函数与方程及函数的应用课件.ppt

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1、第二讲函数与方程及函数的应用【主干知识【主干知识】1.1.必记公式必记公式几种常见的函数模型几种常见的函数模型(1)(1)一次函数模型一次函数模型:_.:_.(2)(2)二次函数模型二次函数模型:_.:_.(3)(3)指数函数模型指数函数模型:_.:_.(4)(4)对数函数模型对数函数模型:_.:_.(5)(5)分段函数模型分段函数模型:_(A:_(A1 1AA2 2=).).y=ax+b(a0)y=ax+b(a0)y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)y=ay=ab bx x+c(b+c(b00且且b1)b1)y=blogy=bloga ax+c(ax+c(a00且且a1

2、)a1)2.2.重要性质重要性质(1)(1)函数的零点及函数的零点与方程根的关系函数的零点及函数的零点与方程根的关系对于函数对于函数f(xf(x),),把使把使f(xf(x)=0)=0的实数的实数x x叫做函数叫做函数f(xf(x)的的_,_,函数函数F(x)=f(x)-g(xF(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程的零点就是方程f(x)=g(xf(x)=g(x)的根的根,即函数即函数y=f(xy=f(x)的图象与函数的图象与函数y=g(xy=g(x)的图象交点的的图象交点的_._.零点零点横坐标横坐标(2)(2)零点存在性定理零点存在性定理如果函数如果函数y=f(xy=f(x)在区间在区间

3、a,ba,b 上的图象是连续不断的一条曲线上的图象是连续不断的一条曲线,并且有并且有_,_,那么函数那么函数y=f(xy=f(x)在区间在区间(a,b(a,b)内有零点内有零点,即存在即存在c(a,bc(a,b),),使得使得f(cf(c)=0,)=0,这个这个c c也就是方程也就是方程f(xf(x)=0)=0的根的根.f(a)f(a)f(bf(b)0)03.3.易错提醒易错提醒(1)(1)忽视判断函数零点存在的条件忽视判断函数零点存在的条件:利用零点存在性定理判断函利用零点存在性定理判断函数的零点时数的零点时,忽视函数忽视函数y=f(xy=f(x)在区间在区间a,ba,b 上的图象是连续不断

4、上的图象是连续不断的一条曲线的一条曲线,并且有并且有f(a)f(a)f(bf(b)0)0这两个条件同时成立这两个条件同时成立.(2)(2)函数的零点概念不清晰函数的零点概念不清晰:混淆零点与平面几何中的点混淆零点与平面几何中的点,函数函数y=f(xy=f(x)的零点即方程的零点即方程f(xf(x)=0)=0的实数根的实数根.(3)(3)零点存在性定理的应用错误零点存在性定理的应用错误:满足零点存在性定理的条件时满足零点存在性定理的条件时得出函数得出函数y=f(xy=f(x)在区间在区间(a,b(a,b)内有零点内有零点,但零点个数不确定但零点个数不确定;反反之函数在之函数在a,ba,b 上有零

5、点不一定能推出上有零点不一定能推出f(a)f(a)f(bf(b)0.)0;f(4)=-log30;f(4)=-log2 240,40,故包含零点的区间是故包含零点的区间是(2,4).(2,4).2.(20142.(2014湖北高考湖北高考)已知已知f(xf(x)是定义在是定义在R R上的奇函数，当上的奇函数，当x0 x0时，时，f(xf(x)=x)=x2 2-3x.-3x.则函数则函数g(xg(x)=f(x)-x+3)=f(x)-x+3的零点的集合为的零点的集合为()()A.1,3 B.-3,-1,1,3A.1,3 B.-3,-1,1,3C.2-,1,3 D.-2-,1,3C.2-,1,3 D

6、.-2-,1,3【解析【解析】选选D.D.由由f(xf(x)是定义在是定义在R R上的奇函数，上的奇函数，当当x0 x0时，时，f(xf(x)=x)=x2 2-3x-3x，所以，所以f(xf(x)=)=所以所以g(xg(x)=)=3.(20143.(2014永州模拟永州模拟)已知已知x x0 0是函数是函数f(xf(x)2 2x x 的一个零的一个零点点.若若x x1 1(1(1，x x0 0)，x x2 2(x(x0 0，)，则，则()()A.f(xA.f(x1 1)0 0，f(xf(x2 2)0 B.f(x0 B.f(x1 1)0 0，f(xf(x2 2)0 0C.f(xC.f(x1 1)

