人教版高中数学选修1.6微积分基本定理-(7)课件.ppt

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1、1.6微积分基本定理一、导学提示，自主学习一、导学提示，自主学习二、新课引入，任务驱动二、新课引入，任务驱动三、新知建构，典例分析三、新知建构，典例分析四、当堂训练，针对点评四、当堂训练，针对点评五、课堂总结，布置作业五、课堂总结，布置作业一、导学提示，自主学习1.本节学习目标本节学习目标（1）使学生经历定理的发现过程，直观了解微积分基本定理的含义使学生经历定理的发现过程，直观了解微积分基本定理的含义和几何意义，并理解导数与定积分的互逆关系和几何意义，并理解导数与定积分的互逆关系（2）通过计算两个简单的定积分，使学生体会微积分基本定理的优通过计算两个简单的定积分，使学生体会微积分基本定理的优越

2、性，理解微积分在数学史上举足轻重的地位越性，理解微积分在数学史上举足轻重的地位.学习重点学习重点：微积分基本定理的证明及应用微积分基本定理的证明及应用学习难点：微积分基本定理的证明学习难点：微积分基本定理的证明一、导学提示，自主学习2.本节主要题型本节主要题型题型一题型一 求简单定积分求简单定积分题型二题型二 求分段函数定积分求分段函数定积分题型三题型三 定积分的应用定积分的应用3.自主学习教材自主学习教材P51-P551.6微积分基本定理微积分基本定理 我们已经学习了微积分学中两个最我们已经学习了微积分学中两个最基本和最重要的概念基本和最重要的概念导数和定积分导数和定积分，先回顾一下先回顾一

3、下.二、新课引入，任务驱动 是刻画函数变化快慢程度的一个一般概念，是刻画函数变化快慢程度的一个一般概念，由于变量和函数在自然界和社会中有着几乎无处不在由于变量和函数在自然界和社会中有着几乎无处不在的实际背景，所以它是高等学校许多专业的一门重要的实际背景，所以它是高等学校许多专业的一门重要基础课基础课.导数导数导数导数 的最本质思想：在每个局部小范围内的最本质思想：在每个局部小范围内“以直代曲以直代曲”，“以不变代变以不变代变”和逼近的思想，这也是和逼近的思想，这也是应用定积分解决实际问题的思想方法应用定积分解决实际问题的思想方法.定积分定积分定积分定积分二、新课引入，任务驱动通过本节的学习你能

4、掌握微积分基本定通过本节的学习你能掌握微积分基本定理及应用吗？理及应用吗？二、新课引入，任务驱动一一.新课引入新课引入二二.学习微积分基本定理的意义学习微积分基本定理的意义三三.微积分基本定理的推导微积分基本定理的推导 三、新知建构，典例分析1.1.定积分的定义定积分的定义:三、新知建构，典例分析（1 1）分割）分割（2）近似代替）近似代替（3）求和）求和怎么求怎么求那么有什么好办法呢？那么有什么好办法呢？从前面的学习中可以发现，虽然被积函数从前面的学习中可以发现，虽然被积函数 非常简单，但直接用定积分的定义计算非常简单，但直接用定积分的定义计算 的值的值却比较麻烦却比较麻烦.而对于而对于 几

5、乎不可能直接用定义计几乎不可能直接用定义计算算.三、新知建构，典例分析 学习微积分，数学和思维水平都将进入一个新的学习微积分，数学和思维水平都将进入一个新的阶段，能切实地训练学生的辨证思维阶段，能切实地训练学生的辨证思维.毫不夸张地说，毫不夸张地说，不学或未学懂微积分，思维难以达到较高的水平，难不学或未学懂微积分，思维难以达到较高的水平，难以适应以适应21世纪对高中学生素质的要求世纪对高中学生素质的要求.利用本节学习的微积分基本定理，我们就能轻利用本节学习的微积分基本定理，我们就能轻松解决首页的问题松解决首页的问题.三、新知建构，典例分析 1.微积分是研究各种科学的工具，微积分是研究各种科学的

6、工具，在中学数学中是研究初等函数最有效在中学数学中是研究初等函数最有效的工具的工具.恩格斯称之为恩格斯称之为“17世纪自然科世纪自然科学的三大发明之一学的三大发明之一”.三、新知建构，典例分析 2.微积分的产生和发展被誉为微积分的产生和发展被誉为“近代技术文明产近代技术文明产生的关键事件之一，它引入了若干极其成功的、对以生的关键事件之一，它引入了若干极其成功的、对以后许多数学的发展起决定性作用的思想后许多数学的发展起决定性作用的思想.”3.微积分的建立，无论是对数学还是对其他科学以至于技微积分的建立，无论是对数学还是对其他科学以至于技术的发展都产生了巨大的影响，充分显示了数学对于人的认术的发展

