2023年基于倒立摆的现代控制模型建立及分析基于倒立摆的现代控制模型建立及分析.docx

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1、2023年基于倒立摆的现代控制模型建立及分析基于倒立摆的现代控制模型建立及分析 第一篇：基于倒立摆的现代限制模型建立及分析基于倒立摆的现代限制模型建立及分析 基于倒立摆的现代限制模型建立及分析 姓 名： 学 号： 教 师： 专 业： 二九年十二月二十九日 基于倒立摆的现代限制模型建立及分析 目 录 第一章 绪论.1 其次章 倒立摆系统建模.2 2.1 状态空间表达式.2 2.1.1 数学模型建立.2 2.1.2 状态变量及状态空间表达式.3 2.1.3 系统的约旦标准型.4 2.1.4 系统的并联实现.5 第三章 倒立摆系统状态空间表达式的解.7 3.1 状态转移矩阵.7 3.2 系统在单位阶

2、跃函数作用下的解.7 第四章 倒立摆系统的能控性和能观性.8 4.1 倒立摆系统的能控性.8 4.2 倒立摆系统的能控标准型.8 4.2.1 能控标准型.8 4.2.2 能控标准型.9 4.3 倒立摆系统的能观性.10 4.4 倒立摆系统的能观标准型.10 4.4.1能观标准型.10 4.4.2 能观标准型.11 第五章 倒立摆系统的稳定性与李亚普诺夫方法.12 第六章 倒立摆系统的综合.13 6.1 系统性能指标确实定.13 6.2 系统极点配置.13 6.3 状态观测器.14 6.3.1 全维状态观测器.14 6.3.2 降维观测器.15 6.4 利用状态观测器实现状态反馈.18 第七章

3、倒立摆系统的最优限制方案及限制器设计.20 参考文献.21 基于倒立摆的现代限制模型建立及分析 第一章 绪论 倒立摆作为一个高阶次、多变量、非线性和强祸合的自然不稳定系统，始终是限制领域探讨的热点问题。它广泛应用于限制理论探讨、航空航天限制、机器人、杂技顶杆表演等领域，在自动化领域中具有重要的理论价值和实践价值。这些物理装置与限制系统的稳定性亲热相关，深刻揭示了自然界一种基本规律，即一个自然不稳定的被控对象，通过限制手段可使之具有良好的稳定性。 倒立摆的探讨具有重要的工程应用价值。如机器人问题，机器人行走类似倒立摆系统，尽管第一台机器人在美国问世以来己有三十多年的历史，但机器人的关键技术至今仍

4、未很好解决。再如太空应用中，倒立摆系统的稳定与空间飞行器限制和各类伺服云台的稳定有很大相像性，它也是日常生活中所见到的任何重心在上、支点在下的限制问题的抽象，因此，倒立摆机理的探讨又具有重要的工程应用背景，成为限制理论中经久不衰的探讨课题。倒立摆的限制方法，在军工、航天和机器人领域有广泛的用处，对处理一般工业过程亦有指导性作用。 倒立摆常见类型有：1直线型倒立摆，2环型倒立摆，3旋转式倒立摆，4复合倒立摆系列。由于时间水平有限，本文仅针对一阶直线型倒立摆进行现代限制分析。图1.1为一级倒立摆装置简图。 摆杆滑轨小车皮带电机 图1.1 一级倒立摆装置简图 基于倒立摆的现代限制模型建立及分析 其次

5、章 倒立摆系统建模 2.1 状态空间表达式 2.1.1 数学模型建立 倒立摆系统由质量为M的小车和质量为m，长度为L的的连杆即摆构成。连杆的一端与小车通过旋转关节自由连接，即该关节无驱动力矩。该机械系统目的是操作小车的驱动力F，使得摆稳定在倒立点上，即连杆不倒下，即不超过预先定义好的一个垂直偏离角度范围。图2.1为倒立摆系统图，小车位移为x，摆的角度为q。 在系统数学模型中，首先假设：1摆杆为匀质刚体；2忽视摆杆与支点间的摩擦；3忽视小车与导轨的摩擦。 YLoFMmgX 图2.1 倒立摆系统图 &=0摆杆质心的确定位移为 H=x+lsinq 系统的初始状态 q=0，q根据牛顿其次运动定律，对系