7、0 0，f(xf(x2 2)0 D.f(x0 D.f(x1 1)0 0，f(xf(x2 2)0 0【解析【解析】选选B.B.设设g(xg(x)，h(xh(x)2 2x x，由于函数，由于函数g(xg(x)在在(1(1，)上单调递增，函数上单调递增，函数h(xh(x)2 2x x在在(1(1，)上单调递增，故函数上单调递增，故函数f(xf(x)h(xh(x)g(xg(x)在在(1(1，)上单调递增，所以函数上单调递增，所以函数f(xf(x)在在(1(1，)上只有唯一的零点上只有唯一的零点x x0 0，且在，且在(1(1，x x0 0)上上f(xf(x1 1)0 0，在，在(x(x0 0，)上上f

8、(xf(x2 2)0.0.4.(20134.(2013湖北高考湖北高考)小明骑车上学小明骑车上学,开始时匀速行驶开始时匀速行驶,途中因交途中因交通堵塞停留了一段时间通堵塞停留了一段时间,后为了赶时间加快速度行驶后为了赶时间加快速度行驶.与以上事与以上事件吻合得最好的图象是件吻合得最好的图象是()【解析【解析】选选C.C.距学校越来越近则图象下降距学校越来越近则图象下降,交通堵塞时距离不交通堵塞时距离不变变,后加速行驶后加速行驶,直线斜率变小直线斜率变小,直线变陡直线变陡.5.(20145.(2014湖南高考湖南高考)某市生产总值连续两年持续增加，第一年某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长

9、率为的增长率为p p，第二年的增长率为，第二年的增长率为q q，则该市这两年生产总值的，则该市这两年生产总值的年平均增长率为年平均增长率为()()【解析【解析】选选D.D.设该市这两年生产总值的年平均增长率为设该市这两年生产总值的年平均增长率为x x，则由已知，可得则由已知，可得(1+x)(1+x)2 2=(1+p)(1+q)=(1+p)(1+q)，解得，解得x=x=6.(20146.(2014宁波模拟宁波模拟)函数函数f(x)=g(xf(x)=g(x)=x)=x2 2f(x-1)f(x-1)(xR),(xR),则函数则函数g(xg(x)的零点个数有的零点个数有个个.【解析【解析】g(xg(x

10、)=)=则则g(1)=0,g(1)=0,当当x1x0 x0时时,f(x)=+lnx(ef(x)=+lnx(e=2.7182=2.7182为自然对数的底数为自然对数的底数),),则函数则函数f(xf(x)的零点不可能落在区间的零点不可能落在区间()A.(-1,0)B.(0,1)C.D.A.(-1,0)B.(0,1)C.D.(2)(2014(2)(2014大连模拟大连模拟)x)x表示不超过表示不超过x x的最大整数的最大整数,例如例如2.92.9=2,-4.1=-5.=2,-4.1=-5.已知已知f(x)=x-x(xR),g(xf(x)=x-x(xR),g(x)=log)=log4 4(x-1),

11、(x-1),则函则函数数h(x)=f(x)-g(xh(x)=f(x)-g(x)的零点个数是的零点个数是()A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4【信息联想【信息联想】(1)(1)看到零点判断零点所在区间看到零点判断零点所在区间,想到想到_._.(2)(2)看到判断零点的个数看到判断零点的个数,想到想到_._.零点存在零点存在性定理性定理数形结合数形结合【规范解答【规范解答】(1)(1)选选C.xC.x0 0时，时，f(xf(x)为增函数，又为增函数，又f(xf(x)为偶函数，为偶函数，画出画出f(xf(x)的草图，先考查的草图，先考查x x0 0时时f(xf(x)的零点情况的零点情况

