又，所以平面，则，因此有平面，所以平面平面.B 第三篇：高考复习专题-立体几何垂直关系证明 52023年福建卷如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=I求证：AO平面BCD； BE 4.(2023年湖南卷如图4,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分

12、别为1和2,AB=4.()证明PQ平面ABCD; B 图 14福建19本小题总分12分 如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PAPD,底面ABCD为直角梯形，其中BCAD,ABAD,AD=2AB=2BC=2，O为AD中点.()求证:PO平面ABCD； 20全国20本小题总分12分 如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC 平面BED；证明：AC 1DA1 A 10.如图，在三棱锥V-ABC中，VC底面ABC，ACBC，D是AB的中点，且AC=BC=a，VDC= E C p 0q。 2 求证：平面VAB平面VCD； 26三

13、棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如下图，截面为A1B1C1，BAC=90o，A1A平面ABC，A1A=AB=AC=2AC11=2，D为BC中点证明：平面A1AD平面BCC1B1； A1 B1 C1 A 32023年浙江卷如图，在四棱锥P-ABCD中，底面 为直角梯形,ADBC,BAD=90,PA底面ABCD，且PAAD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.()求证：PBDM; 12023年北京卷如图，在底面为平行四边表的四棱锥P-ABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点.求证：ACPB；求证：PB/平面AEC12天津理19题如图，在四棱锥P-AB

14、CD中，PA，ACCD，ABC=60，底面ABC，ABADP B C PA=AB=BC，E是PC的中点 证明CDAE； 证明PD平面ABE； A B D 第四篇：立体几何线面垂直 线面垂直问题 1直线在平面内aa多数个公共点；2直线和平面相交aIa=A有且只有一个公共点；3直线和平面平行a/a没有公共点b 假如不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，l la,ma,l/ml/am a 假如一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这l/a,lb,aIb=ml/m4 假如一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的随便一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面垂线，平面

15、叫做直线的直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线6 : 平面,7平面几何中，点、线段在直线上射影的概念及性质：,垂线,射影 垂线自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影.这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.斜线一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,面的交点叫斜足；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的射影 过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,直线与平面平行，9射影长相等定理:10直线和平面所成角1定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐p始终线平行于平面或在平面内，所成角为0角。直线和平面所成角范围： 0

16、 2 2定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切 11在平面内的一条直线，假如它和这个平面的一条斜线的射影垂说明：1定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系； 2推理模式：POa,Oa,PAIa=A,aa,aOAaPA12三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，假如和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这 推理模式： POa,Oa,PAIa=A,aa,aAPaAO 留意：三垂线指PA，PO，AO都垂直内的直线其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定要考虑a 线面垂直问题 基此题型： 11“直线l垂直于平面a内的多数条直线是“la的 A充分条件B必要条件C

17、充要条件D既不充分也不必要条件 2假如一条直线l与平面a的一条垂线垂直，那么直线l与平面a的位置关系是 AlaBlaClaDla或la答案：1B(2)D 21过直线外一点作直线的垂线有条；垂面有个；平行线有条；平行平面有个.2过平面外一点作该平面的垂线有条；垂面有个；平行线有条；平行平面有个.答案：1多数，一，一，多数；2一，多数，多数，一 3能否作一条直线同时垂直于两条相交直线？能否作一条直线同时垂直于两个相交平面？为什么？答案：能，而且有多数条不能 答案：因为折痕垂直于桌面内的两条相交直线.答案：不愿定.因为这条直线可能与这个平面斜交或在其内.答案：是.假如有两个平面a,b过点A都于l垂直

18、，过这条公共垂线l作一个不经过两平面a,b的交线的平面g，g与a,b分别相交于直线a,b,aIbIl=A且la,lb，l,a,ba，从而有aPb，此与aIb=A冲突.答案：是 8点A为DBCD所在平面外的一点，点O为点A在平面BCD内的射影，若ACBD,ADBC，求证：ABCD 证明：连结OB,OC,OD，AO平面BCD，且ACBD BDOC三垂线定理逆定理 同理ODBC，O为DABC的垂心，OBCD，又AO平面BCD，ABCD三垂线定理 9如图，已知ABCD是矩形，SA平面ABCD，E是SC上一点 求证： BE不行能垂直于平面SCD 证明：用到反证法，假设BE平面SCD，BADOC ABCD

