2023年非线性方程求根的方法简介与例题.docx

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1、2023年非线性方程求根的方法简介与例题 第一篇：非线性方程求根的方法简介与例题 非线性方程f(x)=0求根主要可以接受下面三种方法，下面简洁介绍下，并附例题，让解法更一目了然。1)二分法简介： 计算步骤如下： 例题： 2)不动点迭代，也叫简洁迭代。 隐式化为显式，迭代法是一种逐次靠近法； 其中f(x)A交替出现。但如今假设军中有一个胆小鬼，同时大家又都很照看他，每次冲锋都是让他跟在后面，每当前面的人占据一个新的位置，就把位置交给他，然后其他人再往前占据新的位置。也就是A始终在B的前面，A向前迈进，B跟上，A把自己的位置交给B即执行B = A操作，然后A 再前进占据新的位置，B再跟上直到占据全

2、部的阵地，前进结束。像这种两个数一前一后逐步向某个位置靠近的方法称之为迭代法。 迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程,跟迭代法相对应的是干脆法或者称为一次解法，即一次性解决问题。迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令或确定步骤进行重复执行，在每次执行这组指令或这些步骤时，都从变量的原值推出它的一个新值。 利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作： 一、确定迭代变量。在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个干脆或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。 二、建立迭代关系式。所谓迭代关

3、系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式或关系。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以运用递推或倒推的方法来完成。 三、对迭代过程进行限制。在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必需考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的限制通常可分为两种状况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种状况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的限制；对于后一种状况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。 最经典的迭代算法是欧几里德算法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依靠于下面的定理： 定理：gcd(a

4、, b)= gcd(b, a mod b) 证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b。假设d是a,b的一个公约数，则有 a%d=0, b%d=0，而r = a-kb，因此r%d=0，因此d是(b, a mod b)的公约数 同理，假设d 是(b, a mod b)的公约数，则 b%d=0 , r%d=0，但是a = kb +r，因此d也是(a,b)的公约数。 因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必定相等，得证。 欧几里德算法就是根据这个原理来做的，欧几里德算法又叫辗转相除法，它是一个反复迭代执行，直到余数等于0停止的步骤，这事实上是一个

5、循环结构。其算法用C语言描述为： int Gcd_2(int a, int b)/ 欧几里德算法求a, b的最大公约数 if(a 0)/b总是表示较小的那个数，若不是则交换a，b的值 temp = a % b;/迭代关系式 a = b;/是那个胆小鬼，始终跟在b的后面 b = temp;/向前冲锋占据新的位置 return a; 从上面的程序我们可以看到a，b是迭代变量，迭代关系是temp = a % b;根据迭代关系我们可以由旧值推出新值，然后循环执a = b;b = temp;直到迭代过程结束余数为0。在这里a好比那个胆小鬼，总是从b手中接过位置，而b则是那个努力向前冲的先锋。 还有一个很

6、典型的例子是斐波那契(Fibonacci)数列。斐波那契数列为：0、1、1、2、3、5、8、13、21、，即 fib(1)=0;fib(2)=1;fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2)(当n2时)。 在n2时，fib(n)总可以由fib(n-1)和fib(n-2)得到，由旧值递推出新值，这是一个典型的迭代关系，所以我们可以考虑迭代算法。 int Fib(int n)/斐波那契(Fibonacci)数列 if(n 完全抵消。 d 抵消后差一常数。 dx=f(x)dxg(x)dx。2.两函数代数和的不定积分，等于它们各自积分的代数和，即：3.在求不定积分时，非零数可提到积分符号外面，即：

7、 kf(x)dx=kf(x)dx(k0)。 在这里，给出两个重要定理： (1)导数为0的函数是常函数。 (2)若两函数的导数处处相等，则两函数相差一个常数。以便于更好的解决一些简洁的不定积分问题。 上面将不定积分的概念以及性质做了简洁的介绍，下面，我们起先探讨不定积分的各种求解方法。 2.干脆积分法(公式法)从解题方面来看，利用不定积分的定义来计算不定积分是特殊不便利的，利用不定积分的运算性质和基本积分公式从而干脆求出不定积分，这种方法就是干脆积分法(另称公式法)。 下面先给出基本求导公式： mm-1()=mx(1)(kx)=k (2)x(3)(5) 11(lnx)= (4)(arctanx)