12、.f(1)=1.f(1)=10,0,知，知，x x0 0时时f(xf(x)的零的零点在区间点在区间 内，又内，又f(xf(x)为偶函数，所以另一零点在区间为偶函数，所以另一零点在区间 内，故应选内，故应选C.C.(2)(2)选选B.B.函数函数h(x)=f(x)-g(xh(x)=f(x)-g(x)的零点的零点个数可转化为函数个数可转化为函数f(xf(x)与与g(xg(x)图象的图象的交点个数交点个数,作出函数作出函数f(x)=x-xf(x)=x-x=与函数与函数g(xg(x)=log)=log4 4(x-1)(x-1)的大致图象如图的大致图象如图,由图由图可知两函数图象的交点个数为可知两函数图

13、象的交点个数为2,2,即函数即函数h(x)=f(x)-g(xh(x)=f(x)-g(x)的零点的零点个数是个数是2.2.【互动探究【互动探究】题题(2)(2)中若关于中若关于x x的方程的方程f(x)=kx+kf(x)=kx+k有三个不同的有三个不同的实根实根,求实数求实数k k的取值范围的取值范围.【解析【解析】关于关于x x的方程的方程f(x)=kx+kf(x)=kx+k有三个不同的实根有三个不同的实根,转化为转化为y=f(x),y=kx+ky=f(x),y=kx+k=k(x+1)=k(x+1)两个函数图象有三个不同的交点两个函数图象有三个不同的交点,函数函数f(x)=x-xf(x)=x-

14、x 的图象如图的图象如图,函数函数y=k(x+1)y=k(x+1)恒过定点恒过定点(-1,0),(-1,0),观察图观察图象易得象易得k k 【规律方法【规律方法】1.1.判断函数零点个数的方法判断函数零点个数的方法(1)(1)直接求零点直接求零点:令令f(xf(x)=0,)=0,则方程解的个数即为零点的个数则方程解的个数即为零点的个数.(2)(2)零点存在性定理零点存在性定理:利用该定理不仅要求函数在利用该定理不仅要求函数在a,ba,b 上是连上是连续的曲线续的曲线,且且f(a)f(a)f(bf(b)0,)0,还必须结合函数的图象和性质还必须结合函数的图象和性质(如如单调性单调性)才能确定函

15、数有多少个零点才能确定函数有多少个零点.(3)(3)数形结合数形结合:对于给定的函数不能直接求解或画出图形对于给定的函数不能直接求解或画出图形,常会常会通过分解转化为两个函数图象通过分解转化为两个函数图象,然后数形结合然后数形结合,看其交点的个数看其交点的个数有几个有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零就有几个不同的零点点.2.2.判断函数零点所在区间的方法判断函数零点所在区间的方法判断函数在某个区间上是否存在零点判断函数在某个区间上是否存在零点,要根据具体题目灵活处要根据具体题目灵活处理理.当能直接求出零点时当能直接求出零点时,就直接求出进行判

16、断就直接求出进行判断;当不能直接求当不能直接求出时出时,可根据零点存在性定理判断可根据零点存在性定理判断;当用零点存在性定理也无法当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断判断时可画出图象判断.【变式训练【变式训练】1.(20141.(2014湛江模拟湛江模拟)函数函数f(xf(x)=2)=2x x+x+x3 3-2-2在区间在区间(0,1)(0,1)内的零点个数是内的零点个数是()A.0A.0B.1B.1C.2C.2D.3D.3【解析【解析】选选B.B.函数函数f(xf(x)=2)=2x x+x+x3 3-2-2在在(0,1)(0,1)上递增上递增.又又f(0)=1+0-2=-10,f(0

17、)=1+0-2=-10,所以有所以有1 1个零点个零点.2.(20142.(2014大同模拟大同模拟)若方程若方程x x3 3=的根为的根为x x0 0,且且x x0 0所在的区所在的区间是间是(a,b)(a,bZ(a,b)(a,bZ且且b-a=1),b-a=1),则则a+ba+b=.【解析【解析】设设f(xf(x)=x)=x3 3-,x-,x0 0是函数是函数f(xf(x)的的零点零点.在同一坐标系下画出函数在同一坐标系下画出函数y=xy=x3 3与与y=y=的图象的图象,如图所示如图所示.因为因为f(1)=1-f(1)=1-=-10,=-10,f(2)=8-=70,所以所以f(1)f(2)

