人教版高中数学选修第一讲-不等式和绝对值不等式综合课件.ppt

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1、 这一结论虽很简单这一结论虽很简单,却是我们推导或证明不等式的基础却是我们推导或证明不等式的基础.基本不等式基本不等式aabbb几何解释几何解释算术平均数算术平均数几何平均数几何平均数几何解释几何解释OabDACB 可以用来求最值可以用来求最值(积定和小积定和小，和定积大和定积大)注意注意:利用算术平均数和集合平均利用算术平均数和集合平均数定理时一定要注意定理的条件数定理时一定要注意定理的条件:一正一正;二定二定;三相等三相等.有一个条件达不有一个条件达不到就不能取得最值到就不能取得最值.1.1.已知：已知：0 0 x x，求函数，求函数y=xy=x（1-3x1-3x）的最大值）的最大值利用二

2、次函数求某一区间的最值利用二次函数求某一区间的最值分析一、分析一、原函数式可化为：原函数式可化为：y=-3x2+x，分析二、分析二、挖掘隐含条件挖掘隐含条件即即x=x=时时 y ymaxmax=3x+1-3x=13x+1-3x=1为定值，且为定值，且0 0 x x则则1-3x1-3x0 0；00 x x，1-3x1-3x0 0y=xy=x（1-3x1-3x）=3x3x（1-3x1-3x）当且仅当当且仅当 3x=1-3x3x=1-3x 可用均值不等式法可用均值不等式法配凑成和成定值配凑成和成定值2.2.已知正数已知正数x x、y y满足满足2x+y=12x+y=1，求，求的最小值的最小值即即 的

3、最小值为的最小值为过程中两次运用了过程中两次运用了均值不等式中取均值不等式中取“=”号过渡，而这两次取号过渡，而这两次取“=”号的条件是不同的，号的条件是不同的，故结果错。故结果错。错因：错因：解：解：2.2.已知正数已知正数x x、y y满足满足2x+y=12x+y=1，求，求的最小值的最小值正解：正解：当且仅当当且仅当即即:时取时取“=”号号即此时即此时“1”代换法代换法特别警示特别警示：用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的条件，特别地，如果多次运用均值不等式求条件，特别地，如果多次运用均值不等式求最值，则要考虑多次最值，则要考虑多次“”（或

4、者（或者“”）中取）中取“=”成立的诸条件是否相容。成立的诸条件是否相容。且 练习、已知练习、已知，求 的最小值解：当且仅当 即 时 书 山 有 路 勤 为 径，学 海 无 崖 苦 作 舟少 小 不 学 习，老 来 徒 伤 悲 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！天 才 在 于 勤 奋，努 力 才 能 成 功！定理定理3语言表述语言表述：三个正数的算术平均不小于它三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。们的几何平均。推论推论:关于关于“平均数平均数”的概念：的概念：1如果 则：叫做这叫做这n个正数的个正数的算术平均数。算术平均数。叫做这叫做这n个正

5、数的个正数的几何平均数几何平均数。2.基本不等式：基本不等式：语言表述语言表述：n n个正数的算术平均数不小于它们个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当的几何平均数，当且仅当1 1a a2 2=a=an n时，等号成立时，等号成立推推广广例例:解解:构造三个构造三个数相数相 加加等于定值等于定值.练习练习:解解:构造三个数构造三个数相相 加等于加等于定值定值.例将一块边长为例将一块边长为a的正方形铁皮，剪去四个角（四的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最其容积最大，剪

6、去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？大容积是多少？解解:设剪去的小正方形的边长为设剪去的小正方形的边长为则其容积为则其容积为:练习练习:解解:(错解错解:原因是取不到等号原因是取不到等号)正解正解:练习：练习：是锐角，求是锐角，求y=sincos2的最大值。的最大值。可以看到可以看到,几何背景在问题解决中有其独特的魅力。几何背景在问题解决中有其独特的魅力。关于绝对值还有什么性质呢关于绝对值还有什么性质呢?表示数轴上坐标为表示数轴上坐标为a的点的点A A到原点到原点O O的距离的距离.推论推论练习练习由这个图，你还能发现什么结论？由这个图，你还能发现什么结论？1、|a+b|-|a-b|2|

7、a|a+b|+|a-b|a+b|-|a-b|2|b|a+b|+|a-b|2.已知已知|a-c|1,求证求证|a|c|+1提示：提示：|a|=|a-c+c|a-c|+|c|1+|c|证明：证明：|x+2y3z|x|2y|3z|=|x|2|y|3|z|x|，|y|，|z|x|2|y|3|z|x2y3z|求证求证.变变1 1 已知，已知，证明：求求 的最小值。的最小值。1+-=xxy31解：解：法三：利用三角形不等式法三：利用三角形不等式变变2:2:练习解决引例练习解决引例例例2:已知二次函数已知二次函数 ，若若 ，证明：，证明：证明：因为证明：因为 所以所以例例4 设设 ，函数，函数证明：证明：证