6、统整体水平方向受力分析，求得方程d2xd2F(t)=M2+m2(x+lsinq) (2-1)dtdt对摆杆O点取力矩平衡，得到方程 27.5d2HM0=m2cosq-mglsinq=0 (2-2)dt2 基于倒立摆的现代限制模型建立及分析 方程12是非线性方程，由于限制的目的是保持倒立摆直立，在施加的外力条件下，假定q很小，接近于零是合理的。则sinqq，cosq1。在以上假设条件下，对方程线性化处理后，得到倒立摆系统的数学模型为： & (2-3)&+m&+mlqF(t)=Mxx& (2-4)&+lqglq=&x2.1.2 状态变量及状态空间表达式 在用状态空间法分析系统是，系统的动态特性是用

7、状态变量构成的一阶微分方程组描述的。它能反映系统的全部独立变量的转变，从而能同时确定系统的全部内部运动状态，而且还可以便利的处理初始条件。 &)T为系统的一组状态变量，输入为：u=F(t)，输出&,q,q取(x1,x2,x3,x4)T=(x,xy=x，则系统的状态方程为： 0&1x&0x2=x&30&4x010mg0-M00(m+M)g0Ml00x110x2M+u 1x30x104-Mlx1xy=(1,0,0,0)2 x3x4为便于计算，假设小车的质量M=1kg，摆杆质量m=0.2kg，摆杆长度为l=0.5m，g=10m/s2则系统状态方程为 &=Ax+bu y=cxx 00其中A=00100

8、-2000240001，b=，c=(1,0,0,0) 010-2倒立摆系统的原始模拟结构图如图2.2所示。 基于倒立摆的现代限制模型建立及分析 u+x&x1-2x2x&1y22-x&4x4x&33+x24 图2.2 倒立摆系统的原始模拟结构图 2.1.3 系统的约旦标准型 根据系统的特征方程lI-A=0，得到l2(l2-24)=0，解得特征值为 l1=l2=0，l3=4.899，l4=-4.899。 对应于lT1=0，由(l1I-A)P1=0，解得特征向量P1=(1000)。对应于l2=0，由(l2I-A)P2=-P1，解得特征向量P=(0100)T2。对应于l3=4.8，9由9(l3I-A)

9、P3=0，解得特征P=(14.899-12-58.788)T3。 对应于l4=-4.8，9由9(l4I-A)P4=0，解得特征PT4=(1-4.899-1258.788)。 由特征向量组成的变换矩阵 101100.08330T=014.899-4.899100.08331，T-1=000-12-1200-0.0417-0.0085 00-58.78858.78800-0.04170.00854 量量 向向 基于倒立摆的现代限制模型建立及分析 00-1约旦标准型矩阵L=TAT=00变换后的相关矩阵为 100000 04.899000-4.899T-1b=(00.8330.017-0.017)，c

10、T=(1011) T2.1.4 系统的并联实现 00s-100s201 系统的传递函数为W(s)=C(SI-A)-1b=(1000)00s-1000-24s2W(s)=14+ s2s2(s2-24)-1W(s)=145150.0170.017 +=+=+-22222ss(s-24)6s6(s+26)(s-26)6ss-4.898s+4.898用矢量矩阵形式表示为 &10x&x2=0x&30&40x1x10000x21+u 04.8990x3100-4.899x4100x1x2y=(0.833000.017-0.017) x3x4倒立摆并联型模拟结构图如图2.3所示 基于倒立摆的现代限制模型建立

11、及分析 &2xx2&1xx10.08334.489u+&3xx30.017+y-4.489+x4&4x-0.017 图 2.3 倒立摆并联型模拟结构图 基于倒立摆的现代限制模型建立及分析 第三章 倒立摆系统状态空间表达式的解 3.1 状态转移矩阵 根据约旦标准型矩阵，求得 10At-1e=f(t)=TLT=00011114.899-4.89900-12-1200-58.78858.7880t00110000e4.899t0000e-4.899t000.08330100.08330-0.0417-0.00850-0.04170.008510=00 t0.0833-0.0417e4.899t-0.

