高斯-塞德尔迭代法ppt课件.ppt
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1、认识到了贫困户贫困的根本原因,才能开始对症下药,然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视,已经展开了“精准扶贫”项目第第6 6章章 解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法1认识到了贫困户贫困的根本原因,才能开始对症下药,然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视,已经展开了“精准扶贫”项目6.1 引引 言言 考虑线性方程组(1.1)其中 为非奇异矩阵,当 为低阶稠密矩阵时,第5章所讨论的选主元消去法是有效方法.但对于 的阶数 很大,零元素较多的大型稀疏矩阵方程组,例如求某些偏微分方程数值解所产生的线性方程组来说,利用迭代法求解则更为合适.迭代法通常都可利用 中有大量零元素的特点.2认识到了
2、贫困户贫困的根本原因,才能开始对症下药,然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视,已经展开了“精准扶贫”项目 例例1 1(1.2)记为 ,方程组的精确解是 .求解方程组 其中 现将(1.2)改写为 3认识到了贫困户贫困的根本原因,才能开始对症下药,然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视,已经展开了“精准扶贫”项目(1.3)或写为 ,其中 4认识到了贫困户贫困的根本原因,才能开始对症下药,然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视,已经展开了“精准扶贫”项目 将这些值代入(1.3)式右边(若(1.3)式为等式即求得方程组的解,但一般不满足).任取初始值,例如取 .再将 分量代入(1.3)式
3、右边得到 ,反复利用这个计算程序,得到一向量序列和一般的计算公式(迭代公式)得到新的值 5认识到了贫困户贫困的根本原因,才能开始对症下药,然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视,已经展开了“精准扶贫”项目(1.4)简写为 其中 表示迭代次数 迭代到第10次有 6认识到了贫困户贫困的根本原因,才能开始对症下药,然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视,已经展开了“精准扶贫”项目 从此例看出,由迭代法产生的向量序列 逐步逼近方程组的精确解 .对于任何由 变形得到的等价方程组 ,迭代法产生的向量序列 不一定都能逐步逼近方程组的解 .如对方程组7认识到了贫困户贫困的根本原因,才能开始对症下药,然
4、后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视,已经展开了“精准扶贫”项目构造迭代法则对任何的初始向量,得到的序列都不收敛.对于给定方程组 ,设有唯一解 ,(1.5)又设 为任取的初始向量,(1.6)其中 表迭代次数.则 按下述公式构造向量序列 8认识到了贫困户贫困的根本原因,才能开始对症下药,然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视,已经展开了“精准扶贫”项目 定义定义1 1(1)对于给定的方程组 ,逐步代入求近似解的方法称为迭代法迭代法(或称为一阶定常迭代法,这里 与 无关).(2)如果 存在(记为 ),显然 就是方程组的解,否则称此迭代法发散迭代法发散.用公式(1.6)称此迭代法收敛迭代法收
5、敛,研究 的收敛性.引进误差向量 由(1.6)减去(1.5)式,得 ,9认识到了贫困户贫困的根本原因,才能开始对症下药,然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视,已经展开了“精准扶贫”项目 要考察 的收敛性,就要研究 在什么条件下有亦即要研究 满足什么条件时有递推得 10认识到了贫困户贫困的根本原因,才能开始对症下药,然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视,已经展开了“精准扶贫”项目6.2 基本迭代法基本迭代法 设有(2.1)其中,为非奇异矩阵.将 分裂为(2.2)其中,为可选择的非奇异矩阵,且使 容易求解,一般选择为 的某种近似,称 为分裂矩阵分裂矩阵.11认识到了贫困户贫困的根本原因
6、,才能开始对症下药,然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视,已经展开了“精准扶贫”项目 于是,求解 转化为求解 ,即求解可构造一阶定常迭代法(2.3)其中 称 为迭代法的迭代矩阵.12认识到了贫困户贫困的根本原因,才能开始对症下药,然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视,已经展开了“精准扶贫”项目 选取 阵,就得到解 的各种迭代法.设 ,并将 写为三部分(2.4)13认识到了贫困户贫困的根本原因,才能开始对症下药,然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视,已经展开了“精准扶贫”项目 6.2.1 雅可比迭代法雅可比迭代法 由 ,选取 为 的对角元素部分,解 的雅可比(Jacobi)迭代
7、法 即选取 (对角阵),(2.5)其中 称 为解 的雅可比迭代法的迭代阵.由(2.3)式得到14认识到了贫困户贫困的根本原因,才能开始对症下药,然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视,已经展开了“精准扶贫”项目 研究雅可比迭代法(2.5)的分量计算公式.记 由雅可比迭代公式(2.5),有 或 于是,解 的雅可比迭代法的分量计算公式为 15认识到了贫困户贫困的根本原因,才能开始对症下药,然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视,已经展开了“精准扶贫”项目(2.6)由(2.6)式可知,雅可比迭代法计算公式简单,每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法且计算过程中原始矩阵 始终不变.16认识到了
8、贫困户贫困的根本原因,才能开始对症下药,然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视,已经展开了“精准扶贫”项目(下三角阵),6.2.2 高斯高斯-塞德尔迭代法塞德尔迭代法 选取分裂矩阵 为 的下三角部分,即选取 于是由(2.3)式得到解(2.7)其中 称 为解 的高斯-塞德尔迭代法的迭代阵.的高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法 17认识到了贫困户贫困的根本原因,才能开始对症下药,然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视,已经展开了“精准扶贫”项目 研究高斯-塞德尔迭代法的分量计算公式.由(2.7)式有 或 即 记 18认识到了贫困户贫困的根本原因,才能开始对症下药,然后药到病除。
9、近年来国家对扶贫工作高度重视,已经展开了“精准扶贫”项目于是解 的高斯-塞德尔迭代法计算公式为(2.8)或(2.9)19认识到了贫困户贫困的根本原因,才能开始对症下药,然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视,已经展开了“精准扶贫”项目而由高斯-塞德尔迭代公式可知,雅可比迭代法不使用变量的最新信息计算 ,计算 的第 个分量 时,利用了已经计算出的最新分量 .由(2.8)可知,高斯-塞德尔迭代法每迭代一次只需计算一次矩阵与向量的乘法.高斯-塞德尔迭代法可看作雅可比迭代法的一种改进.算法算法1 1(高斯-塞德尔迭代法)设 ,其中 为非奇异矩阵且本算法用高斯-塞德尔迭代法解 ,20认识到了贫困户贫
10、困的根本原因,才能开始对症下药,然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视,已经展开了“精准扶贫”项目 迭代一次,这个算法需要的运算次数至多与矩阵 的非零元素的个数一样多.数组 开始存放 ,后存放为最大迭代次数.21认识到了贫困户贫困的根本原因,才能开始对症下药,然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视,已经展开了“精准扶贫”项目 例例2 2按高斯-塞德尔迭代公式迭代7次,得 ,(1.2)用高斯-塞德尔迭代法解线性方程组(1.2).取 ,22认识到了贫困户贫困的根本原因,才能开始对症下药,然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视,已经展开了“精准扶贫”项目 由此例可知,用高斯-塞德尔迭代法
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