第二章拉普拉斯变换ppt课件.ppt

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1、pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院1认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目主要内容主要内容第一节第一节拉普拉斯变换简介拉普拉斯变换简介第二节第二节拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质第三节第三节拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换第四节第四节用拉普拉斯变换解线性微分方程用拉普拉斯变换解线性微分方程pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院2

2、认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目 拉普拉斯变换拉普拉斯变换(Laplace Transform)（简称拉氏简称拉氏变换）是一种变换）是一种解线性微分方程解线性微分方程的简便运算方法。的简便运算方法。第一节第一节 拉普拉斯变换简介拉普拉斯变换简介pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院3认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工

3、作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目原函数原函数(Original Function)象函数象函数(Image Function)一、拉普拉斯变换的定义一、拉普拉斯变换的定义 设时间函数设时间函数 ,则则 的拉普拉斯变换定义为的拉普拉斯变换定义为pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院4认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除

4、。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目一个函数可以进行拉氏变换的一个函数可以进行拉氏变换的充要条件充要条件是是：(1)(1)在在t0t0。图图2-1-5 2-1-5 指数函数指数函数0r(t)t1pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院13认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目其拉氏变换为其拉氏变换为 （六）正弦函数（六）正弦函数正弦函数

5、正弦函数（Sine Function）的数学表达式为的数学表达式为(t0)式中，式中，为正弦函数的角频率。为正弦函数的角频率。pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院14认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目其拉氏变换为其拉氏变换为（七）余弦函数（七）余弦函数余弦函数余弦函数（Cosine Function）的数学表达式为的数学表达式为(t0)pagepage控制工程基

6、础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院15认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目(八八)幂函数幂函数幂函数幂函数（Power Function）的数学表达式为的数学表达式为(t0,n-1且为整数)其拉氏变换为其拉氏变换为 单位阶跃函数单位阶跃函数、单位斜坡函数单位斜坡函数及及单单位加速度函数位加速度函数分别分别是幂函数是幂函数当当n=0、n=1 及及 n=2时的特例时的特例。pagepage控

7、制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院16认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目注注:欧拉公式欧拉公式pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院17认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精

8、准扶贫精准扶贫”项目项目一、线性性质一、线性性质(Linearity)第二节第二节 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质线性性质指线性性质指同时同时满足满足叠加性叠加性和和齐次性齐次性。叠加性叠加性(Additivity Property)：指当几个激励信号指当几个激励信号同时作用于系统时，同时作用于系统时，总的输出响应总的输出响应等于等于每个激励单独每个激励单独作用作用所产生的所产生的响应之和响应之和。如。如，则，则。齐次性齐次性(Homogeneity Property)：指当输入信号乘指当输入信号乘以某常数时，响应也倍乘相同的常数。如：以某常数时，响应也倍乘相同的常数。如：，则则。pag

9、epage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院18认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目则则 若有若有 ，a和和b为常数为常数pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院19认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫

10、工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目例例2-22-2求求。解：解：pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院20认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目二、延时定理二、延时定理（Time-Shift Theorem）若有若有，对任意实数，对任意实数a,则则pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院21认识到了贫困户贫困的根本原

11、因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目三、周期函数的拉氏变换三、周期函数的拉氏变换 若函数若函数 是以是以T 为周期的周期函数为周期的周期函数,即即，则有则有pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院22认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已

12、经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目四、复数域位移定理四、复数域位移定理(Complex-Shifting Theorem)若若，对于任意常数，对于任意常数a(实数或复数实数或复数)，有，有pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院23认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目五、时间尺度改变性质五、时间尺度改变性质(Change of Time Scale)时间尺度改变性质

13、又称时间尺度改变性质又称相似定理相似定理或称或称尺寸变换尺寸变换特性特性(Scaling Property)或称或称压扩特性压扩特性(Companding Property)。若若，a 是任意是任意常数，则常数，则pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院24认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目六、微分性质六、微分性质(Differentiation Property)

14、f(0)为时间函数为时间函数f(t)在t=0处的初始值处的初始值。注意注意，本书假设，本书假设f(0-)=f(0+)=f(0)。推推论论 若若 ，则则特别地，当特别地，当时，有时，有pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院25认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目七、积分性质七、积分性质(Integration Property)其中其中推推论论 若若则则pagepag

15、e控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院26认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目当初始条件为零时，当初始条件为零时，pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院27认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重