18、0,f(1)f(2)0,又因为又因为f(xf(x)为单调递增函数为单调递增函数,所以所以x x0 0(1,2).(1,2).故故a=1,b=2,a=1,b=2,因此因此a+ba+b=3.=3.答案答案:3 3【加固训练【加固训练】1.(20141.(2014潍坊模拟潍坊模拟)函数函数f(xf(x)l logog2 2x x 的零的零点所在的区间为点所在的区间为()()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【解析【解析】选选B.B.由由f(1)f(1)10100可得可得f(xf(x)在在(1,2)(1,2)内内必有零点必有

19、零点.2.(20132.(2013天津高考天津高考)函数函数f(xf(x)=2)=2x x|l logog0.50.5x|x|1 1的零点个数的零点个数为为()()A.1 B.2 C.3 D.4A.1 B.2 C.3 D.4【解析【解析】选选B.B.函数函数f(xf(x)=2)=2x x|l logog0.50.5x|x|1 1的零点即的零点即2 2x x|l logog0.50.5x|x|1=01=0的解，即的解，即|l logog0.50.5x|=x|=的解，作出函数的解，作出函数g(xg(x)=)=|l logog0.50.5x|x|和函数和函数h(xh(x)=)=的大致图象，的大致图象

20、，由图象可知，两函数共有两个交点，故函数由图象可知，两函数共有两个交点，故函数f(xf(x)=2)=2x x|l logog0.50.5x|x|1 1有有2 2个零点个零点.热点考向二热点考向二 函数与方程的综合应用函数与方程的综合应用 【考情快报【考情快报】高频考向高频考向多维探究多维探究难度难度:基础、中档题基础、中档题命题指数命题指数:题型题型:以选择题、填空题为主以选择题、填空题为主考查方式考查方式:主要考查方程、函数零点之间的关系主要考查方程、函数零点之间的关系,常与函数的图象和性质联系起来常与函数的图象和性质联系起来命题角度一命题角度一 由函数零点的情况求参数范围由函数零点的情况求

21、参数范围【典题【典题2 2】(1)(2014(1)(2014杭州五校模拟杭州五校模拟)设函数设函数f(xf(x)=log)=log3 3 -a -a在区间在区间(1,2)(1,2)内有零点内有零点,则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是.(2)(2014(2)(2014天津高考天津高考)已知函数已知函数f(xf(x)=)=若函数若函数y=f(x)-a|xy=f(x)-a|x|恰有恰有4 4个零点个零点,则实数则实数a a的取值范围为的取值范围为.【信息联想【信息联想】(1)(1)看到有零点看到有零点,想到想到_.(2)(2)看到函数恰有看到函数恰有4 4个零点个零点,想到想到_.函数的值域

22、函数的值域数形结合转化为交点个数问题数形结合转化为交点个数问题【规范解答【规范解答】(1)(1)因为因为x(1,2),x(1,2),所以所以 (2,3),log(2,3),log3 3(log(log3 32,1),2,1),故要使函数故要使函数f(xf(x)在在(1,2)(1,2)内存在零点内存在零点,只要只要a(loga(log3 32,1)2,1)即可即可.答案答案:(log(log3 32,1)2,1)(2)(2)如图如图,分别作出函数分别作出函数y=f(xy=f(x)和函数和函数y=a|xy=a|x|的大致图象的大致图象.由图象可知当由图象可知当y=a|xy=a|x|的图象在的图象在

23、y y轴左侧轴左侧部分和部分和y=f(xy=f(x)相切以及右侧部分和相切以及右侧部分和y=y=f(x)(xf(x)(x2)2)平行之间时满足条件平行之间时满足条件,相切时由相切时由 得得=0,=0,则则a=1;a=1;平行时平行时a=2.a=2.故有故有1a2.1a2.答案答案:1a21a2命题角度二命题角度二 利用函数零点与方程根的关系解决相关问题利用函数零点与方程根的关系解决相关问题 【典题【典题3 3】(1)(2014(1)(2014保定模拟保定模拟)设点设点P(xP(x0 0,y,y0 0)是函数是函数y=tan xy=tan x与与y=-x(xy=-x(x0)0)的图象的一个交点，

