人教版高中数学必修二圆与方程小结与复习ppt模板课件.ppt

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1、小结与复习小结与复习1.圆圆心心为为点点C(8，-3)，且，且过过点点A(5，1)的的圆圆的的标标准方程准方程为为（）A.(x+8)2+(y-3)2=5B.(x-8)2+(y+3)2=5C.(x+8)2+(y-3)2=25 D.(x-8)2+(y+3)2=25 半径半径所以所求的所以所求的圆圆的的标标准方程准方程为为(x-8)2+(y+3)2=25.选选D.D2.方程方程y=对应的曲的曲线是（是（）原原曲曲线方方程程可可化化为x2+y2=4（y0），表表示示下下半半圆,选A.A3.半半径径为为5且且圆圆心心在在y轴轴上上的的圆圆与与x轴轴相相切切，则则圆圆的的方方程程为为（）A.x2+y2+1

2、0y=0B.x2+y2+10y=0或或x2+y2-10y=0C.x2+y2-10y=0D.x2+y2+10 x=0或或x2+y2-10 x=0B设设圆圆心心为为（0，b），由由题题意意，则则圆圆的的方方程程为为x2+（y-b）2=b2.因因为为半径半径为为5.所以所以 =5,b=5.故故圆圆的方程的方程为为x2+y2+10y=0或或x2+y2-10y=0.选选B.易易错错点：点：圆圆心的位置可能在心的位置可能在y轴轴上半上半轴轴或下半或下半轴轴.4.已已知知圆圆C1：(x+1)2+(y-1)2=1，圆圆C2与与圆圆C1关关于于直直线线x-y-1=0对对称，称，则圆则圆C2的方程的方程为为.设圆

3、设圆C2的的圆圆心心为为（a，b），），则则依依题题意，意，对对称称圆圆的半径不的半径不变变，为为1，故填，故填(x-2)2+（y+2）2=1.(x-2)2+(y+2)2=1有有，解得：，解得：a=2b=-2.5.若若圆x2+y2+（a2-1）x+2ay-a=0关关于于直直线x-y+1=0对称称，则实数数a=.依依 题 意意 直直 线 x-y+1=0，过 已已 知知 圆 的的 圆 心心 所以所以解得解得a=3或或a=-1，当，当a=-1时，方程，方程x2+y2+（a2-1）x+2ay-a=0不能表示不能表示圆，所以只能取，所以只能取a=3.填填3.易易错点：方程点：方程x2+y2+Dx+Ey+

4、F=0仅在在D2+E2-4F0时才表示才表示圆，因此需因此需检验不等式是否成立不等式是否成立.31.圆的的定定义：平平面面内内到到一一个个定定点点的的距距离离等等于于定定长的的点点的的集集合合（轨迹）叫做迹）叫做圆，定点叫做，定点叫做圆心，定心，定长叫做叫做圆的半径的半径.2.圆的方程的方程（1）标准方程：以（准方程：以（a,b）为圆心，心，r（r0）为半径的半径的圆的的标准方程准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2.（2）一般方程：一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0.当当D2+E2-4F0时时，表示，表示圆圆的一般方程，其的一般方程，其圆圆心的坐心的坐标为标为半径半径当当D2+E2-

5、4F=0时时，只表示一个点；，只表示一个点；当当D2+E2-4Fr2;若点若点M（x0,y0）在）在圆C上，上，则（x0-a）2+（y0-b）2=r2;若点若点M（x0,y0）在）在圆C内，内，则（x0-a）2+（y0-b）2 dr2、直线与圆相切 =d=r3、直线与圆相交 =drR+r|O1O2|=R+rR-r|O1O2|R+r|O1O2|=R-r|O1O2|R-r外切外切相交相交内切内切内含内含rRO1 1O2 2rRO1 1O2 2rRO1 1O2 2rRO1 1O2 2rRO1 1O2 25.圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系设圆设圆O1的半径为的半径为r1，圆，圆O2的半径为的半径为r

