2023年高中数学相关定理.docx

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1、2023年高中数学相关定理 第一篇：中学数学相关定理 2023年一般高等学校招生统一考试数学文复习资料2023.5.26 中学数学相关定理、公式及结论证明 一三角函数部分。 一、两角和差的余弦公式证明。 内容：cos(a+b)=cosacosb-sinasinb,cos(a-b)=cosacosb+sinasinb 证明： 如图1，在单位圆中设Pcosa,sina,Qcosb,-sinb 则：OPOQ=a+b)=cos(a+b)QOPOQ=cosacosb-sinasinb cos(a+b)=cosacosb-sinasinb图1 如图2，在单位圆中设Pcosa,sina,Qcosb,sinb

2、 则：OPOQ=a-b)=cos(a-b)QOPOQ=cosacosb+sinasinb cos(a-b)=cosacosb+sinasinb图2 二、两角和差的正弦公式证明。 内容：sin(a+b)=sinacosb+cosasinb,sin(a-b)=sinacosb-cosasinb 证明： sin(a+b)=cos=cos=cos(p 2-a)cosb+sin(p 2-a)sinb =sinacosb+cosasinb sin(a-b)=cos=cos=cos(p 2-a)cosb-sin(p 2-a)sinb =sinacosb-cosasinb 三、两角和差的正切公式证明。内容：t

3、an(a+b)= 证明： tana+tanb1-tanatanb，tan(a-b)=tana-tanb1+tanatanb sinacosb tan(a+b)= sin(a+b)cos(a+b) = sinacosb+cosasinbcosacosb-sinasinb = cosacosbcosacosbcosacosb +- cosasinbcosacosbsinasinbcosacosb = tana+tanb1-tanatanb sinacosb tan(a-b)= sin(a-b)cos(a-b) = sinacosb-cosasinbcosacosb+sinasinb = cosac

4、osbcosacosbcosacosb -+ cosasinbcosacosbsinasinbcosacosb = tana-tanb1+tanatanb 四、半角公式证明。内容：sin a2= 1-cosa,cos a 2= 1+cosa,tan a2 = 1-cosa1+cosa = 2sina1+cosa = 1-cosa2sina cos2a=1-2sina 证明：由二倍角公式 2 cos2a=2cosa- 12acosa=1-2sina2 =用a代替2a，得，得sin2 cosa=2cos2a-12 sin=cos -cosa,cos a2 = +cosa a2 tan a2 sin

5、=cos a2 2cos2cos a2 a2 a2 a2 = 2sina1+cosa，tan a2 sin=cos a2 sin=cos a2 2sin2sin a2 a2 a2 a2 = 1-cosa2sina 五、正弦定理证明。 内容：在DABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，则证明：如图3，在RtDABC中，sinA= asinAbc,= bsinB = csinC .ac,sinB= asinA = bsinB =c，QC=90,sinC=1. asinA = bsinB = csinC .图3 如图4，在锐角DABC中，以B为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，作ACy

6、轴于点C，易知BA和CA在轴上的射影均为BC =C=bsinC= p 2-B)=csinB,bsinB = csinC,同理 asinA = bsinB asinA = bsinB = csinC .图4 如图5，在钝角DABC中，以C为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，作ACy轴于点C，易知BA和CA在轴上的射影均为CC =B=csinB=C- p2)=bsinC,bsinBasinA = csinCbsinB,同理= c asinA = bsinB sinC .图5 六、余弦定理证明。 a2=b2+c2-2bccosA 2DABC内容：在中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，则b

7、=a2+c2-2accosB 222 c=a+b-2abcosC 证明：如图6，在DABC中，a=a=BC =(AC-AB)(AC-AB) =-2ACAB+ =2 -2ACABcosA+2 =b+c-2bccosA图6 222 a=b+c-2bccosA 同理可证：2 22 c=a+b-2abcosC 二平面对量部分。 一、平面对量基本定理。 内容：假如e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的随便一向量a，存在唯一一对 实数l1,l2，使得a=l1e1+l2e2.证明：如图7，过平面内一点O，作OA=e1,OB=e2,OC=a，过点C分别作直 线OA和直线OB的平行线，交

