第十一章：无穷级数、第二节：常数项级数的审敛法ppt课件.ppt

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1、认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目第二节第二节 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法如果级数如果级数 满足条件：满足条件：称为正项级数称为正项级数定理定理 1:正项级数正项级数收敛的充分必要条收敛的充分必要条件是：它的部分和数列件是：它的部分和数列有界。有界。（一）正项级数及审敛法（一）正项级数及审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目定理定理 2（比较审敛法）（比较审敛法）如果两个正项级数如果两个正项级数（1）若）若（2）若）

2、若证：设证：设 较大一般项对应的级数收敛，则较小一般较大一般项对应的级数收敛，则较小一般项对应的级数也一定收敛。项对应的级数也一定收敛。较小一般项对应的级数发散，则较大一般较小一般项对应的级数发散，则较大一般项对应的级数也一定发散。项对应的级数也一定发散。和和满足关系式满足关系式收敛，收敛，则则也收敛，也收敛，发散，发散，则则也发散。也发散。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目（1）若）若则由定理则由定理1 知知,因此因此所以级数所以级数（2）若）若则由定理则由定理1 知知,因此因此所以级数所以级数推论：推论：如

3、果正项级数如果正项级数则定理则定理 2 中的结论仍然成立。中的结论仍然成立。定理定理 1:正项级数正项级数 收收敛的充分必要条收收敛的充分必要条 件是：它的部分和数列件是：它的部分和数列 有界。有界。收敛，收敛，也有界，也有界，收敛；收敛；发散，发散，也无界，也无界，发散；发散；和和从某项从某项 N之后满足关系式之后满足关系式:认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例1：判定调和级数判定调和级数的敛散性。的敛散性。解：解：取取认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重

4、视，已经展开了“精准扶贫”项目因此有因此有 发散，发散，取取认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例2：讨论讨论 p 级数级数的敛散性的敛散性解：（解：（1）（2）当）当 p 1 时，时，认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例2：讨论讨论 p 级数级数的敛散性的敛散性解：解：（2）当）当 p 1 时，时，即即认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例2

5、：讨论讨论 p 级数级数的敛散性的敛散性解：解：（2）当）当 p 1 时，时，即即有界，有界，所以部分和数列所以部分和数列因此级数收敛。因此级数收敛。结论：结论：p 级数当级数当 p 1 时收敛；当时收敛；当 p 1 时发散。时发散。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例3：证明级数证明级数证明：证明：发散，发散，是发散的。是发散的。而级数而级数所以由比较审敛法所以由比较审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例4：判别级数判

6、别级数解：解：的收敛性。的收敛性。所以所以所以原级数为正项级数。所以原级数为正项级数。取取而而是收敛的几何级数，是收敛的几何级数，所以，所以，是收敛的。是收敛的。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目（1）若）若（2）若）若且且收敛，收敛，和和则则有相同的收敛性。有相同的收敛性。则则也收敛也收敛;（3）若）若且且发散，发散，则则也发散也发散;定理定理 3（比较审敛法的极限形式）设（比较审敛法的极限形式）设和和都是正项级数，都是正项级数，认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工

7、作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目0,收敛收敛和和有相同的有相同的收敛性。收敛性。收敛收敛;发散发散也发散也发散;注意：若注意：若发散，发散，不一定发散。不一定发散。定理定理 3（比较审敛法的极限形式）设（比较审敛法的极限形式）设和和都是正项级数，都是正项级数，认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例5：判别级数判别级数解：解：发散，发散，的收敛性。的收敛性。和和有相同的收敛性，有相同的收敛性，发散发散认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准

8、扶贫”项目例例6：判别级数判别级数解：解：的收敛性。的收敛性。收敛收敛且且由比较审敛法的极限形式知，由比较审敛法的极限形式知，收敛。收敛。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目0,收敛收敛和和有相同的有相同的收敛性。收敛性。收敛收敛;发散发散也发散也发散;定理定理 3 设设和和都是正项级数，都是正项级数，（1）取）取则则发散，发散，因此若因此若（或为（或为+），则），则发散发散认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目0,收敛收敛和和有相同

9、的有相同的收敛性。收敛性。收敛收敛;发散发散也发散也发散;定理定理 3 设设和和都是正项级数，都是正项级数，（2）取）取则则收敛，收敛，因此若因此若收敛。收敛。则则认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目定理定理 6（极限审敛法）设（极限审敛法）设是正项级数，是正项级数，（1）如果）如果（或为（或为+),发散；发散；则则（2）如果）如果收敛。收敛。则级数则级数例如级数例如级数当当 n 时，时，故所给级数收敛故所给级数收敛认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展