6、2，6.对称称问题:圆（x-a）2+（y-b）2=r2关于直关于直线x=0的的对称称圆的方程的方程为（x+a）2+（y-b）2=r2;关于直关于直线y=0的的对称称圆的方程的方程为（x-a）2+（y+b）2=r2；关于直关于直线y=x的的对称称圆的方程的方程为（x-b）2+（y-a）2=r2；关于直关于直线y=-x的的对称称圆的方程的方程为（x+b）2+（y+a）2=r2.7.7.与圆有关的弦长问题与圆有关的弦长问题几何方法：几何方法：代数方法：代数方法：rd dA AB BO O解析几何中，解决圆的弦长、弦心距的计算常常利用几何方法解析几何中，解决圆的弦长、弦心距的计算常常利用几何方法.其中

7、其中K K是直线的斜率，是直线的斜率，X XA A、x xB B是直线和圆交点的横坐标是直线和圆交点的横坐标,且且圆圆x2+y2=r2，圆圆上一点上一点为为(x x0，y y0)，则则此点的切此点的切线线方程方程为为x x0 x+y0y=r2圆圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r28.过圆过圆上一点的切上一点的切线线方程：方程：9.两圆相交的弦的方程两圆相交的弦的方程 O1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0和和 O2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交时，相交

8、时，公共弦方程为公共弦方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.10.圆系方程：圆系方程：设圆设圆C1 x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆和圆C2 x2+y2+D2x+E2y+F2=0若两圆相交，则过交点的圆系方程为若两圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(为参数，圆系中不包括圆为参数，圆系中不包括圆C2，=-1为两圆的公共弦所在直线方程为两圆的公共弦所在直线方程)设圆设圆C x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线与直线l：Ax+By+C=0，若直线若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为与圆相交，则过交点的

9、圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0(为参数为参数)重点突破：重点突破：圆的方程的方程 （）求求过两两点点A（1,4）,B（3,2）,且且圆心心在在直直线y=0上的上的圆的的标准方程，并判断点准方程，并判断点P（2,4）与）与圆的位置关系的位置关系.（）求求过A（4,1），B（6，-3）C（-3,0）三三点点的的圆的的方方程，并求程，并求这个个圆半径半径长和和圆心心C坐坐标.（）欲欲求求圆的的标准准方方程程，只只需需求求出出圆心心坐坐标和和圆的的半半径径，而而要要判判断断点点P与与圆的的位位置置关关系系，只只需需看看点点P与与圆心心的的距距离离和和圆的的半半径径的的大大

10、小小关关系系.（）设出出圆的的方方程程，解方程解方程组即可即可.（）解解法法1：（待待定定系系数数法法）设圆的的标准准方方程程为（x-a）2+（y-b）2=r2，因因为圆心在心在y=0上上,故故b=0，所以所以圆的方程的方程为（x-a）2+y2=r2又因又因为该圆过A（1,4）,B（3,2）两点）两点,则（1-a）2+16=r2（3-a）2+4=r2，解得，解得a=-1，r2=20.解解法法2：（直直接接求求出出圆心心坐坐标和和半半径径）因因为圆过A（1,4）,B（3,2）两点，）两点，所所以以圆心心必必在在线段段AB的的中中垂垂线l上上,又又因因为kAB=-1,故故l的斜率的斜率为1,又又A

11、B的的中中点点为（2，3）,故故线段段AB的的中中垂垂线l的的方方程程为x-y+1=0.又知又知圆心在直心在直线y=0上上,故故圆心心为C(-1，0)，所所以以半半径径 故故所所求求圆的的方方程程为(x+1)2+y2=20.又点又点P(2,4)到到圆心心(-1，0)的距离的距离为所以点所以点P在在圆外外.()设圆的方程的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，因因为三点三点A(4,1)，B(6，-3)，C(-3,0)都在都在圆上，上，所所以以它它们的的坐坐标都都是是方方程程的的解解，将将它它们的的坐坐标代代入入方方程得，程得，42+12+4D+E+F=062+(-3)2+6D-3E+F=0(-3

12、)2+02-3D+0E+F=0，解得，解得D=-2E=6F=-15.所以所以圆的方程的方程为x2+y2-2x+6y-15=0，即（即（x-1）2+（y+3）2=25，所以所以圆心坐心坐标为（1，-3），半径），半径为r=5.“待待定定系系数数法法”是是求求圆的的方方程程的的常常用用方方法法.一一般般的的，在在选用用圆的的方方程程形形式式时，若若问题涉涉及及圆心心和和半半径径，则选用用标准方程比准方程比较简便，否便，否则选用一般方程方便些用一般方程方便些.根据下列条件求根据下列条件求圆的方程的方程.（）圆过P（4,-2）,Q（-1,3）两两点点，且且在在y轴上上截截得得的的线段段长为4.（）已已