12、0417e-4.899t0.0833t-0.0085e4.899t+0.0085e-4.899t1-0.2043e4.899t+0.2043e-4.899t0.0833-0.0416e4.899t-0.0416e-4.899t00.5e4.899t+0.5e-4.899t0.102e4.899t-0.102e-4.899t02.451e4.899t-2.451e-4.899t0.5e4.899t+0.5e-4.899t3.2 系统在单位阶跃函数作用下的解 初始时刻为t0=0，初始状态x(0)=0，输入u(t)=1(t)，根据 x(t)=f(t)x(0)+f(t-t)bu(t)dt 0t1t0=

13、000t-t0.0833-0.0417e4.899(t-t)-0.0417e-4.899(t-t)0.0833(t-t)-0.0085e4.899(t-t)+0.0085e-4.899(t-t)01-0.2043e4.899(t-t)+0.2043e-4.899(t-t)0.0833-0.0416e4.899(t-t)-0.0416e-4.899(t-t)1dt4.899(t-t)-4.899(t-t)4.899(t-t)-4.899(t-t)000.5e+0.5e0.102e-0.102e4.899(t-t)-4.899(t-t)4.899(t-t)-4.899(t-t)-202.451e-

14、2.451e0.5e+0.5et-t-0.1666(t-t)+0.017e4.899(t-t)-0.017e-4.899(t-t)4.899(t-t)-4.899(t-t)t0.833+0.0832e+0.0832edt=0 -0.204e4.899(t-t)+0.204e-4.899(t-t)4.899(t-t)-4.899(t-t)-e-e2.04t2+0.00347e4.899t+0.00347e-4.899t4.899t-4.899t0.816+0.0169e-0.0169e= -0.0416e4.899t-0.0416e-4.899t4.899t-4.899t-0.204e+0.20

15、4e7 基于倒立摆的现代限制模型建立及分析 第四章 倒立摆系统的能控性和能观性 在现代限制理论中，能控性和能观性是两个很重要的概念，是卡尔曼在1960年首先提出来，它是最优限制和最优估计的设计基础。 4.1 倒立摆系统的能控性 对于线性连续定常系统，假如存在个分段连续的输入u(t)，能在有限时间区间t0,tf。使系统由某一初始状态x(t0)，转移到指定的任一终端状态x(tf)。则称此系统是状态完全能控的。系统的能控性完全取决于系统的结构、参数以及限制作用的施加点。 推断该倒立摆系统能控性有如下几种方法： 1根据图2.2倒立摆系统的原始模拟结构图，可以看出该系统是完全能控的。 2由系统约旦标准型

16、矩阵，可以看出输入矩阵b中相应于约旦块的最终一行元素不为零，故该系统是能控的。 3根据能控判别矩阵M=(bAbA2b04011040，A3b)=0-20-48-20-480rank(M)=n=4，故系统是完全能控的。 4.2 倒立摆系统的能控标准型 倒立摆系统属于单输入单输出系统，在能控判别证中只有唯一的一组线性无关量，因此系统的能控标准型是唯一的。 4.2.1 能控标准型 进行非奇异转变x=Tc1x，将原状态空间表达式化成 &=Ax+bu y=Cxx 基于倒立摆的现代限制模型建立及分析 1aAbb)3a2a101a3a2023a300 01Tc1=(A3bA2b系统特征方程为l4-24l2=