10、开了“精准扶贫”项目说明：（说明：（1）使用比较审敛法（包括推论或极限形式）使用比较审敛法（包括推论或极限形式），需选取一个适当的、收敛性为已知的级数作为比较，需选取一个适当的、收敛性为已知的级数作为比较对象。对象。（2）常用的比较对象有：等比级数、）常用的比较对象有：等比级数、P-级数和调和级数和调和级数。级数。（3）比较对象的选取有时比较困难。）比较对象的选取有时比较困难。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目定理定理4（比值审敛法，达朗贝尔判别法）（比值审敛法，达朗贝尔判别法）如果正项级数如果正项级数的后项与

11、前项之比的极限为：的后项与前项之比的极限为：，则，则（1）当）当 1（或为（或为 ）时，级数发散；时，级数发散；（3）当）当 =1 时，不能用此法判定级数的敛散性。时，不能用此法判定级数的敛散性。比值审敛法的优点：无须寻找比较对象，直接利用级比值审敛法的优点：无须寻找比较对象，直接利用级数自身的一般项，因此使用直观方便。数自身的一般项，因此使用直观方便。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目因为因为所以由极限的定义可知所以由极限的定义可知证明：（证明：（1）当）当 1,存在自然数存在自然数 m,认识到了贫困户贫困的

12、根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目是收敛是收敛 的几何级数（的几何级数（0 r 0，故所讨论的级数为正项级数。，故所讨论的级数为正项级数。当当 0 1，即即 x 1 时，发散；时，发散；即即 0 x 1 时，级数收敛；时，级数收敛；认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 比较判别法与比值判别法常结合使用。比较判别法与比值判别法常结合使用。例例3：判定级数判定级数解：因为解：因为所以所以故故的收敛性。的收敛性。收敛，收敛，收敛。收敛。认识到了贫困户贫困的

13、根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例4：判定级数判定级数解：解：比值判别法失效，需改用其它方法来判别。比值判别法失效，需改用其它方法来判别。的收敛性。的收敛性。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例4：判定级数判定级数的收敛性。的收敛性。解：解：而级数而级数所以由比较判别法知所以由比较判别法知也是收敛的。也是收敛的。是是 p=2 的的 p 级数，故收敛级数，故收敛 注意：注意：当某个判别法失效时，不要盲目下结论，此当某个判别法失效时，不要盲目下结

14、论，此时要改用其它方法进一步判别。时要改用其它方法进一步判别。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目定理定理5（根值审敛法，柯西判别法）（根值审敛法，柯西判别法）设设为正项级数，如果为正项级数，如果则则（1）当）当 1（或为（或为 ）时，级数发散；时，级数发散；（3）当）当 =1 时，不能用此法判定级数的收敛性。时，不能用此法判定级数的收敛性。同比值审敛法一样，根值审敛法也有使用直观方便同比值审敛法一样，根值审敛法也有使用直观方便 的优点。的优点。比值审敛法与根值审敛法均要求所用到的极限存在，比值审敛法与根值审敛法

15、均要求所用到的极限存在，且不等于且不等于 1。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例5：判定下列级数的收敛性。判定下列级数的收敛性。解：因为解：因为所以由根值判别法知，级数所以由根值判别法知，级数收敛收敛由两边夹法则由两边夹法则认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例5：判定下列级数的收敛性。判定下列级数的收敛性。解：因为解：因为所以根值判别法失效所以根值判别法失效所以所给级数发散。所以所给级数发散。认识到了贫困户贫困的根本原因，

16、才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目比值判别法与根值判别法的比较：比值判别法与根值判别法的比较：（1）适用对象）适用对象若一般项若一般项中含有因子中含有因子则一般考虑用比值法，则一般考虑用比值法，若一般项若一般项中含有因子中含有因子则一般考虑用根值法，则一般考虑用根值法，（2）适用范围）适用范围若用根值法失效，即若用根值法失效，即则用比值法也则用比值法也一定失效，即此时必有一定失效，即此时必有反之不成立。反之不成立。（3）一般来说，比值法运算简单，根值法适用范围大。）一般来说，比值法运算简单，根值法适用范围大。认识到了贫困户贫困的根本原因，才

17、能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例6：判定级数判定级数解：因为解：因为且含有因子且含有因子（1）当）当 0 a e，时，时，所给级数发散；所给级数发散；认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例6：判定级数判定级数解：因为解：因为且含有因子且含有因子的收敛性。的收敛性。（3）当）当 a=e，时，时，所以所给级数发散。所以所给级数发散。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例7：证