24、则的图象的一个交点，则(+1)(cos 2x(+1)(cos 2x0 0+1)=_.+1)=_.(2)(2014(2)(2014宁德模拟宁德模拟)设函数设函数f(xf(x)=)=，若曲线，若曲线y=sin xy=sin x上上存在点存在点(x(x0 0，y y0 0)使得使得f(f(yf(f(y0 0)=y)=y0 0，则，则a a的取值范围是的取值范围是_._.【信息联想【信息联想】(1)(1)看到交点看到交点,想到想到_._.(2)(2)看到看到y=sinxy=sinx上存在点上存在点(x(x0 0,y,y0 0)使得使得f(f(yf(f(y0 0)=y)=y0 0,想到想到_._.联立方

25、程联立方程正弦函数的值域正弦函数的值域【规范解答【规范解答】(1)(1)由题意可得，由题意可得，tan xtan x0 0=-x=-x0 0,(+1)(+1)(cos 2x(cos 2x0 0+1)=(1+tan+1)=(1+tan2 2x x0 0)2cos2cos2 2x x0 0=2cos=2cos2 2x x0 0()=2.()=2.答案：答案：2 2(2)(2)由已知点由已知点(x(x0 0,y,y0 0)在曲线在曲线y=sinxy=sinx上上,得得y y0 0=sinx=sinx0 0,y,y0 00,1.0,1.即即存在存在y y0 00,10,1使使f(f(yf(f(y0 0

26、)=y)=y0 0成立成立.因为因为(f(y(f(y0 0),y),y0 0)满足方程满足方程f(f(yf(f(y0 0)=y)=y0 0,由于函数由于函数f(x)=f(x)=在其定义域内是增函数在其定义域内是增函数,所以所以f(yf(y0 0)=y)=y0 0.即方程即方程 =x=x在在0,10,1内有解内有解,即即a=xa=x2 2-x,x0,1.-x,x0,1.当当x0,1x0,1时时,x,x2 2-x-,0,-x-,0,故故a a的取值范围是的取值范围是-,0.-,0.答案答案:-,0-,0【规律方法【规律方法】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法利用函数零点的情况求参数值或取值

27、范围的方法(1)(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)(2)分离参数后转化为求函数的值域分离参数后转化为求函数的值域(最值最值)问题求解问题求解.(3)(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题,从而构建不等从而构建不等式求解式求解.【变式训练【变式训练】1.(20141.(2014天津模拟天津模拟)定义运算定义运算M:xM:x y y=设函数设函数f(xf(x)=(x)=(x2 2-3)-3)(x-1),(x-1),若函数若函数y=f(x)-cy=f(x)-c恰有两个零点恰有两个零点,则则实数实数c c的

28、取值范围是的取值范围是()A.-3,-2)A.-3,-2)B.-3,-23,+)B.-3,-23,+)C.-2,2C.-2,2D.(-3,-2)2,+)D.(-3,-2)2,+)【解析【解析】选选D.D.由由x x2 2-3x-1-3x-1解得解得x-1x-1或或x2,x2,所以所以f(xf(x)=)=函数函数y=f(x)-cy=f(x)-c恰有两个零点恰有两个零点,即函数即函数y=f(x),yy=f(x),y=c=c的图象恰有两个交点的图象恰有两个交点,作出函数作出函数y=f(x),yy=f(x),y=c=c的大致图象如图的大致图象如图,由图可知由图可知-3c-2-3c-2或或c2c2时时,

29、两个图象两个图象有两个不同的交点有两个不同的交点,故实数故实数c c的取值范的取值范围是围是(-3,-2)2,+).(-3,-2)2,+).2.(20142.(2014长沙模拟长沙模拟)已知已知f(xf(x)是是R R上的偶函数上的偶函数,当当x0 x0时时,f(x,f(x)=2=2x x-2 ,-2 ,又又a a是函数是函数g(xg(x)=ln(x+1)-)=ln(x+1)-的正零点的正零点,则则f(-2),f(a),f(-2),f(a),f(1.5)f(1.5)的大小关系是的大小关系是()A.f(1.5)f(a)f(-2)B.f(-2)f(1.5)f(aA.f(1.5)f(a)f(-2)B