17、0，即a0=0，a1=0，a2=-24，a3=0 010104040110Tc1=-480-20-2400-480-20-2400100-2023000-2000 =000-201000-20-0.0250-0.050-0.050-0.025 Tc1-1=00-0.50000-0.500 A=Tc1-1ATc1=001001000240000 b=Tc1-1b= c=cTc1=(-20230) 0101s2-20当然也可根据系统输入输出传递函数W(s)=4，干脆写出A和c。 s-24s24.2.2 能控标准型 进行非奇异转变x=Tc2x，将原状态空间表达式化成 &=Ax+bu，y=Cx xTc

18、2=M=(bAbA2b040110403 Ab)=0-20-48-20-4801.200.101.200.10 Tc2-1=0-0.050-0.025-0.050-0.02509 基于倒立摆的现代限制模型建立及分析 0-1%=TAT=1Ac1c100001000000 b%= c%=cTc2=(0001) 1024010-204.3 倒立摆系统的能观性 对于线性连续定常系统，对随便给定的输入u(t)，在有限观测时间tft0，使得根据t0,tf期间的输出y(t)，能唯一确实定系统在初始时刻的状态x(t0)，则称状态x(t0)是可观测的。 1根据图2.2倒立摆系统的原始模拟结构图，可以看出该系统是

19、完全能观的。2由系统约旦标准型矩阵，可以看出输出入矩阵c中相应于每个约旦块开头的一列元素不为零，故该系统是能观的。 C1CA03根据能控矩阵N=2=CA03CA0能观的。 000100，rank(N)=n=4，故系统是完全 0-2000-24.4 倒立摆系统的能观标准型 4.4.1能观标准型 进行非奇异转变x=T01x，将原状态空间表达式化成 % &%+bu%=Axx% y=CxC1CA0T01=N=2=CA03CA0000100 0-2000-210 基于倒立摆的现代限制模型建立及分析 10-1T01=00000100 0-0.5000-0.51001000240-200%0 c%=cT01

20、=(1000) b=T01-1b=110000-1%A=T01AT01=004.4.2 能观标准型 进行非奇异转变x=T02x，将原状态空间表达式化成 % &%+bu%=Axx% y=Cx1a301T02=0000a2a310a1cA30-240-2a2cA2-240-20= a3cA010011000c01-1%A=T02AT02=00001000-2000%0 c%=cT01=(0001) b=T01-1b=1024100注释：因为状态空间表达式能观标准型与能控标准型对偶，能观标准型分别与与能控标准型相对偶，根据对偶原理A1=A2T,b1=c2T,c1=b2T，可以干脆写出系统的能关标准型

21、。 基于倒立摆的现代限制模型建立及分析 第五章 倒立摆系统的稳定性与李亚普诺夫方法 倒立摆系统是线性系统，系统的稳定性只取决于系统的结构和参数而与系统的初始条件及外界扰动无关。 李亚普诺夫第一法关于线性系统的稳定判据为：线性定常系统:(A,b,c) &=Ax+bu y=cxx，平衡状态xe=0渐进稳定的充要条件是矩阵A的全部特征值具有负实部。 倒立摆系统的特征方程lI-A=0，l2(l2-24)=0，解得特征值为l1=l2=0，l3=4.899，l4=-4.899，故该系统的状态不是渐进稳定的。 s2-20系统输入输出传递函数为W(s)=C(SI-A)b=4，传递函数的极点为 s-24s2-1

22、s1=s2=0，s3=4.899，s4=-4.899，并不是都位于s平面的左半平面，故该系统输出不是渐进稳定的。 基于倒立摆的现代限制模型建立及分析 第六章 倒立摆系统的综合 6.1 系统性能指标确实定 本文中的倒立摆系统是四阶的高阶系统，忽视某些留数很小的或离虚轴很远的极点所对应的瞬态重量，可以用一个二阶的低阶系统来近似。各瞬态响应重量衰竭快慢取决于对应的闭环极点距离s平面虚轴的远近，其中最靠近虚轴的闭环极点对系统的瞬态响应起主导作用，称为闭环主导极点。若其他非主导极点的实部比主导极点的实部大5倍以上，则主导极点对应的瞬态重量衰减到进入稳态即=2%或=5%所需要的调整时间比其他非主导极点所需