19、；ABBE ABSB，这与RtSAB中SBA为锐角冲突 BE不行能垂直于平面SCD B E C10 已知：空间四边形ABCD，AB=AC，DB=DC，求证：BCAD 证明：取BC中点E，连结AE,DE，AB=AC,DB=DC，AEBC,DEBC，BC平面AED，又AD平面AED，BCAD 第五篇：高一立体几何平行垂直证明基础练习 高一垂直证明基础练习专项 1、点线面位置关系判定问题 解题方法与技巧：在判定点线面的位置关系时，通常有两个切入点1集合：点、线点、面的位置关系从集合的附属关系来判定；线、面都是点集，所以在考虑线面关系时从集合与集合的包含关系或者集合与集合的交、并、补关系来判定；2几何

20、：把集合与几何关系结合来判定线线，线面，面面关系 例1、设是三个不重合的平面，l是直线，给出以下命题 若，则； 若l上两点到的距离相等，则； 若 若 其中正确的命题是 A B C D 解析： 由面面垂直关系已知不成立，可能垂直也可能相交平行。错误；由点到面距离易知直线还可能和平面相交；因为所以在平面内确定有始终线垂直所以正确根据平行关系易知正确 答案选D 练习1、设，是两条不同的直线，是一个平面，则以下命题正确的选项是 A若，则 B若，则 C若，则 D若，则 练习2、给定以下四个命题： 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面互相平行； 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两

21、个平面互相垂直； 垂直于同始终线的两条直线互相平行；.若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，为真命题的是 A和 B和 C和 D和 练习3.2023浙江卷文设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的选项是 A若，则 B若，则 C若，则 D若，则 练习4顺次连接空间四边形各边中点所成的四边形必定是 A、平行四边形 B、菱形 C、正方形 D、梯形 练习题答案：练习1：B；练习2： D；练习3： C；练习4： A； 2、空间中线面的平行垂直证明 例1：如图：四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点，证明：平面 解析： 证明PC平行于面EBD，只需在面EB

22、D内找一条直线和已知直线平行即可 E为中点，首先考虑构造等腰三角形中位线，取AC中点O连接EO即可 证明：取AC的中点O,连接EO，例2：三棱柱中，为的中点，为的中点，为的中点，证明：平面平面 解析：面面平行的证明定理，证明两平面内两组相交直线平行，即把面面 平行问题转化为线线平行问题，按解决线线平行的思路即可解决问题 证明：连接BC1,EF 分别为BC、B1C1、BB1、CC1的中点，例3：如图：四棱锥中，平面，底面是矩形，为的中点，证明： 解析：线线垂直的证明分同平面直线垂直证明和异平面垂直证明，在处理异平面垂直证 明问题时，优先考虑证明始终线垂直于另始终线所在平面，转化为线面垂直证明问题

23、 即证明PD垂直于面BEF即可 证明：点 例4：如图：四棱锥中，平面，底面是矩形，证明：平面平面 练习1：如图：四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点，证明：平面 练习2：如图：三棱柱中，为的中点，证明：平面 练习3：如图：三棱柱中，为的中点，证明：平面 练习4：如图：四棱锥中，底面是平行四边形，、分别为、的中点，证明：平面 练习5：如图：三棱柱中，、分别为、的中点，证明：平面 练习6：如图：四棱锥中，底面是平行四边形，、分别为、的中点，证明：平面 练习7：如图：三棱柱中，为的中点，为的中点，证明：平面 练习8：如图：四棱锥中，平面，底面是梯形，为的中点，证明： 练习9：如图：直三棱柱中，、分别为、的中点，为的中点，证明： 练习10：如图：四棱锥中，平面，为的中点，证明： 练习11：如图：四棱锥中，底面是矩形，平面平面，证明：平面平面 练习12：如图：五面体中，是正方形，平面，证明：平面平面 练习13：如图：四棱锥中，平面，是菱形，为的中点，证明：平面平面 练习14：如图：四棱锥中，平面平面，证明：平面平面