30、.f(-2)f(1.5)f(a)C.f(a)f(1.5)f(-2)D.f(1.5)f(-2)f(aC.f(a)f(1.5)f(-2)D.f(1.5)f(-2)0a0时时,易知易知g(xg(x)为增函数为增函数,而且而且g(2)=ln3-10,g(2)=ln3-10,g(1.5)=ln2.5-lne-1=0,g(1.5)=ln2.5-lne-1=0,于是由零点存在定理可知在区间于是由零点存在定理可知在区间(1.5,2)(1.5,2)内内g(xg(x)存在零点存在零点,再由单调性结合题意可知再由单调性结合题意可知a a就为这个就为这个零点零点,因此有因此有1.5a2.1.5a1x1时时,我们有我们

31、有f f(x(x)2ln2-1=ln2)2ln2-1=ln22 2-1lne-1=0,-1lne-1=0,由此可见由此可见f(xf(x)在在(1,+(1,+)上单调递增上单调递增,可见必有可见必有f(1.5)f(af(1.5)f(a)f(2),f(2),而又由于而又由于f(xf(x)为偶函数为偶函数,所以所以f(1.5)f(af(1.5)f(a)f(-2).)f(-2).【加固训练【加固训练】(2013(2013天津高考天津高考)设函数设函数f(xf(x)=e)=ex x+x-2,+x-2,g(xg(x)=)=l lnx+xnx+x2 2-3.-3.若实数若实数a,ba,b满足满足f(af(a

32、)=0,g(b)=0,)=0,g(b)=0,则则()A.g(a)0f(b)A.g(a)0f(b)B.f(b)0g(aB.f(b)0g(a)C.0g(a)f(b)C.0g(a)f(b)D.f(b)g(aD.f(b)g(a)0)0,+10,所以所以f(xf(x)=e)=ex x+x-2+x-2在其定义在其定义域内是单调递增的域内是单调递增的,由由f(af(a)=0)=0知知0a1,0a0,g(x)x0,g(x)=+2x0,=+2x0,故故g(xg(x)=lnx+x)=lnx+x2 2-3-3在在(0,+)(0,+)上也是单调递增的上也是单调递增的,由由g(bg(b)=0)=0知知1b2,1b2,所

33、以所以g(a)g(b)=0,0=f(a)f(bg(a)g(b)=0,0=f(a)f(b),),因此因此g(a)0f(bg(a)0f(b).).热点考向三热点考向三 函数的实际应用函数的实际应用 【考情快报【考情快报】难度难度:中档题中档题命题指数命题指数:题型题型:以解答题为主以解答题为主考查方式考查方式:主要考查函数模型的建立主要考查函数模型的建立,常与函数的最值、不等式、导数相结合考查常与函数的最值、不等式、导数相结合考查【典题【典题4 4】(2014(2014合肥模拟合肥模拟)2014)2014年年4 4月月,某地自来水苯超标某地自来水苯超标,当当地自来水公司对水质检测后地自来水公司对水

34、质检测后,决定在水中投放一种药剂来净化决定在水中投放一种药剂来净化水质水质,已知每投放质量为已知每投放质量为m m的药剂后的药剂后,经过经过x x天该药剂在水中释放天该药剂在水中释放的浓度的浓度y(y(毫克毫克/升升)满足满足y=mf(xy=mf(x),),其中其中f(xf(x)=)=当药剂在水中的浓度不低于当药剂在水中的浓度不低于4(4(毫克毫克/升升)时称为有效净化时称为有效净化;当药当药剂在水中释放的浓度不低于剂在水中释放的浓度不低于4(4(毫克毫克/升升)且不高于且不高于10(10(毫克毫克/升升)时称为最佳净化时称为最佳净化.(1)(1)如果投放的药剂质量为如果投放的药剂质量为m=4

