对数课件高中数学必修一北师大版.ppt

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1、4对数4.1对数及其运算第1课时对数问题问题引航引航1.1.对对数、自然数、自然对对数及常用数及常用对对数是如何定数是如何定义义的的?2.2.对对数与指数有何区数与指数有何区别别与与联联系系?学学习对习对数数应应注意注意哪些哪些问题问题?对对数有何基本性数有何基本性质质?1.1.对对数的概念数的概念(1)(1)请请根据下根据下图图的提示填写与的提示填写与对对数有关的概念：数有关的概念：指数指数对数对数幂幂真数真数底数底数(2)a(2)a的取的取值值范范围围是是_._.(3)(3)读读法：法：logloga aN N读读作以作以_为为底底_的的对对数数.a0,a1a0,a1a aN N2.2.常

2、用常用对对数与自然数与自然对对数数(其中无理数其中无理数e2.71828)e2.71828)lgNlgN自然自然以以e e为底为底3.3.对对数的基本性数的基本性质质及及对对数恒等式数恒等式(1)log(1)loga a1=_(a0,a1).1=_(a0,a1).(2)log(2)loga aa=_(a0,a1).a=_(a0,a1).(3)(3)负负数和零数和零_对对数数.(4)(4)对对数恒等式数恒等式 =_(a0,a1).=_(a0,a1).0 01 1没有没有N N1.1.判一判：判一判：(正确的打正确的打“”,错误错误的打的打“”)(1)(1)若若a ax x=b,=b,则则x=x=

3、logloga ab b.(.()(2)lgx(2)lgx是是logxlogx的的缩缩写形式写形式.(.()(3)(3)对对数运算的数运算的实质实质是求是求幂幂指数指数.(.()2.2.做一做：做一做：(请请把正确的答案写在横把正确的答案写在横线线上上)(1)ln2(1)ln2的底数是的底数是,真数是真数是.(2)(2)若若2 2x x=3,=3,则则x=x=.(3)lg10=(3)lg10=.(4)=_.(4)=_.【解析解析】1.(1)1.(1)错误错误.x=.x=logloga ab b中中a a为不等于为不等于1 1的正实数的正实数.(2)(2)错误错误.lgxlgx是是loglog1

4、010 x x的缩写形式的缩写形式.(3)(3)正确正确.由由a ax x=b(ab(a0,a1),0,a1),则则x=x=logloga ab(ab(a0,a1)0,a1)可知对数运可知对数运算的实质是求幂指数算的实质是求幂指数.答案：答案：(1)(1)(2)(2)(3)(3)2.(1)ln22.(1)ln2的底数是的底数是e,e,真数是真数是2.2.答案：答案：e e2 2(2)(2)由指数式与对数式的互化由指数式与对数式的互化,得得a ax x=b bx x=logloga ab(ab(a0,a1)0,a1)可知可知x=logx=log2 23.3.答案：答案：loglog2 23 3(

5、3)(3)由对数的运算性质可知由对数的运算性质可知lg10=1.lg10=1.答案：答案：1 1(4)(4)由对数恒等式可知由对数恒等式可知 =3.=3.答案：答案：3 3 【要点探究要点探究】知知识识点点1 1 对对数的有关概念数的有关概念1.1.对对数的定数的定义义中中规规定定a0,a1a0,a1的原因的原因(1)(1)若若a0,a0,a1,N0a0,a1,N0时时才有意才有意义义.角度二：角度二：对对数式数式logloga aN N也可以看作一种运算也可以看作一种运算,是在已知是在已知a ab b=N=N求求b b的的前提下提出的前提下提出的.角度三：角度三：logloga aN N是一

6、个数是一个数,是一种取是一种取对对数的运算数的运算,结结果仍是一个数果仍是一个数,不可分开不可分开书书写写,也不可也不可认为认为是是logloga a与与N N的乘的乘积积.【知识拓展知识拓展】对数式中对数式中“loglog”符号的理解符号的理解 对数式中的对数式中的“loglog”符号同符号同“+”“”“”“”“”符号一样符号一样,表示一种运算表示一种运算,即已知一个数和它的幂求指数的运算即已知一个数和它的幂求指数的运算,这种运算这种运算叫对数运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面不过对数运算的符号写在数的前面.【微思考微思考】(1)(1)为为什么什么logloga aN(aN(a0

7、,a1)0,a1)中中N0N0时时才有意才有意义义?提示：提示：依据对数定义依据对数定义,若若a ax x=N(aN(a0,a1),0,a1),则则x=x=logloga aN N,对于对于a0,a0,不论不论x x取何实数总有取何实数总有a ax x0,0,故需故需N0,logN0,loga aN N才有意义才有意义.(2)(2)任何一个指数式都可以化成任何一个指数式都可以化成对对数式数式吗吗?提示：提示：不是不是.如如(-2)(-2)3 3=-8,=-8,不能写作不能写作loglog-2-2(-8)=3.(-8)=3.【即时练即时练】1.1.把把对对数式数式x=lg2x=lg2化化为为指数

