线性空间与线性映射ppt课件.ppt

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1、第十一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目第十一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射 线性代数有两个“线性”，一是线性空间，二是线性映射。线性代数研究线性空间之间的线性映射的性质。本章包括四节。前两节是关于线性空间的，重点是线性空间、线性空间的基与维数三个概念；后两节是关于线性映射的。其中第三节给出线性映射的概念及其矩阵表示，这使得在第十章中“冒然闯

2、入”的那个“矩形阵列”有了实在的目的。最后一节给出描述线性映射性质的两个重要概念：线性映射的零空间和值域空间。第十一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 通常，人们认为这章内容比较抽象，其实还是很直观的，因为在二维和三维的情况下，本章的内容都能具体“画出来”。建议读者在学习这章的时候，用二维和三维空间中的具体例子，想象概念的几何形象。11.1 11.1 线性空间线性空间线性空间线性空间 11.2 11.2 线性空

3、间的基与维数线性空间的基与维数线性空间的基与维数线性空间的基与维数 11.3 11.3 线性映射的矩阵表示线性映射的矩阵表示线性映射的矩阵表示线性映射的矩阵表示 11.4 11.4 线性映射的零空间与值域线性映射的零空间与值域线性映射的零空间与值域线性映射的零空间与值域 第十一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 11.1 11.1 11.1 11.1 线性空间线性空间线性空间线性空间 11.1.1 11.1.1

4、 线性空间的概念线性空间的概念线性空间的概念线性空间的概念 在我们的观念中，我们生活于其中的空间，是由点组成的。在空间中取定一点O，见图11.1-1，则空间中的点与位置向量r，建立一一对应关系，这样我们的生活空间可以看作是向量空间(本章中用加粗的字母表示向量)。空间中的向量,可以相加,也可以乘一数。见图11.1-2、图11.1-3。图11.1-1图11.1-3图11.1-2第十一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项

5、目 11.1 11.1 因而在向量空间中，形如 的式子是有意义的，这个式子称为向量a与b的线性组合。人们把加法与数乘叫线性运算。于是人们也把向量空间叫线性空间。ka+lb 线性运算具有下述性质：VS1：a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)a+(-a)=0 a+0=a 第十一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 11.1 11.1 数乘满足下列运算律：VS2：(a+b)=a+b(+)a=a+a 1 a=a

6、0 a=0 (左边为数0，右边为向量0)VS 是Vector Space 的缩写，VS1可分别读作：向量空间的第一组性质。类似的可说VS2。在整个数学中，这种具有线性运算并且满足VS1、VS2八条运算规律的集合太多了。例如，闭区间a,b上的多项式集合，闭区间a,b上所有连续函数构成的集合。还有后面遇到的R2，R3，Rn，人们把这样的集合叫向量空间,或线性空间。第十一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 11.1

7、11.1 定义定义定义定义 11.1.111.1.1：给定集合V,在其上定义了加法和数乘两种运算,满足VS1、VS2八条运算规律,称V为向量空间或线性空间,其中的元素叫向量。注意，术语“向量空间”和“线性空间”表示一个概念。例例11.1.1对二元有序数组的集合R2 按照如下定义的加法和数乘：两向量相加，就是对应分量相加 第十一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 11.1 11.1 数乘向量，就是数乘向量的各个分

8、量 检验R2按照如上定义的加法和数乘，构成一个向量空间 解：记 a=，b=，c=，0=，则 VS1：由 a+b=，b+a=即见 a+b=b+a 由 a+(b+c)=,(a+b)+c=即见 a+(b+c)=(a+b)+c 第十一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 11.1 11.1 即见 a+0=a 即见 (a+b)=a+b 由 0+a=a 由 a+(-a)=0 VS2：由 (a+b)=，a+b=即见 a+(-a

9、)=0 由 (+)a=，a+a=即见 (+)a=a+a 第十一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 11.1 11.1 即见 1 a=a 即见 0 a=0 由 1 a=a 由 0 a=0 可见，二元有序组的集合R2是一向量空间。也许你认为上面的检验过程没有必要，因为这八条运算性质的成立几乎是显然的。我们之所以这样做，是想让你实实在在的体验这一检验的过程，因为检验一个空间是否为线性空间，都要遵循相同的检验过程。第十

10、一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 11.1 11.1 类似地，我们可检验：所有三元有序数组的集合 是一线性空间。一般地，所有n元有序数组的集合 按照“两向量相加，就是对应分量相加”、“数乘向量，就是数乘向量的各个分量”定义加法与数乘，构成一线性空间。第十一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后