13、知知圆的的半半径径为，圆心心在在直直线y=2x上上，圆被被直直线x-y=0截得的弦截得的弦长为4 .()设圆的方程的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.4D-2E+F=-20D-3E-F=10，令令x=0,由由得得y2+Ey+F=0.由已知由已知 其中其中y1,y2是方程是方程的两根，的两根，(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48，联立方程解得立方程解得D=-2,E=0,F=-12或或D=-10,E=-8,F=4，故所求的故所求的圆的方程的方程为x2+y2-2x-12=0或或x2+y2-10 x-8y+4=0.将将P,Q点的坐标代入点的坐标代入式得式得()解法解法1

14、：设圆的方程的方程为(x-a)2+(y-b)2=10，由由圆心在直心在直线y=2x上，得上，得b=2a，由由圆在直在直线x-y=0截得的弦截得的弦长为4 ，将将y=x代入代入(x-a)2+(y-b)2=10.整理得整理得2x2-2(a+b)x+a2+b2-10=0.由弦由弦长公式得公式得化化简得得a-b=2.解解得得a=2,b=4或或a=-2,b=-4,所以所求所以所求圆方程方程为(x-2)2+(y-4)2=10或或(x+2)2+(y+4)2=10.解解法法2：根根据据图形形的的几几何何性性质：半半径径，弦弦长的的一一半半，弦弦心心距构成直角三角形，由勾股定理，距构成直角三角形，由勾股定理，可

15、得弦心距可得弦心距因因为弦心距等于弦心距等于圆心（心（a,b）到直）到直线x-y=0的距离，的距离，所以所以 又已知又已知b=2a，解得解得a=2,b=4或或a=-2,b=-4.所所 以以 所所 求求 圆 方方 程程 为（x-2）2+（y-4）2=10或或（x+2）2+（y+4）2=10.求以求以圆圆C C1 x x2+y2-12x-2y-13=0和和圆圆C C2：x x2+y2+12x+16y-25=0的公的公共弦共弦为为直径的直径的圆圆的方程的方程解法一：相减得公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0 所求圆以AB为直径，于是圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=25.解法二：解法二：设设所

16、求所求圆圆的方程的方程为为：x2+y2-12x-2y-13+(x2+y2+12x+16y-25)=0(为参数为参数)圆心圆心C应在公共弦应在公共弦AB所在直线上所在直线上，所求圆的方程为所求圆的方程为x2+y2-4x+4y-17=0 重点突破：与重点突破：与圆有关的最有关的最值问题 例3.已知已知实数数x,y满足方程足方程x2+y2-4x+1=0（）求求y-x的最大的最大值和最小和最小值,（）求求x2+y2的最大的最大值和最小和最小值.根根据据代代数数式式的的几几何何意意义，借借助助于于平平面面几几何何知知识，数数形形结合求解合求解.方方程程x2+y2-4x+1=0变形形为(x-2)2+y2=

17、3，所所表表示示的的图形形是是圆.()y-x看看作作是是直直线y=x+b在在y轴上上的的截截距距，当当直直线y=x+b与与圆相切相切时，纵截距截距b取得最大取得最大值和最小和最小值，此，此时解得解得b=-2 ,所以所以y-x的最大的最大值为-2+，最小，最小值为-2-.（）x2+y2表表示示圆上上一一点点与与原原点点距距离离的的平平方方，由由平平面面几几何何知知识知知，在在原原点点与与圆心心连线和和圆的的两两个个交交点点处取取得得最最大大值和最小和最小值.又又圆心到原点的距离心到原点的距离为所所以以x2+y2的的最最大大值是是(2+)2=7+4;最最小小值是是(2-)2=7-4 .涉涉及及与与

18、圆有有关关的的最最值，可可以以借借助助圆的的几几何何性性质，依依照照数数形形结合合思思想想进行行求求解解；联想想过两两点点的的直直线的的斜斜率率公公式式，两点两点间距离公式，距离公式，过定点的直定点的直线系或平行系或平行线系等知系等知识的的应用用.已已知知实数数x,y满足足方方程程x2+y2-4x+1=0，求求的的最大最大值与最小与最小值.设=k，即即y=kx，当当直直线y=kx与与圆相相切切时，斜斜率率k取取得得最最大大值和和最最小小值.因因为圆心心（2,0）到到直直线y=kx的的距距离离为，所以，所以得得k=.所以所以已已知知圆x2+y2+x-6y+m=0和和直直线x+2y-3=0交交于于