16、视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目八、初值定理八、初值定理(Initial Value Theorem)若若，且，且存在，则存在，则九、终值定理九、终值定理(Final Value Theorem)pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院28认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目解：解：由初值定理和终值定理得由初值定理和终值定理得例例2-82-8已知已知（a0）

17、，求，求。pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院29认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目十、复微分定理十、复微分定理(Complex-Differentiation Theorem)则则若若十一、复积分定理十一、复积分定理(Complex-Integration Theorem)则则若若pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院30认

18、识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目十二、卷积定理十二、卷积定理(Convolution Theorem)两函数两函数 f 1(t)和和f 2(t)的卷积定义为的卷积定义为卷积满足以下性质：卷积满足以下性质：（1 1）交换律）交换律（2 2）结合律）结合律（3 3）分配律）分配律pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院31认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，

19、然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目拉氏变换的卷积定理：拉氏变换的卷积定理：则则pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院32认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目第三节第三节 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换已知象函数已知象函数

20、，求其原函数，求其原函数的变换称的变换称作作拉氏反变换拉氏反变换（Inverse Laplace Transform），记为：，记为：，并定义为，并定义为通常求拉氏反变换的方法有：通常求拉氏反变换的方法有：(1)(1)查表法查表法(3)(3)部分分式法部分分式法(2)(2)有理函数法有理函数法pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院33认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目

21、项目一般象函数可以表示成如下的有理分式一般象函数可以表示成如下的有理分式式中，式中，和和 分别为分别为F(s)的的极点极点和和零点零点，它，它们是们是实数实数或或共轭复数共轭复数，且，且nm。根据极点种类的不同，将上。根据极点种类的不同，将上式化为部分分式之和，有以下式化为部分分式之和，有以下两种两种情况。情况。pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院34认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精

22、准扶贫精准扶贫”项目项目一、一、F(s)无重极点的情况无重极点的情况 当当F(s)无重极点时，即只有各不相同的单极点无重极点时，即只有各不相同的单极点（Distinct Poles）。F(s)总是能展开为下面简单的部分分式之和：总是能展开为下面简单的部分分式之和：因此因此,式中，式中，ci 为待定常数，称为为待定常数，称为F(s)在极点在极点pi 处的处的留数留数.pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院35认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后

23、药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目例例2-112-11已知已知 ,试求原函数。试求原函数。解：将解：将 F(s)写成部分分式形式写成部分分式形式式中式中pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院36认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目于是，有于是，有pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院37

24、认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目二、二、F(s)有重极点的情况有重极点的情况假设假设F(s)有有r 个个重极点重极点(Multiple Poles)p1，其余极点均，其余极点均不相同，则不相同，则F(s)可表示为可表示为pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院38认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了

25、认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目式中式中,为重极点对应的待定系数为重极点对应的待定系数,求法如下：求法如下：pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院39认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目其余系数其余系数的求法与第一种情况所述的方的求法与第一种情况所述的方法相同，即法相同

26、，即因此，因此，F(s)的拉氏反变换为的拉氏反变换为pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院40认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目例例2-122-12 已知已知 ，试求原函数，试求原函数 f(t)。解：解：将将F(s)写成部分分式形式，有写成部分分式形式，有式中，式中，c11,c12,c13为三重极点为三重极点s=-2=-2所对应的系数，根据公式所对应的系数，根据公

27、式式计算式计算pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院41认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目c2,c3为单极点对应的系数，根据公式计算为单极点对应的系数，根据公式计算pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院42认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根

28、本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目于是其象函数可写为于是其象函数可写为查拉氏变换表可求得原函数为查拉氏变换表可求得原函数为pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院43认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目第四节第四节 用拉普拉斯变换解线性微分方程用拉普拉斯变换解线性微分方程利用拉氏变换解微分方程，

29、其步骤如下：利用拉氏变换解微分方程，其步骤如下：(1)(1)对方程两边取拉氏变换，得函数的代数方程；对方程两边取拉氏变换，得函数的代数方程；(2)(2)由代数方程求解出象函数；由代数方程求解出象函数；(3)(3)取拉氏反变换，得微分方程解。取拉氏反变换，得微分方程解。pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院44认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目解：解：将初始条件代入

30、上式得将初始条件代入上式得例例2-152-15求微分方程求微分方程满足初始条件满足初始条件的解。的解。方程两边取拉氏变换得方程两边取拉氏变换得即即pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院45认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目利用部分分式法得利用部分分式法得pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院46认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目作作业业(P44)2-7（2）pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院47认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目