8、OA于点M，交OB于点N，有且只有一组实数，使 得OM=l1OA,ON=l2OB图7 QOC=OM+ONOC=l1OA+l2OB 即a=l1e1+l2e2.二、共线向量定理。 内容：如图8，A,B,C为平面内的三点，且A,B不重合，点P为平面内任一点，若C在直线AB上，则有 PC=lPA+(1-l)PB 证明：由题意，BC与BA共线，BC=lBA BC=PC-PB,BA=PA-PBPC-PB=l(PA-PB) 图8 化简为：PC=lPA+(1-l)PB 三、平行向量定理。 内容：若两个向量与坐标轴不平行平行，则它们相应的坐标成比例；若两个向量相对应的坐标成比例，则两向量平行。 证明：设a,b是

9、非零向量，且a=(x1,y1),b=(x2,y2)若a/b，则存在实数l使a=lb，且由平面对量基本定理可知 x1i+y1j=l(x2i+y2j)=lx2i+ly2j.x1=lx2，y1=ly2 y2-x2得：x1y2-x2y1=0 若y10,y20即向量a,b不与坐标轴平行则 x1y 1=x2y 2三立体几何部分。 一、三垂线定理及其逆定理。 内容：在平面内的一条直线，假如和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 三垂线定理的逆定理：假如平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。 证明：已知：如图9，直线l与平面a相

10、交与点A，l在a上的射影OA垂直于a,aa 求证：la 证明：过P作PO垂直于a POPOa 又aOA，POOA=O a平面POA al图9 四解析几何部分。 一、点到直线距离公式证明。 内容：已知直线l:Ax+By+C=0,直线外一点M(x0,y0).则其到直线l的距离为d= Ax +ByA +C。 +B 证明：如图10，设直线l:Ax+By+C=0,直线外一点M(x0,y0).直线上一点P(x,y).可得直线的 一个方向向量为v=(-B,A),设其法向量为n=(s,t)则vn=-Bs+At=0，可得直线一法向量为n=(A,B),n的单位向量为n0= =AA +B,A B +B)图10 由题

11、意，点M到直线的距离为PM在n0上的射影，所以，d= A(x0-x)+B(y0-y) A +B = Ax +By 0 2-(Ax+By)+B A 因为点P(x,y)在直线上，所以C=-(Ax+By) Ax +ByA 所以，把代入中，得d= 00 +C +B 五数列部分 一、等差数列前n项和公式证明。 内容：an是等差数列，公差为d，首项为a1，Sn为其n前项和，则Sn=a1n+证明：由题意，Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+.+(a1+(n-1)d) 反过来可写为：Sn=an+(an-d)+(an-2d)+.+(an-(n-1)d) +得：2Sn=a1+n+a1+n.+a1+n 144

12、44244443 n个 n(n-1) d= n(a1+an) 所以，Sn= n(a1+an) ，把an=a1+(n-1)d代入中，得Sn=a1n+ 二、等比数列前n项和公式证明。 n(n-1) d= n(a1+an) na1,(q=1) n 内容：an是等比数列，公比为q，首项为a1，Sn为其n前项和，则Sn=a1-anq a1(1-q) =,(q1) 1-q1-q 证明：Sn=a1+a1q+a1q+.+a1qqS n 2n- 1 n =a1q+a1q +a1q +.+a1q n 得：(1-q)Sn=a1-a1q，当q1时，Sn= a1-a1q1-q n = a1(1-q)1-q n 把an=

13、a1q n-1 代入中，得Sn= a1-anq1-q 当q=1时。很明显Sn=na1 na1,(q=1) n 所以，Sn=a1-anq a1(1-q) =,(q1) 1-q1-q 六函数和导数部分 一、换底公式证明。内容：log N= loglog aa Nb b (N,a,b0;a,b1) 证明：设log a N=X,log a b=Y，则b=a,N=a YX log b N=log a Y a X = XY log a a= XY = loglog aa Nb 其次篇：中学数学定理 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sin

14、BcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A)cot2A=(cot2A-1)/2cota cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a sin+sin(+2/n)+sin(+2*2

15、/n)+sin(+2*3/n)+sin=0 cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos=0 以及sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 四倍角公式： sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA2-1) cos4A=1+(-8*cosA2+8*cosA4) tan4A=(4*tanA-4*tanA3)/(1-6*tanA2+tanA4) 五倍角公式： sin5A=16sinA5-20sinA3+5sinA cos5A=16cosA5-20cos

16、A3+5cosA tan5A=tanA*(5-10*tanA2+tanA4)/(1-10*tanA2+5*tanA4) 六倍角公式： sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA2) cos6A=(-1+2*cosA2)*(16*cosA4-16*cosA2+1) tan6A=(-6*tanA+20*tanA3-6*tanA5)/(-1+15*tanA2-15*tanA4+tanA6) 七倍角公式： sin7A=-(sinA*(56*sinA2-112*sinA4-7+64*sinA6) cos7A=(cosA*(56*cosA2-11