23、时间慢5倍以上。 -xp配置二阶系统的性能指标，超调量Mp=e1-x2100%=15%，得出阻尼比x=0.2727。0x0.8时，对应于稳态允许误差范围=2%，调整时间计算公式ts=4=2s，算出无阻尼固有频率wn=7.334rad/s。故二阶主导极点为xwnS1,2=-xwnwn1-wn2=-2j7.056，远离这两个主导极点配置系统的另外两个极点S3=-15，S4=-18。 6.2 系统极点配置 由极点S1,2=-2j7.056，S3=-15，S4=-18，*22系统的期望特征多项式为f(l)=(l+2xwnl+wn)(l-l3)(l-l4) =l4+37l3+455.788l2+2855

24、l+14522.76 倒立摆系统的能控标准型为 00&=x001001000240000x+b 100113 基于倒立摆的现代限制模型建立及分析 y=(-20230)x 由于该系统完全能控，故可实现状态反馈配置极点，加入状态反馈矩阵K=(k0k1k2k3)，系统的闭环特征多项式为 f(l)=det =l4+(-k3)l3+(-24-k2)l2+(-k1)l+(-k0) 比较f(l*)和f(l)的各项对应系数，可解得 k0=-14522.76,k1=-2855,k2=-479.788,k3=-37，K=(-14522.76-2855-479.788-37) 反变换到x状态 10K=KT01-1=

25、(-14522.76-2855-479.788-37)00000100 0-0.5000-0.5=(-14522.76-2855-239.894-18.5) 6.3 状态观测器 6.3.1 全维状态观测器 本文中倒立摆系统是完全能观的，可以构造状态观测器 系统的能观型为 01&=x00001000-20000 y=(0001)x x+u0241100引入反馈阵G=(g1g2g3g4)T，得到观测器特征多项式为 基于倒立摆的现代限制模型建立及分析 g1l00-1l0g2f(l)=det=det0-1l24-g300-1l-g4=l4-g4l3+(24-g3)l2+g2l+g1 比较f(l*)和f

26、(l)的各项对应系数，可解得 G=(14522.762855-431.788-37) T 反变换到x状态，0-240-214522.76-68450-240-202855-516= G=T02G=0100-431.7884.22981000-3721.549全维观测器方程为 &=(A-Gc)x+bu+Gy x68450516=-4.2298-21.54900=00100-200024100-20002400-6845001-516+xu+y 104.22980-221.54900-6845001-516+)xu+(y-y104.22980-221.549倒立摆系统的全维状态观测器如图6.1所示

27、。 6.3.2 降维观测器 01T=0000100001100-10T=00011000010000 1015 基于倒立摆的现代限制模型建立及分析 00-1A=TAT=0100-1b=Tb=0*0000001000100-200024000110000010000110-2000=0024010010000 00001010 =10-20-200010000110=(0001) 0001c=cT=(1000)00引入G=(g1g2Tg3)得到观测器特征多项式为 f(l)=detlI-(A11-GA21) l+g1=detg2g3-20l3+g1l2+(-24+2g2)l-24g1-2g3l1=

28、 24l配置观测器极点为-15，-15，-15，期望的观测器特征多项式为 3f(l*)=l+15=l3+45l2+675l+3375 比较f(l)和f*(l)各相应项系数，得 g1=45,g2=349.5,g3=-2227.5，即观测器为 G=(45349.5-2227.5) T观测器方程为 &1=(A11-GA12)w+y+(B1-GB2)u w1=w+Gy x-20-4527201&1=-349.501w+-17950y+0u w2227.5240108630-2 基于倒立摆的现代限制模型建立及分析 uA,b,Cy-y-68450+-516&1x1x2x+&2x&3x-24.2298+-2

