2023年用正弦定理证明三重向量积.docx

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1、2023年用正弦定理证明三重向量积 第一篇：用正弦定理证明三重向量积 用正弦定理证明三重向量积 光信1002班 李立 内容：通过对问题的探讨和转化，最终用正弦定理来证明三重向量积的公式(ab)c=-(cb)a+(ca)b。 首先，根据叉乘的定义，a、b、ab可以构成一个右手系，而且对公式的视察与分析我们觉察，在公式中，a与b是等价的，所以我们不妨把a、b、ab放在一个空间直角坐标系中，让a与b处于oxy面上，ab与z轴同向。如草图所示： 其中，向量c可以沿着z轴方向与平行于oxy平面的方向分解，即： c=cz+cxy 将式子带入三重向量积的公式中，觉察，化简得： abcxy=-(cxyb)a+

2、(cxya)b这两个式子等价 如今我们考虑(ab)c刚好被a与b反向夹住的状况，其他的角度状况以此类推。 由图易得，(ab)c与a、b共面，a与b不共线，不妨设ab)c=xa+yb，a,cxy p,p),b,cxy (0,p)，所以： 在三角形中运用正弦定理，得 abcSin =Sin p -b,cxyp 又因为abc=abcSina,b 所以，解得k=abc，于是解得： x= bcxyCosb,cxyy=-acxyCosa,cxy =bcxy =-acxy 由图示和假定的条件，(ab)c在a和b方向上的投影皆为负值，所以x，y都取负值，所以，abcxy=-(cxyb)a+(cxya)b 其他

3、的相对角度关系，以此类推，也能得到相同的答案，所以： (ab)c=-(cb)a+(ca)b，命题得证。 小结论：当直观解答有困难时，可以通过分析转化的方法来轻松地解决。 其次篇：用向量证明正弦定理 用向量证明正弦定理 如图1，ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于向量AC，则j与向量AB的夹角为90-A，j与向量CB的夹角为90-C 由图1，AC+CB=AB(向量符号打不出) 在向量等式两边同乘向量j,得 jAC+CB=jAB jACcos90+jCBcos(90-C) =jABcos(90-A) asinC=csinA a/sinA=c/sinC 同理，过点C作与向量CB垂直的单位向量

4、j，可得 c/sinC=b/sinB a/sinA=b/sinB=c/sinC 2步骤 1记向量i，使i垂直于AC于C，ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c a+b+c=0 则i(a+b+c) =ia+ib+ic =acos(180-(C-90)+b0+ccos(90-A) =-asinC+csinA=0 接着得到正弦定理 其他 步骤2.在锐角ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CHAB垂足为点H CH=asinB CH=bsinA asinB=bsinA 得到a/sinA=b/sinB 同理，在ABC中，b/sinB=c/sinC 步骤3.证明a/sinA=b/sinB=c/s

5、inC=2R： 随便三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以DAB=90度 因为同弧所对的圆周角相等,所以D等于C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。 3用向量叉乘表示面积则s=CB叉乘CA=AC叉乘AB =absinC=bcsinA(这部可以干脆出来哈哈，不过为了符合向量的做法) =a/sinA=c/sinC 2023-7-1817:16jinren92|三级 记向量i，使i垂直于AC于C，ABC三边AB,BC,接着得到正弦定理其他步骤2.在锐角ABC中，证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

6、：随便三角形ABC,4过三角形ABC的顶点A作BC边上的高，垂足为D.(1)当D落在边BC上时，向量AB与向量AD的夹角为90-B，向量AC与向量AD的夹角为90-C，由于向量AB、向量AC在向量AD方向上的射影相等，有数量积的几何意义可知向量AB*向量AD=向量AC*向量AD即向量AB的确定值*向量AD的确定值*COS(90-B)=向量的AC确定值*向量AD的确定值*cos(90-C)所以csinB=bsinC即b/sinB=c/sinC(2)当D落在BC的延长线上时，同样可以证得 第三篇：向量证明正弦定理 向量证明正弦定理 表述：设三面角p-ABC的三个面角BpC，CpA，ApB所对的二面