8、=1+x2 x11(arcsinx)=(x)=(6)logaxlna1-x (7)(9)(11)(ex)=ex (8)(sinx)=cosx (cosx)=-sinx (10)(tanx)=sec2x (cotx)=-csc2x。 根据以上基本求导公式，我们不难导出以下基本积分表： 10(1)xdx=kdx=kx+C(k是常数) (2)xmm+1m+1+C(m-1) (3) 1dxx=lnx+C (4)1+x2dx=arctanx+C 1(5)1-x2xdx=arcsinx+C (6) axadx=lna+C x(7)xdx=e+C (8)cosxdx=sinx+C e2sinxdx=-cos

9、x+C (10)secxdx=tanx+C 2cscxdx=-cotx+C。(9) (11)下面举例子加以说明： 2(3x-4x+1)dx 例2.1： 求解 原式= = 23xdx-4xdx+dx 3x2dx-4xdx+dx 32xx3(+)-4(+C2)+(x+C3)C 1= =32x-2x+x+C 留意：这里三个积分常数都是随便的，故可写成一个积分常数。所以对一个不定积分，只要在最终所得的式子中写上一个积分常数即可，以后遇到这种状况不再说明。 例2.2： 求xdx 2x+12dx(x2+1)-1dx=dx-2解 原式= 2x+1x+1 =x-arctanx+C 注：此处有一个技巧的方法，这

10、里先称作“加1减1法，相当于是将多项式拆分成多个单项式，然后利用基本积分公式计算，下面的例题中还会遇到类似的题型，遇到时具体 11 讲解。 干脆积分法只能计算较简洁的不定积分，或是稍做变形就可用基本积分表解决的不定积分，对于略微困难一点的不定积分便无从下手，所以，下面我们将一一探讨其他方法。 3.第一类换元法(凑微法)利用基本积分公式和积分性质可求得一些函数的原函数，但只是这样远不能解决问题，如 sinxcosxdx 2就无法求出，必需将它进行变形，然后就可以利用基本积分公式求出其积分。 假如不定积分 作变量代换uf(x)dx用干脆积分法不易求得，但被积函数可分解为 f(x)=gj(x)，=j

11、(x)，并留意到j(x)dx=dj(x)，则可将关于变量x的积分转化为关于u的积分，于是有 f(x)dx=gj(x)dx=g(u)du.假如g(u)du可以求出，不定积分f(x)dx的计算问题就解决了，这就是第一类 j(x)=u，最终一个等号表示回代换元法(凑微分法)。 注：上述公式中，第一个等号表示换元u=j(x).下面具体举例题加以探讨 10dx.(2x+1)例3.1：求110(2x+1)dx(2x+1)解 原式=2110d(2x+1)(2x+1) =2 1101u111du=+C(2x+1)+C 2x+1=u u u=2x+1 22221111对变量代换比较娴熟后，可省去书写中间变量的换

12、元和回代过程。 1d(x).例3.2：求2x-8x+25解 原式=111=d(x)d(x)222x-43(x-4)+9()+11=31x-4d()23x-4()+13 1x-4=arctan+C 33 dx例3.3：求1-x211111=(+)解 Q 21-x(1-x)(1+x)21+x1-x11d(1+x)d(1-x)= 21-x21+x1-x =1+C 2 11+x=ln+C 21-x3 dx在这里做一个小结，当遇到形如：ax2+bx+c的不定积分，可分为以下中状况： D=ax2+bx+c的： D大于0时。可将原式化为(x-x1)(x-x2)，2a其中，x、x为x+bx+c=0的两个解，则

13、原不定积分为： 113 dx1d(x-x1)d(x-x2)(x-x1)(x-x2)=(x2-x1) 1x-x1=ln+C (x2-x1)x-x2 D等于0时。可利用完全平方公式，然后可化成(x-k)-2d(x-k)。然后根据D小于0时。形如例4，可先给分母进行配方。然后可根据基本积分公式(4)便可求基本微分公式(2)便可求解。 解。例3.4： 求secxdx dxcosxdxdsinx=1-sin2x 2cosxcosx解 原式= dsinx=(1+sinx)(1-sinx) 1dsinxdsinx= 2(1+sinx)(1-sinx) 11+sinx=ln+C 21-sinx2 该题也可利用