19、P，Q两两点点，且且OPOQ（O为坐坐标原原点点），求求该圆的的圆心心坐坐标及及半径半径.利利用用OPOQ得得到到O点点在在以以PQ为直直径径的的圆上上，在利用勾股定理求解在利用勾股定理求解.设已知已知圆的的圆心心为C，弦，弦PQ中点中点为M，因因为CMPQ,所以所以kCM=2，所以所以CM所在直所在直线的方程的方程为即：即：y=2x+4.y=2x+4x+2y-3=0,解得解得M的坐的坐标为（-1，2）.由方程组由方程组则以以PQ为直径的直径的圆可可设为(x+1)2+(y-2)2=r2，因因为OPOQ所以点所以点O在以在以PQ为直径的直径的圆上上.所以所以(0+1)2+(0-2)2=r2，即，

20、即r2=5，MQ2=5.在在RtCMQ中，因中，因为CQ2=CM2+MQ2，所以所以所以所以m=3.所以半径所以半径为，圆心心为(-，3).在在解解决决与与圆有有关关的的问题中中.借借助助与与圆的的几几何何性性质，往往往会使得思路往会使得思路简洁明了，明了，简化运算化运算.1.求求圆圆的方程常用待定系数法，步的方程常用待定系数法，步骤骤大致是：大致是：根据根据题题意，意，选择标选择标准方程或一般方程；准方程或一般方程；根据条件列出关于根据条件列出关于a,b,r或或D,E,F的方程的方程组组；解出解出a,b,r或或D,E,F代入代入标标准方程或一般方程准方程或一般方程.2.研研究究与与圆圆有有关

21、关的的最最值值问问题题时时，可可借借助助图图形形的的性性质质，利利用用数形数形结结合求解，一般地合求解，一般地形形如如形形式式的的最最值值问问题题，可可转转化化为为动动直直线线的的斜斜率率的最的最值问题值问题；形形如如t=ax+by形形式式的的最最值值问问题题，可可转转化化为为动动直直线线的的截截距距的的最最值问题值问题；形形如如v=（x-a）2+（y-b）2形形式式的的最最值值问问题题，可可转转化化为为动动点到定点的最点到定点的最值问题值问题.3.点点与与圆的的位位置置关关系系可可利利用用点点与与圆心心的的距距离离和和半半径径r的的大大小来判断小来判断.4.圆的的问题的的解解题技技巧巧：处理

22、理有有关关圆的的问题，要要特特别注注意意圆心心半半径径及及平平面面几几何何知知识的的应用用，如如弦弦心心距距，半半径径，弦弦长的的一一半半构构成成的的直直角角三三角角形形经常常用用到到，利利用用圆的的一一些些特特殊殊几几何何性性质解解题，往往使，往往使问题简化化.1.（2009辽辽宁宁卷卷）已已知知圆圆C与与直直线线x-y=0及及x-y-4=0都都相相切切，圆圆心在直心在直线线x+y=0上，上，则圆则圆C的方程的方程为为（）A.(x+1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y+1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2 圆圆心心在在x+y=0上上,排

23、排除除C、D,再再结结合合图图象象,或或者者验验证证A、B中中圆圆心到两直心到两直线线的距离等于半径的距离等于半径 即可即可.选选B.本本小小题题考考查查圆圆的的标标准准方方程程，直直线线与与圆圆的的位位置置关关系系，属属于基于基础题础题.B 2.(2009广广东卷卷)以点以点(2，-1)为圆心且与直心且与直线x+y=6相切的相切的圆的方程是的方程是 .将直将直线x+y=6化化为x+y-6=0,则易知易知圆的半径的半径 所以所以圆的方程的方程为(x-2)2+(y+1)2=.故填故填(x-2)2+(y+1)2=.本本小小题主主要要考考查直直线与与圆的的位位置置关关系系，圆的的标准方程及点到直准方程及点到直线的距离公式的距离公式.