35、,m=4,试问自来水达到有效净化一共试问自来水达到有效净化一共可持续几天可持续几天?(2)(2)如果投放药剂质量为如果投放药剂质量为m,m,为了使在为了使在7 7天天(从投放药剂算起包括从投放药剂算起包括7 7天天)之内的自来水达到最佳净化之内的自来水达到最佳净化,试确定应该投放的药剂质量试确定应该投放的药剂质量m m的最小值的最小值.【信息联想【信息联想】(1)(1)看到求自来水达到有效净化一共可持续几天看到求自来水达到有效净化一共可持续几天,想到想到_._.(2)(2)看到看到7 7天天(从投放药剂算起包括从投放药剂算起包括7 7天天)之内的自来水达到最佳之内的自来水达到最佳净化净化,想到

36、想到_._.求求y4y4的解集的解集在区间在区间(0,7(0,7上上4y104y10恒成立恒成立【规范解答【规范解答】(1)(1)由题意由题意,得当药剂质量得当药剂质量m=4m=4时时,当当0 x404x4时时,4,4,解得解得4x16.4x16.综上综上0 x16.0 x16.所以自来水达到有效净化一共可持续所以自来水达到有效净化一共可持续1616天天.(2)(2)由由y ymf(xmf(x)当当0 x40 x4时，时，y y 2m2m在区间在区间(0,4(0,4上单调递增，上单调递增，即即2my3m2m4x4时，时，yy所以函数在区间所以函数在区间(4,7(4,7上单调递减，即上单调递减，

37、即 y3my5x5时时,只能销售只能销售500500台台,所以所以 (2)(2)当当0 x50 x5时时,y=-x,y=-x2 2+4.75x-0.5.+4.75x-0.5.当当x=-=4.75(x=-=4.75(百台百台)时时,y,ymaxmax=10.78125(=10.78125(万元万元).).当当x5(x5(百台百台)时时,y12-0.25,y12-0.255=10.75(5=10.75(万元万元),),所以当所以当x=475(x=475(台台)时时,y,ymaxmax=10.78125(=10.78125(万元万元).).所以年产量为所以年产量为475475台时台时,企业所得的利润

38、最大企业所得的利润最大.(3)(3)要使企业不亏本要使企业不亏本,即要求即要求 解解得得5x4.75-0.11(5x4.75-0.11(百台百台););解解得得5x48(50,)0,又又f(f(xf(f(x)=)=依据依据y=f(f(xy=f(f(x)的大致图象的大致图象(如图如图)知知,存在实数存在实数k,k,使得方程使得方程f(f(x)+kf(f(x)+k=0=0恰有恰有1 1个实根个实根;存在实存在实数数k,k,使得方程使得方程f(f(x)+kf(f(x)+k=0=0恰有恰有2 2个不相等的实个不相等的实根根;不存在实数不存在实数k,k,使得方程恰有使得方程恰有3 3个不相等的实个不相等

39、的实根根;不存在实数不存在实数k,k,使得方程恰有使得方程恰有4 4个不相等的实个不相等的实根根.综上所述综上所述,其中正确命题的序号是其中正确命题的序号是.答案答案:(2)(2)设设t=|x|-1,t=|x|-1,则则t-1,t-1,当当t=-1t=-1时时,x=0,x=0,当当t-1t-1时时,x,x有两解有两解.则原方程等价为则原方程等价为t t2 2-|t|+k=0,-|t|+k=0,即即k=-tk=-t2 2+|t|=+|t|=-(|t|-)-(|t|-)2 2+.+.画出函数画出函数k=-tk=-t2 2+|t|+|t|与与t=|x|-1t=|x|-1的图象的图象,由图象可知由图象

40、可知,当当k0k1,t1,此时方程恰有此时方程恰有2 2个不同的实根个不同的实根;当当k=0k=0时时,t=1,t=1或或t=0t=0或或t=-1,t=-1,当当t=1t=1时时,x,x有两个不同的解有两个不同的解,当当t=0t=0时时,x,x有两个不同的解有两个不同的解,当当t=-1t=-1时时,x,x只有一个解只有一个解,所以此时共有所以此时共有5 5个不同的解个不同的解.当当0k 0k 时时,-1t-,-1t-或或-t0-t0或或0t 0t 或或 t1,t1,此时对此时对应着应着8 8个解个解.当当k=k=时时,t=-,t=-或或t=.t=.此时每个此时每个t t对应着两个对应着两个x,