7、都产生了巨大的影响，充分显示了数学对于人的认识发展、改造世界的能力的巨大促进作用识发展、改造世界的能力的巨大促进作用.下面我们先来探究下面我们先来探究一下一下导数和定积分的联系。导数和定积分的联系。三、新知建构，典例分析探究：探究：如图，一个作变速直线运动的物体的运动规律如图，一个作变速直线运动的物体的运动规律是是y=y(t).由导数的概念的可知，它在任意时刻由导数的概念的可知，它在任意时刻t的速度的速度 .设这个物体在时间段设这个物体在时间段a,b内的位移为内的位移为s，你能分别用，你能分别用y(t),v(t)表示表示s吗？吗？三、新知建构，典例分析变速直线运动变速直线运动三、新知建构，典例

8、分析 函数函数y=y(t)在在t=b处与处与t=a处的函数值之差处的函数值之差.s=y(b)-y(a)还可利用定积分，有还可利用定积分，有v(t)求位移，用分点求位移，用分点将区间将区间a,b等分成等分成n个小区间：个小区间：物体的位移物体的位移s三、新知建构，典例分析每个小区间的长度均为每个小区间的长度均为当当 很小时，在很小时，在 上，上，v(t)的变化很小，可以的变化很小，可以认为物体近似地以速度作匀速运动，物体所作认为物体近似地以速度作匀速运动，物体所作的位移的位移三、新知建构，典例分析 从几何意义上看，设曲线从几何意义上看，设曲线y=y(t)上与上与 对对应的点为应的点为P，PD是是

9、P点处的切线，由导数的几何点处的切线，由导数的几何意义知，切线意义知，切线PD的斜率等于的斜率等于 ，于是，于是三、新知建构，典例分析物体的总位移物体的总位移s n越大，即越大，即 越小，区间越小，区间a,b划分就越细，划分就越细，的近似程度就越好的近似程度就越好.三、新知建构，典例分析 由定积分的定义得：由定积分的定义得：结合结合s=y(b)-y(a)得：得：三、新知建构，典例分析 如果做变速直线运动的物体的运动规律是如果做变速直线运动的物体的运动规律是y=y(t),那么那么v(t)=在区间在区间a,b上的定积分就是上的定积分就是物体的位移物体的位移y(b)-y(a).三、新知建构，典例分析

10、另一方面，从另一方面，从导数导数角度来看：角度来看：如果已知该变速直线运动的路程函数如果已知该变速直线运动的路程函数为为s=s(t)，则在时间区间，则在时间区间a,b内物体的位移为内物体的位移为s(b)s(a)，所以又有所以又有 由于由于 ，即，即s(t)是是v(t)的原函数，这就是说，定积分的原函数，这就是说，定积分 等于被等于被积函数积函数v(t)的原函数的原函数s(t)在区间在区间a,b上的增量上的增量s(b)s(a).从从定积分定积分角度来看：角度来看：如果物体运动的速度函数为如果物体运动的速度函数为v=v(t)，那么在时间，那么在时间区间区间a,b内物体的位移内物体的位移s可以用定积

11、分表示为可以用定积分表示为 牛顿牛顿莱布尼牛顿兹公式莱布尼牛顿兹公式牛顿莱布尼茨公式沟通了导数与积分之间的关系牛顿莱布尼茨公式沟通了导数与积分之间的关系求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.前提条件：前提条件：f(x)在在a,b连续连续（1）存在；存在；（2）f(x)存在原函数存在原函数.是它的原函数是它的原函数三、新知建构，典例分析微积分基本公式表明：微积分基本公式表明：一个连续函数在区间一个连续函数在区间a,b上的定积分等于它的任上的定积分等于它的任意一个原函数在区间意一个原函数在区间a,b上的增量，求定积分问题转上的增量，求定积分问题转化为求原函数的问题化为求

12、原函数的问题.注意：当注意：当ab时，时，成立成立.三、新知建构，典例分析因为因为f(x)在在a,b内连续内连续 是是f(x)的一个原函数的一个原函数.又又F(x)是是f(x)的原函数，的原函数，F(x)=+C.在上式中令在上式中令x=a,则由则由 得到得到C=F(a)移项得移项得令令 即得即得证明：证明：三、新知建构，典例分析函数f(x)导函数f(x)回顾：基本初等函数的导数公式回顾：基本初等函数的导数公式被积函数f(x)一个原函数F(x)新知：基本初等函数的原函数公式新知：基本初等函数的原函数公式常用积分公式常用积分公式牛顿牛顿，是英国伟大的数学家、物理学家、牛顿，是英国伟大的数学家、物理

13、学家、天文学家和自然哲学家。天文学家和自然哲学家。16421642年年1212月月2525日日生于英格兰林肯郡格兰瑟姆附近的沃尔索生于英格兰林肯郡格兰瑟姆附近的沃尔索普村普村,1727,1727年年3 3月月2020日在伦敦病逝。日在伦敦病逝。牛顿牛顿16611661年入英国剑桥大学三一学院，年入英国剑桥大学三一学院，16651665年获文学士学位。随后两年在家乡躲避瘟疫。年获文学士学位。随后两年在家乡躲避瘟疫。这两年里，他制定了一生大多数重要科学创造的蓝这两年里，他制定了一生大多数重要科学创造的蓝图。图。16671667年回剑桥后当选为三一学院院委，次年获年回剑桥后当选为三一学院院委，次年获