17、2*cosA4+64*cosA6-7) tan7A=tanA*(-7+35*tanA2-21*tanA4+tanA6)/(-1+21*tanA2-35*tanA4+7*tanA6)八倍角公式： sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA2-1)*(-8*sinA2+8*sinA4+1) cos8A=1+(160*cosA4-256*cosA6+128*cosA8-32*cosA2) tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA2-7*tanA4+tanA6)/(1-28*tanA2+70*tanA4-28*tanA6+tanA8) 九倍角公式： sin9A=(sinA*(-3+

18、4*sinA2)*(64*sinA6-96*sinA4+36*sinA2-3) cos9A=(cosA*(-3+4*cosA2)*(64*cosA6-96*cosA4+36*cosA2-3) tan9A=tanA*(9-84*tanA2+126*tanA4-36*tanA6+tanA8)/(1-36*tanA2+126*tanA4-84*tanA6+9*tanA8) 十倍角公式： sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA2+2*sinA-1)*(4*sinA2-2*sinA-1)*(-20*sinA2+5+16*sinA 4) cos10A=(-1+2*cosA2)*(256*c

19、osA8-512*cosA6+304*cosA4-48*cosA2+1) tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA2+126*tanA4-60*tanA6+5*tanA8)/(-1+45*tanA2-210*tanA4+210*tanA6-45*tanA8+tanA10) ： sin=2tan(/2)/ cos=/ tan=2tan(/2)/ 半角公式 sin(A/2)=(1-cosA)/2)sin(A/2)=-(1-cosA)/2) cos(A/2)=(1+cosA)/2)cos(A/2)=-(1+cosA)/2) tan(A/2)=(1-cosA)/(1+cosA)tan(A/2

20、)=-(1-cosA)/(1+cosA) cot(A/2)=(1+cosA)/(1-cosA)cot(A/2)=-(1+cosA)/(1-cosA) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin(A+B)/2)cos(A-B)/2 cosA+cosB=2cos(A+B)/2)sin(A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(

21、A-B)/cosAcosB cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB-cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB 某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+n3=(n(n+1)/2)2 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理 a/sinA=b/sin

22、B=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角 乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|a|+|b| |a-b|a|+|b| |a|b-bab |a-b|a|-|b|-|a|a|a| 第三篇：中学数学定理 中学数学 l 复数 1.定义：z=a+bi.(a、bR)，a叫做复数z的实部，b叫做复 数z的虚部。 1b=0, 2z0 2.复数为实数的条件： 1a0且b02z3.复数为纯虚数的条件：0 1a

23、+bi=c+dia,b,c,dRa=c且b=d 4.复数的相等： 2a+bi=0a=0且b=0 1a+bi5.复数的运算：(c+di)=(ac)+(bd)i 2z1z2=abic+di=ac-bd+bc-ad)i，3(a+bi)(c+di)ac+bd)(c+d)+(bc-ad)(c +d)(c+di0) 6.复数加法、乘法满意交换律和结合律；乘法还满意支配律。 7.复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，x轴叫实轴 实轴上的点都是实数，y轴叫虚轴虚轴上的点除原点外都是纯虚数。 l 解三角形 1.解三角形的方法：公式法：已知三角形中的两边及其 一边的对角，或两角及其一角的对边时，用正弦定理已知三

24、边或两边及其夹角，用余弦定理。边角互化 2.利用正弦定理可以解决：已知两角和随便一边，求其他 两边和一角。已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角。 3.利用余弦定理可以解决：已知三边求三个角 已知两 边和他们的夹角，求第三边和其他两个角。 l 几何证明选讲 1.平行线等分线段定理：假如一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。 推论经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。 推论经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一 腰。 2.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 推论平行于三角形一边

25、的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。 3.相像三角形的判定 定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相像三角形。相像三角形对应边的比值叫做相像比(或相像系数)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相像。 判定定理：两角对应相等，两三角形相像 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相像 引理：假如一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的三边对应成比例，两三角形相像。 定理：假如两个直角三角形有一个锐角对应相等，那 么它们相像。 假如两个直角三角形的两条直角边对应成比 例，那么它们相像。 假如一个直角三角形的斜边和一条