8、式指数式为为()A.10A.10 x x=2 B.x=2 B.x1010=2=2C.xC.x2 2=10=10 D.2 D.2x x=10=102.2.求下列各式中求下列各式中x x的取的取值值范范围围：(1)log(1)logx x(x+2).(2)log(x+2).(2)log(1-2x)(1-2x)(3x+2).(3x+2).【解析解析】1.1.选选A.A.因为因为lglg 2 2表示以表示以1010为底为底2 2的对数，由对数的定的对数，由对数的定义可知对数式义可知对数式x xlglg 2 2化为指数式为化为指数式为1010 x x2.2.2.(1)2.(1)由对数的定义可知由对数的定

9、义可知 解得解得x0 x0，且，且x1.x1.故故x x的取值范围是的取值范围是 x|xx|x00，x1.x1.(2)(2)由由 所以所以 所以所以故故x x的取值范围是的取值范围是知知识识点点2 2 对对数的基本性数的基本性质质及及对对数恒等式数恒等式1.log1.loga a1 1和和logloga aa(aa(a0,a1)0,a1)的的应应用用(1)(1)求未知量的求未知量的值值.(2)(2)化化“简简”为为“繁繁”,把把0 0和和1 1化化为对为对数式的形式数式的形式,再根据再根据对对数的有关数的有关性性质质求解求解问题问题.2.2.对对数恒等式的形式数恒等式的形式对对数恒等式数恒等式

10、 =N=N的形式的形式记忆记忆如如图图所示所示.(1)(1)它它们们是同底的是同底的.(2)(2)指数中含有指数中含有对对数形式数形式.(3)(3)其其值为对值为对数的真数数的真数.【微思考微思考】(1)(1)如何证明恒等式如何证明恒等式提示：提示：设设logloga aN N=x,=x,则则a ax x=N,=N,即即(2)(2)恒等式恒等式 成立的条件是什么？成立的条件是什么？提示：提示：a0,a1a0,a1且且N0.N0.【即时练即时练】求下列各式的值：求下列各式的值：(1)log(1)log4 464.(2)log64.(2)log3 31.(3)log1.(3)log9 927.(4

11、)27.(4)【解析解析】(1)(1)因为因为64644 43 3，所以，所以loglog4 464643.3.(2)(2)因为因为1 13 30 0，所以，所以loglog3 31 10.0.(3)(3)设设loglog9 92727x x，则，则9 9x x2727，即，即3 32x2x3 33 3,所以所以2x2x3,3,即即x x ，所以，所以loglog9 92727 .(4)(4)由对数恒等式可知由对数恒等式可知【题型示范题型示范】类型一类型一 指数式与对数式的互化指数式与对数式的互化【典例典例1 1】(1)(1)下列指数式与对数式互化不正确的一组是下列指数式与对数式互化不正确的一

12、组是()()(2)(2)把下列各等式化为相应的对数式或指数式：把下列各等式化为相应的对数式或指数式：【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)判断指数式与对数式互化正确与否的关判断指数式与对数式互化正确与否的关键是什么键是什么?选项选项C C中两个式子中的底数相同吗中两个式子中的底数相同吗?2.2.题题(2)(2)如何实现指数式与对数式的互化如何实现指数式与对数式的互化?【探究提示探究提示】1.1.是否同底是否同底,且对数的真数是否为指数的幂且对数的真数是否为指数的幂;不相不相同同,前者底数是前者底数是3,3,后者底数是后者底数是9.9.2.2.借助借助a ax x=N Nx x=loglo

13、ga aN(aN(a0,0,且且a1)a1)实现指数式与对数式的互化实现指数式与对数式的互化.【自主解答自主解答】(1)(1)选选C.C.由由a ax x=N=N得得x=x=logloga aN(aN(a00且且a1),a1),故故C C不正确不正确.(2)(2)因为因为5 53 3125125，所以，所以loglog5 51251253 3；因为因为 所以所以因为因为 所以所以因为因为 所以所以【方法技巧方法技巧】指数式与对数式互化的两个步骤指数式与对数式互化的两个步骤第一步：指数式与对数式的底数相同；第一步：指数式与对数式的底数相同；第二步：将对数式的对数作为指数式的指数第二步：将对数式的