18、明证明证明：证明：考察级数考察级数所以所考察级数收敛；所以所考察级数收敛；因此，因此，即即认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目（二）交错级数及其敛散性判别法（二）交错级数及其敛散性判别法定义：定义：正负项相间的级数，称为交错级数。正负项相间的级数，称为交错级数。可以写成下面两种形式可以写成下面两种形式：其中其中 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目定理定理7（莱布尼兹定理）（莱布尼兹定理）如果交错级数如果交错级数满足条件：满足条件：

19、则交错级数收敛，其和则交错级数收敛，其和余项满足余项满足说明：说明：1.莱布尼兹定理莱布尼兹定理的条件（的条件（1）不是必要条件）不是必要条件（条件（条件（2）是必要的）。）是必要的）。2.定理同时给出了级数的和与余项的估计式。定理同时给出了级数的和与余项的估计式。3.定理应用的关键是条件定理应用的关键是条件1的验证。的验证。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目定理定理7（莱布尼兹定理）（莱布尼兹定理）如果交错级数如果交错级数满足条件：满足条件：则交错级数收敛，其和则交错级数收敛，其和余项满足余项满足4.检验检验

20、条件（条件（1）常用的方法）常用的方法（1）比值法：）比值法：考察考察是否成立？是否成立？（2）差值法：）差值法：考察考察是否成立？是否成立？（3）导数法：）导数法：找一函数找一函数 f(x),使使 且当且当 x 充分大时，充分大时，是否成立？是否成立？认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例1：解解所以级数收敛，其和小于所以级数收敛，其和小于 1，认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例2：判别下列交错级数的收敛性：判别下列交错级

21、数的收敛性解解由莱布尼茨判别法，所给交错级数收敛。由莱布尼茨判别法，所给交错级数收敛。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例2：判别下列交错级数的收敛性：判别下列交错级数的收敛性解解 f(x)单调下降单调下降 所以当所以当 n 3 时，必有时，必有 由莱布尼茨判别法，所给交错级数收敛。由莱布尼茨判别法，所给交错级数收敛。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例2：判别下列交错级数的收敛性：判别下列交错级数的收敛性解解这是交错级数，

22、但不满足莱布尼茨条件。这是交错级数，但不满足莱布尼茨条件。将原级数相邻两项加括号将原级数相邻两项加括号发散，发散，性质性质4：若级数收敛，则任意加括号后所得新级数也收敛：若级数收敛，则任意加括号后所得新级数也收敛所以原级数发散所以原级数发散.认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目（三）绝对收敛与条件收敛（三）绝对收敛与条件收敛考虑考虑任意项级数任意项级数一般项取绝对值后所得级数记为一般项取绝对值后所得级数记为（1）若）若收敛，收敛，则称原级数则称原级数绝对收敛绝对收敛（2）若）若发散，发散，而而收敛，收敛，则称原级

23、数则称原级数条件收敛。条件收敛。问题：级数的绝对收敛与收敛之间是什么关系？问题：级数的绝对收敛与收敛之间是什么关系？认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目定理定理8:若级数若级数绝对收敛，绝对收敛，则原级数则原级数即即收敛，收敛，必定收敛。必定收敛。（1）该结论的逆命题不成立。）该结论的逆命题不成立。（2）定理提供了检验一般级数）定理提供了检验一般级数是否收敛的一种是否收敛的一种有效方法。有效方法。（3）若）若发散，发散，不能断定不能断定也发散，也发散，但若是用比值或根值判别法判断但若是用比值或根值判别法判断发散，

24、发散，则可断定原级数则可断定原级数一定发散。一定发散。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目任意项级数任意项级数收敛性判断的一般步骤：收敛性判断的一般步骤：（1）检验）检验（3）用正项级数审敛法检验）用正项级数审敛法检验是否收敛？是否收敛？则原级数绝对收敛，从而收敛，则原级数绝对收敛，从而收敛，（4）若）若发散，发散，但是用比值或根值法判断的但是用比值或根值法判断的则原级数也发散。则原级数也发散。是否成立？是否成立？若否，则原级数发散若否，则原级数发散若是或若是或难求，则进行下一步；难求，则进行下一步；若是，若是，

25、否则，进行下一步；否则，进行下一步；（2）若原级数为正项级数或交错级数，则可用正项级数）若原级数为正项级数或交错级数，则可用正项级数 或莱布尼茨判别法检验其收敛性，否则进行下一步或莱布尼茨判别法检验其收敛性，否则进行下一步（5）用性质或其它方法。）用性质或其它方法。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例1：判别级数判别级数 的收敛性。的收敛性。解：记解：记而级数而级数因此原级数因此原级数所以由比较判别法知，级数所以由比较判别法知，级数是是 p=2 的的 p 级数，收敛，级数，收敛，收敛。收敛。绝对收敛，从而收敛