7、角依次为pA，pB，pC，则SinpA/SinBpC=SinpB/SinCpA=SinpC/SinApB。 书目 1证明2全向量证明 证明 过A做OA平面BpC于O。过O分别做OMBp于M与ONpC于N。连结AM、AN。明显，pB=AMO，SinpB=AO/AM;pC=ANO，SinpC=AO/AN。另外，SinCpA=AN/Ap，SinApB=AM/Ap。则SinpB/SinCpA=AOAp/(AMAN)=SinpC/SinApB。同理可证SinpA/SinBpC=SinpB/SinCpA。即可得证三面角正弦定理。 全向量证明 如图1，ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于向量AC，则

8、j与向量AB的夹角为90-A，j与向量CB的夹角为90-C 由图1，AC+CB=AB(向量符号打不出) 在向量等式两边同乘向量j,得 jAC+CB=jAB jACcos90+jCBcos(90-C) =jABcos(90-A) asinC=csinA a/sinA=c/sinC 同理，过点C作与向量CB垂直的单位向量j，可得 c/sinC=b/sinB a/sinA=b/sinB=c/sinC 2步骤 1记向量i，使i垂直于AC于C，ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c a+b+c=0 则i(a+b+c) =ia+ib+ic =acos(180-(C-90)+b0+ccos(90-A)

9、=-asinC+csinA=0 接着得到正弦定理 其他 步骤2.在锐角ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CHAB垂足为点H CH=asinB CH=bsinA asinB=bsinA 得到a/sinA=b/sinB 同理，在ABC中，b/sinB=c/sinC 步骤3.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 随便三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以DAB=90度 因为同弧所对的圆周角相等,所以D等于C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。 3用向量叉乘表示面积则s=CB叉乘CA=A

10、C叉乘AB =absinC=bcsinA(这部可以干脆出来哈哈，不过为了符合向量的做法) =a/sinA=c/sinC 2023-7-1817:16jinren92|三级 记向量i，使i垂直于AC于C，ABC三边AB,BC,接着得到正弦定理其他步骤2.在锐角ABC中，证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：随便三角形ABC,4过三角形ABC的顶点A作BC边上的高，垂足为D.(1)当D落在边BC上时，向量AB与向量AD的夹角为90-B，向量AC与向量AD的夹角为90-C，由于向量AB、向量AC在向量AD方向上的射影相等，有数量积的几何意义可知向量AB*向量AD=向量AC*向量AD即向

11、量AB的确定值*向量AD的确定值*COS(90-B)=向量的AC确定值*向量AD的确定值*cos(90-C)所以csinB=bsinC即b/sinB=c/sinC(2)当D落在BC的延长线上时，同样可以证得 第四篇：向量法证明正弦定理 向量法证明正弦定理 证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 随便三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以DAB=90度 因为同弧所对的圆周角相等,所以D等于C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 2如图1，ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于向量AC，则j与向量AB的夹角为90

12、-A，j与向量CB的夹角为90-C 由图1，AC+CB=AB(向量符号打不出) 在向量等式两边同乘向量j,得 jAC+CB=jAB jACcos90+jCBcos(90-C) =jABcos(90-A) asinC=csinA a/sinA=c/sinC 同理，过点C作与向量CB垂直的单位向量j，可得 c/sinC=b/sinB a/sinA=b/sinB=c/sinC 2步骤 1记向量i，使i垂直于AC于C，ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c a+b+c=0 则i(a+b+c) =ia+ib+ic =acos(180-(C-90)+b0+ccos(90-A) =-asinC+csin

13、A=0 接着得到正弦定理 其他 步骤2.在锐角ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CHAB垂足为点H CH=asinB CH=bsinA asinB=bsinA 得到a/sinA=b/sinB 同理，在ABC中，b/sinB=c/sinC 步骤3.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 随便三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以DAB=90度 因为同弧所对的圆周角相等,所以D等于C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。 3用向量叉乘表示面积则s=CB叉乘CA=AC叉乘AB =absin