41、x,所以此时共所以此时共有有4 4个解个解.综上正确的是综上正确的是.答案答案:【规律方法【规律方法】复合函数的零点问题的处理思路复合函数的零点问题的处理思路(1)(1)数形结合的思想数形结合的思想:求出复合函数的表达式求出复合函数的表达式,再画出相应函数再画出相应函数的图象的图象,数形结合判断数形结合判断.(2)(2)转化与化归的思想转化与化归的思想:通过换元通过换元,转化为求解两个基本初等函转化为求解两个基本初等函数的零点问题数的零点问题.【加固训练【加固训练】1.(20141.(2014九江模拟九江模拟)设函数设函数f(xf(x)=)=g(xg(x)=)=f(x)f(x)2 2+bf(x

42、)+c,+bf(x)+c,如果函数如果函数g(xg(x)有有5 5个不同的零点个不同的零点,则则()A.bA.b-20c0B.bB.b-2-2且且c0c0C.bC.b-20c0【解析【解析】选选C.C.可得可得f(xf(x)为偶函数为偶函数,其图象如图所示其图象如图所示:(:(含原点含原点),),令令t=f(xt=f(x)可知可知,当当t=0t=0时时,x=0,x=0,当当t2t2时时,有有4 4个不同的个不同的x x值与之对值与之对应应,由于由于g(tg(t)=t)=t2 2+bt+c+bt+c有有5 5个不同零点个不同零点,所以必有一个零点为所以必有一个零点为t=0,t=0,即即g(0)=

43、c=0,g(0)=c=0,解之可得解之可得c=0,c=0,另一个零点为另一个零点为t2,t2,故由根与系数的关系可得故由根与系数的关系可得-b=0+t2,-b=0+t2,解得解得b-2.b0,y0,y1 1+y+y2 20 B.x0 B.x1 1+x+x2 20,y0,y1 1+y+y2 200C.xC.x1 1+x+x2 20,y0 D.x0 D.x1 1+x+x2 20,y0,y1 1+y+y2 200【思想联想【思想联想】(1)(1)知道知道y=f(xy=f(x)的图象与的图象与y=g(xy=g(x)的图象有且仅有的图象有且仅有两个不同的公共点两个不同的公共点,联想到数形结合求解联想到数

44、形结合求解.(2).(2)直接画图求解直接画图求解,思思路受阻路受阻,可联想到转化与化归思想可联想到转化与化归思想,转化为方程求解转化为方程求解.【规范解答【规范解答】【能力迁移【能力迁移】已知已知x x1 1,x,x2 2是函数是函数f(x)=ef(x)=e-x-x-|lnx-|lnx|的两个零点的两个零点,则则()A.xA.x1 1x x2 211B.xB.x1 1x x2 211C.1xC.1x1 1x x2 2eeD.1xD.1x1 1x x2 21010【思想联想【思想联想】直接计算零点不易求解直接计算零点不易求解,可联想到转化与化归思可联想到转化与化归思想想,转化为求方程转化为求方

45、程e e-x-x=|lnx=|lnx|的实数根的实数根.再转化为函数再转化为函数y=ey=e-x-x与与y=|lnxy=|lnx|的图象的交点问题的图象的交点问题.【解析【解析】选选B.B.函数函数f(x)=ef(x)=e-x-x-|lnx-|lnx|的零点的零点,即方程即方程e e-x-x=|lnx=|lnx|的实数根的实数根.在同一坐标系内作出函数在同一坐标系内作出函数y=ey=e-x-x与与y=|lnxy=|lnx|的图象的图象,如图所示如图所示,不妨设不妨设x x1 1xx2 2,可得可得0 x0 x1 111,1,因为因为0-lnx0-lnx1 11,-1,-1,可得可得x x1 1 .因为因为x x2 21,1,所以所以x x1 1x x2 2 .又因为又因为y=ey=e-x-x是减函数是减函数,可得可得lnxlnx2 2-lnx-lnx1 1,所以所以lnxlnx2 2+lnx+lnx1 10,0,得得lnxlnx1 1x x2 20,0,即即x x1 1x x2 21,1,综上所述综上所述,可得可得 xx1 1x x2 21.1.