14、三角函数之间的关系求解： x+secxtanxsecdx 原式=secx+tanx 1=d(secx+tanx)secx+tanx =lnsecx+tanx+C.虽然两种解法的结果不同，但阅历证均为secx的原函数，这也就表达了不定积分的2xdx.cos例3.5：求解法以及结果的不唯一性。 解 1+cos2x1cosxdx=2dx=2(dx+cos2xdx)2 =11dx+cos2xd(2x)24xsin2x=+C 24例3.6：求6secxdx.6解 22xdx=secsec(secx)xdx=(1+tan2x)d(tanx) 24=(1+2tanx+tanx)d(tanx) 2315=ta

15、nx+tanx+tanx+C 35注：当被积函数是三角函数的乘积时，拆开奇次项去凑微分。当被积函数为三角函数的偶数次幂时，常用半角公式通过降低幂次的方法来计算；若为奇次，则拆一项去凑微，剩余的偶次用半角公式降幂后再计算。 xdx.100例3.7：求(x-1)x-1+1dx=解 原式(x-1)100 22x+11=dx 99100 (x-1)(x-1)x-1+21=dx 99100 (x-1)(x-1)121=d(x-1)9898100(x-1)(x-1)(x-1)15 111-97-98=-(x-1)-(x-1)-(x-1)-99+C 974999注：这里也就是类似例2所说的方法，此处是“减1

16、加1法。 4.其次类换元法 假如不定积分替换f(x)dx用干脆积分法或第一类换元法不易求得，但作适当的变量x=j(t)后，所得到的关于新积分变量t的不定积分 fj(t)dt 可以求得，则可解决设函数f(x)dx的计算问题，这就是所谓的其次类换元(积分)法。 x=j(t)是单调、可导函数，且j(t)0，又设fj(t)具有原F(t)，则 f(x)dx=fj(t)dt=F(t)+C=F+C，其中y(x)是x=j(t)的反函数。 注：由此可见，其次类换元积分法的换元与回代过程与第一类换元积分法的正好相反。例4.1：求不定积分 22a-xdx(a0).解 令2x=asint，则dx=acostdt，t(

17、-p2,p2)，所以 22a(1+cos2t)dt 2221aa=(t+sin2t)+C=(t+sintcots)+C 222为将变量t还原回原来的积分变量x，由x=asint作直角三角形，可知a-xdx=acostacostdt=cost=22a-x，代入上式，得 a xxa22=arcsin+-+C ax-dxax2a22216 2a t 22a-x x 注：对此题，若令x=acost，同样可计算。 例4.2：求不定积分 1x+a22dx(a0).2x=atantdx=att(-p2,p2)，所以 解 令，则sectd，12dx=atdt=sectdt sec22asectx+a =lns

18、ect+tant+C1 22=lnx+xa+C 例4.3：求不定积分 122x-adx(a0).解 令x=asect，则dx=asecttantdt，t(0,p2)，所以 1asecttantdx=dt=sectdt 22atantx-a =lnsect+tant+C1 22=lnx+-+C xa 注：以上几例所运用的均为三角代换，三角代换的目的是化掉根式，其一般规律如下：若果被积函数中含有函数中含有 22a-x时，可令x=asint，t(-p2,p2)；假如被积22x+a，可令x=atant，t(-p2,p2)；假如被积函数中含有22x-a；可令x=asect，t(0,p2).dx例4.4：

19、求不定积分x-xe+ex dtdx=解 令t=e(t0)，则x=lnt，所以，t。 dxex+e-x 11=tdt=dt 211+tt+t=arctatn+C x=arcta+C.en 例4.5：求不定积分 xdx2-3x2.解 1dx2=222-3x2-3x2xdx(变形).222-t222=-tdt =令t=2-3x(t0)， x.dx33111122=-2-3=-dt=(-tdt)x+C 原式32t33关于其次类换元法，就举些例子说明，具体要多做大量的习题，这样才能找到该怎么样换元的感觉，才能更好的驾驭这种方法。 5.分部积分法 前面所介绍的换元积分法虽然可以解决许多积分的计算问题，但有

20、些积分，如xxedx、xcosxdx等，利用换元法就无法求解.接下来要介绍另一种基本积分法分部积分法.设函数u=u(x)和v=v(x)具有连续导数，则d(uv)=vdu+udv移项得到udv=d(uv)-vdu，所以有 udv=uv-vdu，或 uvdx=uv-uvd.上面两个式子称为分部积分公式.利用分部积分公式求不定积分的关键在于如何将所给积分 f(x)dx化成udv的形式，使它更简洁计算.所接受的主要方法就是凑微分法，例如，xxxxxxexdx=xxd=x-dx=x-+C=(x-1)+Ceeeeee 利用分部积分法计算不定积分，选择好u,v特殊关键，选择不当将会使积分的计算变得更加困难。