14、C=bcsinA(这部可以干脆出来哈哈，不过为了符合向量的做法) =a/sinA=c/sinC 2023-7-1817:16jinren92|三级 记向量i，使i垂直于AC于C，ABC三边AB,BC,接着得到正弦定理其他步骤2.在锐角ABC中，证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：随便三角形ABC,4过三角形ABC的顶点A作BC边上的高，垂足为D.(1)当D落在边BC上时，向量AB与向量AD的夹角为90-B，向量AC与向量AD的夹角为90-C，由于向量AB、向量AC在向量AD方向上的射影相等，有数量积的几何意义可知向量AB*向量AD=向量AC*向量AD即向量AB的确定值*向量AD

15、的确定值*COS(90-B)=向量的AC确定值*向量AD的确定值*cos(90-C)所以csinB=bsinC即b/sinB=c/sinC(2)当D落在BC的延长线上时，同样可以证得 第五篇：用向量法证明正弦定理教学设计举荐 用向量法证明正弦定理教学设计 一、教学目标 1、学问与技能：驾驭正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理解决一 些简洁的三角形度量问题。 2、过程与方法：让学生通过向量方法证明正弦定理，了解学问之间的联系，让学生在应用定理解决问题的过程中更深化地理解定理及其作用。 3、情感、看法与价值观：通过正弦定理的觉察与证明过程体验数学的探究 性与创建性，让学生体验胜利的喜悦。 二

16、、教学重难点分析 重点：正弦定理的向量证明过程并运用正弦定理解决一些简洁的三角形度量问 题。 难点：正弦定理的觉察并证明过程以及已知两边以及其中一边的对角解三角形 时解的个数的推断。 三、教学过程 1.借助RtABC，中找出边角关系。 在RtDABC中，设BC=a, AC=b, AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin A=,sinB=,sinC=, 则在这三个式子中，能得到c=从而在直角三角 abc形ABC中，=C sinsinsin2.那么在随便三角形中这个结论是否成立？通过向量进行证明。 过点A作单位向量jAC，由向量的加法可得AB=AC+CB uruururuuuruur

17、 则 jAB=j(AC+CB) uruururuuururuurjAB=jAC+jCBuruuuruuruuuruur ruuurruuurjABcos(900-A)=0+jCBcos(900-C) ac=csinA=asinC，即bcruuur=n同理，过点C作jBC，可得从而 a siAn=b=sBinsin c 从上面的研探过程，可得以下定理 3.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 abc=sinAsinBsinC 4.总结正弦定理适用范围 范围a：已知三角形的两边及其中一边的对角，求另外一边的对角 范围b：已知三角形两角一边求出另外一边 5.定理变形： a:b:

18、c=sinA:sinB:sinC 6.例题讲解 例1：在ABC中，已知A=32.0，B=81.8，a=42.9cm，解三角形。 评述：此类问题结果为唯一解，学生较易驾驭，先利用内角和180求出 第三角，再利用正弦定理.7.实力提升 例2：在ABC中，a=2,求b,B,C。 评述：此类问题结果为多解，学生简洁产生漏解的状况，在此题的解题过程 中，让学生自主练习，然后在课堂上探讨，通过互相沟通，总结出存在多解的状况，应与大边对大角结合分状况探讨，培育学生分类探讨的思想。 8.课堂总结 总结本堂课的内容：正弦定理、正弦定理适用范围、正弦定理应当留意的问题 9.课后作业 1在DABC中，已知角 oB=45o，c=22,b=oo43，则角A的值是 ooA.15B.75C.105D.75或15 2在ABC中,若A=30,B=60,则a:b:c= oB=60，b=76,a=14，则A=DABC3在中，若 oa=,b=2,B=45DABC4在中，已知，解三角形。