26、直角边与 另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相像。 4.相像三角形的性质;相像三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比，相像三角形周长的比，外接圆的直径比都等于相像比。相像三角形面积的比，外接圆的面积比等于相像比的平方。 第四篇：中学数学常用公式定理汇总 2023年高考数学资料整理 中学数学常用公式定理汇总 集合类： AB=AABAB=BAB 规律关系类： 对数类： logaM+logaN=logaMNlogMaM-logaN=logaN logaMN=NlogaM logab MN = Nb logaMloga1=0 logaa=1loga1=-1a lo

27、gab a =b logaab=blogab=alogba=1a 三角函数类： sin,一二正 co，s一四正tan，一三正 sin(-a)=-sin(a) cos(-a)=cosa tan(-a)=-tana sin 2+ cos 2= 1sinp2-a =cosasinp+a =cosa2 cosp-a =sina cos2 p2+a =-sina a-1 asinA = bsinB = csinC =2R a+b+csinA+sinB+sinC rrvr a*b=a*b*cosq=rra*b cosq= a*b xx + yy a = b + c -2bccosA cosA= + - 2

28、bc xx 221 +* yy x + y x + y 流程图类： Int2.5=2.5=2取不大于2.5的最大整数mod(10,3)=1 平面几何类： 取10除以3的余数 圆标方程(x-a)圆心：(a,b) + (y-b) = r 函数类： 斜率：k = yx y(x-x - 圆一般方程x + y +Dx+Ey+F=0 x) (D + E -4F0 ) 点斜式：y-y y- =k(x- x- x) y 两点式： y-y = x-x DE 圆心：,-;半径：- 22 + -4F 点点距离： PP 截距式： xa + yb =1 =0 ba = x2-x1)y2-y1 + 一般式：Ax+By+C

29、韦达定理：x + x =- l1/l2k1=k2 点线距离：d c xx= a A= x +B y +C A + B A x+ B y+C1=0 与A2x+B2y+C2=0 平行：AB垂直：AA =+ AB BB 椭圆：ab - yb =1(ab0) = =0 a -c 焦点：(c,0),(-c,0) c 平行：A1x+B1y+C3=0 垂直：B1x-A1y+C3=0 平面对量类： rrab= vra/b 离心率：e=准线：x= a c 双曲线：a - yb =1(a,b0) b = c - a (xx,2 y y) 焦点：(c,0),(-c,0)离心率：e= a c xy - xy =0 准

30、线：x=渐近线：y= c ba x 抛物线：y =2px (p0) p 焦点：F,0 2 (x)=2x 2,11 =-2xx,(xa),=ax a-1 离心率：e=ca 准线：x=-p2 数列类： 等差：an=a1+(n-1)d a n = a m +(n-m)d S 1+ n )n = n(2 =n a +n(n-1)2 d m+n=p+q a m + a n = a p + aq 等比：an-1 n=a1q a n = a n-m m q S a11-n q = a1- anq n = 1-q1-q(q1) m+n=p+q am a n = ap aq 线性规划类： n nxn niyi-

31、xi y ii=1(b=i=1 i=1*)n2 nx2 ni-x ii=1i=1 a=y-bx nxiyi-nxy(x i -x)(yi-y) (*)b=i=1 n =n x2 x2i-n(x i -x ) i=1 i=1 a=y-bx 导数类： (kx+b),=kC,=0C为常数 x,=1 (ax),= a x lna(a0,且a1)(e x),= ex (log a x ),=1e xloga = 1xlna (a 0,且a1) (lnx),=(sinx),x =cosx (cosx),=-sinx f(x)g(x),=f,(x)g,(x) Cf(x),=Cf,(x)(C为常数) f(x)

32、g(x),=f,(x)g(x)+f(x)g,(x) f(x),f,(x)g(x)+f(x)g,(x) g(x) = g2 (x) (g(x)0) 复数： i =-1 a+bi=c+dia=c,b=d (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i (a+bi)(c+di)=(ac -bd)+(bc+ad)i x2+y =(x+yi)(x-yi) Z-a=r,以(a,0)为圆心，r为半径的圆 Z-(a+b)i=r,以(a,b)为圆心，r为半径的圆 w=1 3-2+ 2i =1 (1i)2 =2i1+w+w2 =0 ax +bx+c=0,( b2 -4ac0 ) x= -b 4ac-b2 求根公式： i 2a 向量与向量模关系： Z1-Z2Z1-Z2Z1+Z2 Z1,Z2是二次方程的根，那么即Z1=a+bi,Z2=a+(-b)i Z1,Z2共轭。 等式与不等式： a+b=(a+b)a-ab+b () (a+c)2 2a ( +b ) a+ab