29、21.5493x24+&4x4x 图 6.1 倒立摆系统的全维状态观测器 451=w+349.5y x-2227.5整个状态量x的估计值为 1+45yw=x1=w+Gy=w2+349.5y x-2227.5yx4x4w3y原系统的状态估计为 基于倒立摆的现代限制模型建立及分析 0=1=Txx00001000011+45yy1ww+45y0w2+349.5y1 =0w3-2227.5yw2+349.5yw0y3-2227.5y系统降维观测器如图6.2所示。 u(A,b,c)y4x90-4517950272045+-349.5+-2+349.51x-699108625.5+2227.5+-45+2

30、x2227.5+-+3x4455图 6.2 倒立摆系统的降维状态观测器 6.4 利用状态观测器实现状态反馈 根据全维观测器方程 68450516&=x-4.2298-21.549状态反馈阵 100-20002400-6845001-516+xu+y 104.22980-221.549K=(-14522.76-2855-239.894-18.5) 可以得出全维观测器闭环系统图如图6.3所示。 基于倒立摆的现代限制模型建立及分析 uA,b,Cy-68450+-516&1x1x2x&2x&3x4.2298+24+3x-2-2+21.549&4x4x图 6.3 闭环系统模拟结构图 基于倒立摆的现代限制

31、模型建立及分析 第七章 倒立摆系统的最优限制方案及限制器设计 针对其次章倒立摆系统的状态空间方程式，通过确定最优限制量u(t)=-Kx(t)的矩阵K，使得闭环系统渐进稳定，同时使线性二次型最优限制指标式6-1到达最小。 J=1tfT1TTdt+x(tf)Q0x(tf)(6-1)12t202式中，Q1(t)为nn维半正定的状态加权矩阵；Q2(t)为rr维正定的限制加权矩阵；Q0(t)为nn维半正定的终端加权矩阵。Q1(t)和Q2(t)是用来衡量状态变量和输入向量的权重。 针对倒立摆系统的平衡问题，可引入全状态反馈。当给系统施加阶跃输入时，找出满意系统性能的反馈增益矩阵K，使在其作用下将系统由初始

32、状态驱动到零平横状态。假如系统受到外界干扰而偏离零状态，施加最优限制u*使得系统回到零状态旁边并同时满意J到达最小，其中u*由公式6-2解得。 u*=-Q2-1(t)BT(t)P(t)x(t)=-K(t)x(t)(6-2)求解黎卡提Riccati矩阵方程式6-3的就可获得P的值以及最有反馈矩阵K值即式6-4。 &=-PA-ATP+PBQ-1BTP-Q(6-3)P21K=R-1BTP(6-4)当tf趋向无穷时，P(t)趋近于一个常值矩阵，P(t)=0，因此，上式给出的Riccati方程就简化为-PA-AT+PBR-1BTP-Q=0。 g20 基于倒立摆的现代限制模型建立及分析 参考文献 刘豹，唐

33、万生.现代限制理论北京：机械工业出版社，2023910. 吴振顺，张健成.限制理论基础与应用哈尔滨：哈尔滨工业高校出版社，20235963. 其次篇：倒立摆模型 直线一级倒立摆数学模型建立及线性化处理 直线一级倒立摆系统的组成 本系统由水平移动的小台车及由其支撑的单节倒立摆构成。限制输入量是拖动小台车的直流伺服电机的驱动力，被限制量是摆的偏角和小台车的位移。系统的构成示意如图1所示。 图1系统示意图 应用牛顿力学方法建立系统的数学模型 在以上假设的前提下，来分析系统的运动状况。接受隔离的方法，首先分析倒立摆系统的受力状况。 一、小台车的受力分析 设小台车的质量为M，f为由电机供应的x方向的驱动力，fw为系统的外部干扰作用力，x为小车和轨道的摩擦系数，K为电动机动特性影响因数，则根据小车水平方向所受的合力，可得如下方程： Mx=(f+fw)-fF-(x+K)x 1 其中fF表示摆的水平运动对台车的作用力，其方向与驱动力f的方向相反。 二、摆杆的受力分析 以小台车与摆的节点为坐标原点，取坐标系如图1。那么，摆的运动由水平方向，铅直方向以及旋转方向的运动来构成。记摆的质心距节点的距离为L, 摆的质量为m，摆的