14、硕士学位。硕士学位。16691669年任卢卡斯教授直到年任卢卡斯教授直到17011701年。年。16961696年任皇家造币厂监督，并移居伦敦。年任皇家造币厂监督，并移居伦敦。17031703年任英国年任英国皇家学会会长。皇家学会会长。17061706年受女王安娜封爵。他晚年潜年受女王安娜封爵。他晚年潜心于自然哲学与神学。心于自然哲学与神学。牛顿在科学上最卓越的贡献是微积分和经典力学的创建。牛顿在科学上最卓越的贡献是微积分和经典力学的创建。莱布尼兹莱布尼兹，德国数学家、哲学家，和牛顿莱布尼兹，德国数学家、哲学家，和牛顿同为微积分的创始人；同为微积分的创始人；16461646年年7 7月月1 1

15、日生于日生于莱比锡，莱比锡，17161716年年1111月月1414日卒于德国的汉诺日卒于德国的汉诺威。他父亲是莱比锡大学伦理学教授，家威。他父亲是莱比锡大学伦理学教授，家庭丰富的藏书引起他广泛的兴趣。庭丰富的藏书引起他广泛的兴趣。16611661年年入莱比锡大学学习法律，又曾到耶拿大学入莱比锡大学学习法律，又曾到耶拿大学学习几何，学习几何，16661666年在纽伦堡阿尔特多夫取得法学博士学位。他当时写的论文年在纽伦堡阿尔特多夫取得法学博士学位。他当时写的论文论组合的技巧论组合的技巧已含有数理逻已含有数理逻辑的早期思想，后来的工作使他成为数理逻辑的创始人。辑的早期思想，后来的工作使他成为数理逻

16、辑的创始人。16671667年他投身外交界，曾到欧洲各国游历。年他投身外交界，曾到欧洲各国游历。16761676年到汉年到汉诺威，任腓特烈公爵顾问及图书馆的馆长，并常居汉诺诺威，任腓特烈公爵顾问及图书馆的馆长，并常居汉诺威，直到去世。莱布尼兹的多才多艺在历史上很少有威，直到去世。莱布尼兹的多才多艺在历史上很少有人能和他相比，他的著作包括数学、历史、语言、生物人能和他相比，他的著作包括数学、历史、语言、生物、地质、机械、物理、法律、外交等各个方面。、地质、机械、物理、法律、外交等各个方面。2.典例分析：典例分析：题型一题型一 求简单定积分求简单定积分题型二题型二 求分段函数定积分求分段函数定积分

17、题型三题型三 定积分的应用定积分的应用三、新知建构，典例分析三、新知建构，典例分析 (1)用微积分基本定理求定积分的步骤：求f(x)的一个原函数F(x)；计算F(b)F(a)(2)注意事项：有时需先化简，再求积分；f(x)的原函数有无穷多个，如F(x)c，计算时，一般只写一个最简单的，不再加任意常数c.三、新知建构，典例分析三、新知建构，典例分析问题：问题：通过计算下列定积分，进一步说明其定积分的几何意义。通过计算下列定积分，进一步说明其定积分的几何意义。通过计算结果能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示发通过计算结果能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示发现的结论现的结论我们发现：我们发

18、现：（）定积分的值可取正值也可取负值，还可以是（）定积分的值可取正值也可取负值，还可以是0 0；（2 2）当曲边梯形位于）当曲边梯形位于x x轴上方时，定积分的值取正值；轴上方时，定积分的值取正值；（3 3）当曲边梯形位于）当曲边梯形位于x x轴下方时，定积分的值取负值；轴下方时，定积分的值取负值；（4 4）当曲边梯形位于）当曲边梯形位于x x轴上方的面积等于位于轴上方的面积等于位于x x轴下方轴下方的面积时，定积分的值为的面积时，定积分的值为0 0得到定积分的几何意义：得到定积分的几何意义：曲边梯形面积的曲边梯形面积的代数和代数和。微积分基本定理微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在揭示

19、了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法.微微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科.可以毫可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果。辉煌的成果。三、新知建构，典例分析三、新知建构，典例分析三、新知建构，典例分析(1)求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表示为几段积分和的形式；(2)带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找

20、到分界点，去掉绝对值号，化为分段函数；(3)含有字母参数的绝对值问题要注意分类讨论三、新知建构，典例分析教材练习答案教材练习答案1、2、四、当堂训练，针对点评3、4、5、四、当堂训练，针对点评7、6、8、四、当堂训练，针对点评五、课堂总结，布置作业1课堂总结：课堂总结：（1）涉及知识点：）涉及知识点：微积分基本定理及应用。微积分基本定理及应用。（2）涉及数学思想方法：）涉及数学思想方法：转化与回归思想；数形结合思想。转化与回归思想；数形结合思想。1.微积分基本定理微积分基本定理被积函数f(x)一个原函数F(x)2.基本初等函数的原函数公式基本初等函数的原函数公式五、课堂总结，布置作业五、课堂总结，布置作业2.作业设计：作业设计：P55 习题习题1.6A组组1、23.预习任务：选修预习任务：选修2-2教材教材56-581.7.1定积分在几何中的应用定积分在几何中的应用