8、证：所以所以利用利用 在条件不等式证明中比较常用在条件不等式证明中比较常用0-1不等式不等式|x|1的解集表示到原点的距离小于的解集表示到原点的距离小于1的点的集合的点的集合.1所以，不等式所以，不等式|x|1的解集为的解集为x|-1x1探索：不等式探索：不等式|x|1的解集的解集.方法一：方法一：利用绝对值的利用绝对值的几何意义几何意义观察观察当当x0时，原不等式可化为时，原不等式可化为x1当当x0时，原不等式可化为时，原不等式可化为x1，即，即x1 0 x1 1x0综合综合得，原不等式的解集为得，原不等式的解集为x|1x1方法二方法二:利用利用绝对值的定义绝对值的定义去掉绝对值符号去掉绝对

9、值符号,需要需要分类讨论分类讨论探索：不等式探索：不等式|x|1的解集。的解集。对原不等式两边平方得对原不等式两边平方得x21即即 x210即即(x+1)(x1)0即即1x1所以，不等式所以，不等式|x|1的解集为的解集为x|-1x1方法三：方法三：两边同时两边同时平方去掉绝对值平方去掉绝对值符号符号.从函数观点看，不等式从函数观点看，不等式|x|1的解集表示函数的解集表示函数y=|x|的图象位于函数的图象位于函数y=1的的图象下方的部分对应的图象下方的部分对应的x的取值范围的取值范围.oxy111y=1所以，不等式所以，不等式|x|1的解集为的解集为x|-1x1方法四：方法四：利用利用函数图

10、象函数图象观察观察一般地，可得解集规律一般地，可得解集规律:形如形如|x|a 的含绝对值的不等式的解集的含绝对值的不等式的解集:不等式不等式|x|a的解集为的解集为x|-axa的解集为的解集为x|xa 0-aa0-aa1.试解下列不等式：试解下列不等式：课堂练习：课堂练习：2.2.解不等式：解不等式：解：解：原不等式原不等式 或或 或或或或原不等式的解集是原不等式的解集是 另解：另解：原不等式的解集是原不等式的解集是 3.3.解不等式解不等式|x-1|+|-1|+|x+2|5+2|5解：解：当当x1时，原不等式同解于时，原不等式同解于x2 2x-211-(-(x-1)+(-1)+(x+2)+2

11、)5 5x-3-3综合上述知不等式的解集为综合上述知不等式的解集为3 3当当x-21)1)-(-(x-1)+(-1)+(x+2)-5 (-2+2)-5 (-2x1)1)-(-(x-1)-(-1)-(x+2)-5 (+2)-5 (x-2)1)1)-2 (-2-2 (-2x1)1)-2-2x-6 (-6 (x-2)-2)令令f(x)=|)=|x-1|+|-1|+|x+2|-5,+2|-5,则则-3-31 12 2-2-2-2-2xy由图象知不等式的解集为由图象知不等式的解集为f(x)=)=方法二：方法二：通过构造函数，利用函数的图象，体现了函数与方程的通过构造函数，利用函数的图象，体现了函数与方程

12、的思想思想方法小结方法小结3.3.试解不等式试解不等式|x-1|+|-1|+|x+2|5+2|5方法三：方法三：利用绝对值的几何意义，体现了数形结合的思想利用绝对值的几何意义，体现了数形结合的思想-2-21 12 2-3-3解解:|:|x-1|+|-1|+|x+2|=5+2|=5的解为的解为x=-3=-3或或x=2=2所以原所以原不等式不等式的解为的解为方法小结方法小结1.1.解不等式解不等式|2|2x-4|-|3-4|-|3x+9|1+9|22时，原不等式可化为时，原不等式可化为x223 3当当x-3-3时，原不等式可化为时，原不等式可化为2 2当当-3-3x2 2时，原不等式可化为时，原不

13、等式可化为x-3-3-(2-(2x-4)+(3-4)+(3x+9)1+9)1(2(2x-4)-(3-4)-(3x+9)1+9)22-(2-(2x-4)-(3-4)-(3x+9)1+9)1x-13-13综上所述综上所述,原不等式的解集为原不等式的解集为3.3.不等式不等式 有解的条件是有解的条件是()()1.1.解不等式解不等式|2|2x-4|-|3-4|-|3x+9|1+9|1B B解（解（2）原不等式等价于：原不等式等价于：或或或或解之得解之得 或或 或或 所以原不等式的解：所以原不等式的解：35YX0y=41-12.52练习练习:（2003年全国）已知年全国）已知，设，设P：函数：函数在在

14、R上递减，上递减，Q：不等式：不等式 的解集为的解集为R，如果如果P与与Q有且仅有一个正确，求有且仅有一个正确，求 c 范围。范围。解：函数解：函数 在在R上递减，则上递减，则 记记0 xyy=1由于由于 的最小值为的最小值为 2c不等式不等式 的解集为的解集为R 所以所以P正确时：正确时：；Q正确时：正确时：010.5满足条件的满足条件的 c 取值范围是：取值范围是：例例2已知函数已知函数（1）判断）判断 的奇偶性；的奇偶性；（2）解关于）解关于x 的不等式的不等式解（解（1）当）当a=0 时，时，是奇函数是奇函数 当当 时，时，是非奇非偶函数是非奇非偶函数（2）当当a=0 时时，当当 时，时，当当 时，时，综上所述：综上所述：