14、对数作为指数式的指数(或将指数式的指或将指数式的指数作为对数式的对数数作为对数式的对数).).【变式训练变式训练】将下列指数式与对数式进行互化将下列指数式与对数式进行互化.【解析解析】(1)(1)因为因为 所以所以(2)(2)因为因为 所以所以(3)(3)因为因为 所以所以(4)(4)因为因为loglog10100.001=-30.001=-3，所以，所以10103 30.001.0.001.(5)(5)因为因为 所以所以【补偿训练补偿训练】已知已知logloga a2=m,log2=m,loga a3=n,3=n,求求a a2m+3n2m+3n的的值值.【解析解析】因为因为logloga a

15、2=m,log2=m,loga a3=n,3=n,所以所以a am m=2,a=2,an n=3.=3.所以所以a a2m+3n2m+3n=a=a2m2ma a3n3n=2=22 23 33 3=108.=108.类型二类型二 利用对数的性质及恒等式化简求值利用对数的性质及恒等式化简求值【典例典例2 2】(1)(2014(1)(2014潮州高一检测潮州高一检测)已知已知loglog3 3(log(log2 2x)=0 x)=0，则，则x=_.x=_.(2)(2)求下列各式的值：求下列各式的值：【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中由条件中由条件loglog3 3(log(log2 2x

16、)=0 x)=0可得到什么？可得到什么？2.2.题题(2)(2)中两个小题均可以把待求值的式子先看成什么运算，中两个小题均可以把待求值的式子先看成什么运算，然后再借助什么知识求解？然后再借助什么知识求解？【探究提示探究提示】1.1.题题(1)(1)中由条件中由条件loglog3 3(log(log2 2x)=0 x)=0可得到可得到loglog2 2x=1.x=1.2.2.题题(2)(2)中两个小题均可以把待求值的式子先看成指数运算，中两个小题均可以把待求值的式子先看成指数运算，然后再借助对数知识求解然后再借助对数知识求解.【自主解答自主解答】(1)(1)由由loglog3 3(log(log

17、2 2x)=0 x)=0可知可知loglog2 2x=1,x=1,所以所以x=2.x=2.答案答案：2 2(2)(2)【延伸探究延伸探究】把题把题(1)(1)的条件的条件“loglog3 3(log(log2 2x)=0 x)=0”换成换成“loglog3 3(log(log2 2x)=1x)=1”,求求x x的值的值.【解析解析】由由loglog3 3(log(log2 2x)=1x)=1得得loglog2 2x=3x=3，由指对互化关系可得，由指对互化关系可得x=2x=23 3=8.=8.【方法技巧方法技巧】求解形如求解形如“”(a0,a1)(a0,a1)型题目的一般步型题目的一般步骤骤(

18、1)(1)借助指数幂的运算，使其变形为借助指数幂的运算，使其变形为(2)(2)借助对数恒等式借助对数恒等式 及指数幂的运算求值及指数幂的运算求值.【变式训练变式训练】已知已知loglog2 2loglog3 3(log(log4 4x)x)loglog3 3loglog4 4(log(log2 2y)y)0 0，求，求x xy y的值的值.【解题指南解题指南】利用利用logloga a1=01=0，logloga aa=1a=1及指数式与对数式的互化及指数式与对数式的互化分别求出分别求出x,yx,y的值，然后计算的值，然后计算x xy y便可便可.【解析解析】因为因为loglog2 2logl

19、og3 3(log(log4 4x)x)0 0，所以所以loglog3 3(log(log4 4x)x)1 1，所以，所以loglog4 4x x3 3，所以，所以x x4 43 364.64.同理可得同理可得y y2 24 416.16.所以所以x xy y80.80.【补偿训练补偿训练】计算：计算：(3)(a,b(3)(a,b为不等于为不等于1 1的正数，的正数，c0).c0).【解析解析】(1)(1)原式原式=(2)(2)原式原式=(3)(3)原式原式=【易错误区易错误区】因忽视对数式成立的条件致误因忽视对数式成立的条件致误【典例典例】(2013(2013吉安高一检测吉安高一检测)对数式

20、对数式loglog(a(a2)2)(5(5a)a)b b中，中，实数实数a a的取值范围是的取值范围是()()A.(A.(，5)B.(2,5)5)B.(2,5)C.(2C.(2，)D.(2,3)(3,5)D.(2,3)(3,5)【解析解析】选选D.D.由对数式的定义得由对数式的定义得即即所以所以2a32a3或或3a5.3a5.【常见误区常见误区】错解错解错因剖析错因剖析a5a5在阴影处只考虑了真数而忽视了底数致错在阴影处只考虑了真数而忽视了底数致错解成解成a5a52a52a5在阴影处忽视了对数的底数不为在阴影处忽视了对数的底数不为1,1,导致错导致错解成解成2a52a 1 1 B.xB.x 1 1且且x0 x0 C.x0 C.x0 D.xRD.xR【解析解析】选选B.B.由对数的定义可知由对数的定义可知 解得解得xx1 1且且x0.x0.