21、下面将通过例题介绍分部积分法的应用。 例5.1：求不定积分解 令 xcosxdx.u=x，cosxdx=dsinx=dv，则 xcosxdx=xdsinx=xsinx-sinxdx=xsinx+cosx+C 有些函数的积分需要连续多次应用分部积分法。 例5.2：求不定积分 x2edx.xx2dv=u=解 令edx，则 x和 xx=xd-2xdxeedx.xe2x对后面的不定积分再用分部积分法，xxxx=xd=x-+C xdxeeee(运算娴熟后，式子中不再指出u和v了)，代入前式即得 2xdx=(-2x+2)+C.xexe2x注：若被积函数是幂函数(指数为正整数)与指数函数或正(余)弦函数的乘

22、积，可设幂函数为u，而将其余部分凑微分进入微分符号，使得应用分部积分公式后，幂函数的幂次降低一次(幂指相碰幂为u)。 例5.3：求不定积分 xarctan2xdx2.xxdx=dn，解 令u=arctax2,则 2xarctanxdx= xarctanx-xd(arctanx)22211x=arctanx-(1-)dx 2221+x21x=arctaxn-(x-arctax)n+C 2注：若被积函数是幂指函数与对数函数或反三角函数的乘积,可设对数函数或反三角函数为u，而将幂函数凑微分进入微分号，使得应用分部积分公式后，对数函数或反三角函数消逝(幂对角(反三角函数)，对角u).xsinxdx.e

23、例5.4：求不定积分xsinxdx=sinxde(取三角函数为u)ex解 =exsinx-exd(sinx)=exsinx-excosxdx =exsinx-cosxdex(再取三角函数为u)=exsinx-(excosx-exdcosx)=ex(sinx-cosx)-exsinxdx x 解得 exesinxdx=2(sinx-cosx)+C 注：若被积函数是指数函数与正(余)弦函数的乘积时，u,dv可随便选取，但在两次分部积分中，必需选用同类型的u，以便经过两次分部积分后产生循环式，从而解出所求积分 20(指正余，随便选).下面将分部积分法关于u,dv的选择总结成一个表，以便于更好学习，如

24、下： 分类 I II III 不定积分类型 u和u的选择 p(x)sinxdx nu=pn(x),u=sinx u=pn(x),u=cosx p(x)cosxdx n xp(x)edx n u=pn(x),u=ex p(x)lnxdx nu=lnx,u=pn(x)u=arcsinx,u=pn(x)p(x)arcsinxdx np(x)arccosxdx nu=arccosx,u=pn(x) u=arctanx,u=pn(x)p(x)arctannxdx xesinxdx xecosxdx u=sinx,u=ex或u=ex,u=sinx u=cosx,u=ex或u=ex,u=cosx 6.结论

25、上面所介绍的都是常见不定积分的求解方法，根据不同的题的特点实行上述不同的方法，好多题要经过适当变形后才能应用上述方法，有的题经过不同的变形，应用不同的方法，计算结果就会不同。因此，不定积分的计算灵敏性很强，必需娴熟驾驭上述方法，而这就与做大量的练习是密不行分了，题做得多了，自己也就会积累更多的阅历，这样解起题来才能得心应手，才能娴熟自如的应用，而且，定积分、广义积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的各种问题也能迎刃而解。 曲天尧 2023年5月17日于济南 山东财经高校燕山校区 第五篇：固定资产折旧方法及例题范文模版 固定资产折旧方法及例题: 小提示: 1、年限平均法、工作量法和年数总和法计算每期折旧额时，均需要考虑意料净残值；双倍余额递减法仅在计算最终两年的折旧额时考虑意料净残值。 2、上述工式均假设固定资产未计提减值准备。已计提的，应当依据该项资产的账面价值固定资产账面余额扣减累计折旧和累计减值准备后的金额以及尚可运用年限重新计算确定折旧率和折旧额。 注：平均年限法是直线法的一种 直线法还有工作量法等只要是依据确定标准平均计提折旧就是直线法 假如题目中出现用直线法算折旧，就等于是年限平均法。