26、。绝对收敛，从而收敛。则则认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例2：判定级数判定级数 的敛散性。的敛散性。解：这里解：这里 x 可正可负，故它是一个任意项级数可正可负，故它是一个任意项级数所以，原级数对一切所以，原级数对一切都绝对收敛都绝对收敛考察正项级数考察正项级数认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例3：判定级数判定级数 的敛散性。的敛散性。解：解：当当|x|1 时，时，从而收敛，从而收敛，考察正项级数考察正项级数发散，发散

27、，且是用比值法判别的，且是用比值法判别的，所以原级数所以原级数发散。发散。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例3：判定级数判定级数 的敛散性。的敛散性。解：解：考察正项级数考察正项级数当当 x=1 时，级数为时，级数为调和级数，发散调和级数，发散当当 x=1 时，级数为时，级数为交错级数，且交错级数，且满足莱布尼兹定理条件，故级数收敛，满足莱布尼兹定理条件，故级数收敛，且为条件收敛。且为条件收敛。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”

28、项目例例3：判定级数判定级数 的敛散性。的敛散性。解：解：考察正项级数考察正项级数当当|x|1，或，或 x=1 时，时，原级数发散。原级数发散。当当 x=1 时，原级数为交错级数，且满足时，原级数为交错级数，且满足莱布尼兹莱布尼兹定理条件，故级数收敛，且为条件收敛。定理条件，故级数收敛，且为条件收敛。结论：结论：认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目解：这是交错级数，但其对应的绝对值级数为解：这是交错级数，但其对应的绝对值级数为 所以所以故原级数绝对收敛。故原级数绝对收敛。收敛，收敛，例例4：判定下列级数是否收敛，

29、如果是收敛，判定下列级数是否收敛，如果是收敛，是绝对收敛还是条件收敛。是绝对收敛还是条件收敛。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目解：这是交错级数，但其对应的绝对值级数为解：这是交错级数，但其对应的绝对值级数为 所以所以故原级数发散。故原级数发散。发散，发散，且是用根值判别法判别的，且是用根值判别法判别的，认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目解：这是交错级数，且解：这是交错级数，且 满足满足由由莱布尼兹定理莱布尼兹定理知，原级数是收

30、敛的知，原级数是收敛的发散，发散，故原级数是条件收敛的故原级数是条件收敛的（p=1/2 的的 p 级数）级数）认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目比较判别法：比较判别法：如果两个正项级数如果两个正项级数和和 满足关系式：满足关系式：（1）若）若 收敛，则收敛，则 也收敛；也收敛；（2）若）若 发散，则发散，则 也发散。也发散。正项级数收敛性判别方法正项级数收敛性判别方法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目推论：推论：设设 为正项级数

31、，为正项级数，（1）如果）如果则则 收敛收敛；（2）如果）如果则则 发散发散（1）当）当 p 1 时收敛；时收敛；p 级数级数（2）当）当 p 1 时时 发散。发散。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目定理定理7（莱布尼兹定理）（莱布尼兹定理）如果交错级数如果交错级数满足条件：满足条件：（1）则交错级数收敛，其和则交错级数收敛，其和证明：设证明：设即数列即数列余项满足余项满足为级数的前为级数的前 2k 项部分和项部分和单调上升单调上升认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工

32、作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目所以数列所以数列证明：设证明：设即数列即数列为级数的前为级数的前 2k 项部分和项部分和单调上升单调上升有界，由数列极限存在准则得：有界，由数列极限存在准则得：认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目定理定理8:若级数若级数绝对收敛，绝对收敛，则原级数则原级数证明：取证明：取则有则有级数的绝对收敛与收敛之间是什么关系？级数的绝对收敛与收敛之间是什么关系？即即收敛，收敛，必定收敛。必定收敛。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，

33、已经展开了“精准扶贫”项目所以有所以有由于由于 收敛，收敛，所以所以 都收敛都收敛因此因此也收敛也收敛证明：取证明：取则有则有认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 也是一个交错级数，且满足莱布尼兹条件，也是一个交错级数，且满足莱布尼兹条件，所以其和应小于级数的首项，即所以其和应小于级数的首项，即/即交错级数收敛，其和即交错级数收敛，其和认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例4：判定级数判定级数解：因为解：因为所以由比值判别法知，级数所以由比值判别法知，级数发散发散的收敛性。的收敛性。