11、药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 11.1 11.1 解：解：解：解：首先，集合C a,b上可定义加法和数乘，即 Rn是我们今后使用的基本空间，有必要再提醒你，回顾一下这里的加法与数乘是怎么规定的。例例11.1.2检验闭区间a,b上，所有连续函数的集合C a,b是一线性空间。(其中，C是continuous 的第一个字母，符号C a,b读作：闭区间a,b上所有连续函数的集合)两个连续函数的和，还是连续函数 连续函数乘一数，还是连续函数 设f,g,h C a,b(即函数f,g,h是集合C a,b的元素)，则 VS1：f+g=g+f (f+g)+h=f+(g+h)

12、0+f=f f+(-f)=0 第十一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 11.1 11.1 可见，闭区间a,b上全体函数的集合，也是一个线性空间。你可能会说，此处只是把那八条性质罗列了一遍，而没有给什么“证明”。这是因为这八条性质的成立太显然了，以至于我们不需要再给出什么证明。类似地，你可以检验所有n次多项式的集合是一个线性空间。VS2：(f+g)=f+g (+)f=f+f 1 f=f 0 f=0 所有mn矩阵

13、的集合,按矩阵的加法与数乘,成为一线性空间。应该指出,R2,R3,一般地Rn,这些空间是线性代数中的常用空间。向量空间是一个“具有两种运算、八条性质的集合”。在向量空间中，我们可以作这两种运算，并且只要遵循八条运算规律，运算就不会出错。第十一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目11.2 11.2 线性空间的基与维数线性空间的基与维数线性空间的基与维数线性空间的基与维数 11.2.1 11.2.1 线性组合线性组合

14、线性组合线性组合 11.2 11.2 给定向量组a1,an,b，若存在常数k1,kn,使得 b=k1a1+kn an 称b可由a1,an 线性表示，也说b是a1,an 的线性组合。例如，在R2中，e1=，e2 =，则任一向量 a=，可由e1，e2 线性表示，即 或 a=a1 e1+a2 e2 第十一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 11.2 11.2 在R3中，给出向量组 e1=，e2=，则向量a=可由e1，

15、e2线性表示；b=不能由e1，e2线性表示。因为e1，e2的线性组合，其第三分量总是0，不可能是1。第十一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目11.2.2 11.2.2 线性相关线性相关线性相关线性相关 11.2 11.2 给定一组向量a1,an，若其中有一个可由其余线性表示,则称向量组a1,an 线性相关。你也许试图寻求这一概念的直观解释，建议你不要再找了，因为没有比这更直白的说法了。你就记住：“线性相关，就是

16、有一个向量可由其余线性表示”。这个说法易懂，但不便于检验。我们再换个说法。第十一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 11.2 11.2 向量组a1,an 线性相关的充要条件是：定理定理定理定理 11.2.1 11.2.1：存在不全为0的数k1,kn，使得 k1a1+kn an=0 证：证：证：证：设a1,an 线性相关，则有一个向量可由其余线性表示。不妨设这个向量就是a1,即存在k2,kn，使得 a1=k2a2

17、+kn an 于是 -a1+k2a2+kn an=0 由于k1=-1 0，因而存在不全为0的数k1,kn，使得 k1a1+kn an=0 第十一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 11.2 11.2 ：设存在不全为0的数k1,kn，使得 k1a1+kn an=0 不妨设k1 0(k1,kn都一样)，于是 a1=a2 a3-an 即，a1 可由其余线性表示。由定理11.2.1，线性相关也可如下定义：第十一章第十一

18、章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目定义定义定义定义 11.2.111.2.1：11.2 11.2 若存在不全为0的数k1,kn，使得 k1a1+kn an=0 称向量组a1,an 线性相关。向量组a1,an 不线性相关，称向量组线性无关，即 k1a1+kn an=0 只有当k1,kn 全为0才成立。第十一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射 认识到了贫困户

19、贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 11.2 11.2 解：解：解：解：设k1e1+k2 e2=0(右边为向量0)即，所以，即，式k1e1+k2 e2=0只有k1,k2 全为0时才成立。故向量组e1，e2 线性无关。例例11.2.1检验e1=，e2=的线性相关性。注意,在R2中,e1，e2总是表示这两个向量。第十一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫

20、”项目 11.2 11.2 因为式k1e1+k2 e2+k3 e3=0，只有在k1,k2,k3全为0时才成立。两个向量a1，a2线性相关，比如a1=ka2，这两个向量共线；三个向量a1，a2，a3线性相关，比如a1=k2a2+k3a3，即a1在a2，a3张成的平面上，即这三个向量共面。类似地，在三维空间中，e1=，e2=，e3=是线性无关的。第十一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目11.2.3 11.2.3 向

21、量空间的基向量空间的基向量空间的基向量空间的基 11.2 11.2 设V是一向量空间，a1,an 为V中的一组向量，满足 a1,an线性无关，称a1,an 为V中的一组基，ai称为第i个基向量，并称V为n维向量空间。V中任一向量可由a1,an 唯一线性表示，有一组基，沿着各个基向量，可画一条坐标轴，于是可建立一个坐标系，见图11.2-1、图11.2-2。图11.2-1图11.2-2第十一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准

22、扶贫”项目 11.2 11.2 有一个“坐标系”，每条轴上的单位向量就构成一组“基”。例如，在R2中，见图11.2-3：因此，基与坐标系是等价的，通常人们形象的称坐标系为“标架”，而把基向量称为“标架向量”。图11.2-3e1,e2线性无关，任一向量可由e1,e2唯一线性表示，则e1,e2为R2的一组基,且R2为二维向量空间。再例如，在R3中，e1,e2,e3线性无关，任一向量可由e1,e2,e3唯一线性表示，则e1,e2,e3为R3的一组基，且R3为三维向量空间。第十一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射 认识到了贫困户贫困的根

23、本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 11.2 11.2 显然，向量空间中的基不是唯一的。a1,a2线性无关，任一向量可由a1,a2唯一线性表示，即，a1,a2也是R2的一组基。一般地，在Rn中，使用起来最方便的是基 称e1,e2,en为Rn的标准基。例如，在R2中，取 a1=，a2=，则 e1=，e2=，en=第十一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目

24、11.2.4 11.2.4 向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示 11.2 11.2 设V为n维向量空间，b1,bn 为V的一组基。于是，xV，x可表示为b1,bn 的线性组合，即 x=x1 b1+xn bn 这样一种表示，使得向量x与n元有序数组之间建立了一一对应 关系，称数组 为x的坐标表示。应该注意，向量的坐标表示与向量本身是不同的两个概念。向量是一个几何的概念，与坐标系的选取无关；而向量的坐标表示与坐标系的选取有关。第十一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下

25、药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 11.2 11.2 在n维向量空间V中取定一组基，V中的向量与Rn中的向量便建立了一一对应关系。这种对应还保持向量的线性运算关系。因此，可把Rn看作V的表示。于是，只要在n维向如图11.2-4,在基e1，e2中,a的坐标表示为,而在基e1,e2中，a的坐标表示为 。量空间V中取定一组基，V就可以用Rn来表示，V中的向量就可用Rn中的向量来表示。图11.2-4第十一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到

26、病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目11.3 11.3 线性映射的矩阵表示线性映射的矩阵表示线性映射的矩阵表示线性映射的矩阵表示 11.3.1 11.3.1 线性映射线性映射线性映射线性映射 11.3 11.3 设V，W是两个线性空间，映射A：VW，满足 L1：A(x+y)=Ax+Ay L2：A(x)=Ax 称A：VW为线性映射，L1,L2称为线性性质。线性映射在数学中太多了。我们在中学学过的函数 y=Ax(其中A是直线y=Ax的斜率)就是一个RR的线性映射，因为 第十一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映

27、射 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 11.3 11.3 由于 还有，定积分运算同样是一个线性映射。可见求导运算 ，是个线性映射。由于 可见不定积分运算 ，也是个线性映射。第十一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 11.3 11.3 在线性代数中，有两个“线性”：一是线性空间，一是线性映射。线性代数主要研究线性空间之间线性映射

28、的各种性质。下面我们将看到，当在n维线性空间中取定一个基，线性映射就可用一个矩阵来表示。这种表示，使得对线性映射的研究，完全变成了对矩阵的研究。11.3.2 11.3.2 用用用用矩阵给出线性映射矩阵给出线性映射矩阵给出线性映射矩阵给出线性映射 给出一个mn矩阵A=，按照矩阵乘法，由y=Ax xRn 给出一个由RnRm的映射，不妨就称为映射A，A把Rn中的向量x=,映为Rm中的向量 y=。第十一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开

29、了“精准扶贫”项目 11.3 11.3 例如，给出23矩阵A=，可给出一个R3R2的映射 y=Ax 由矩阵的运算性质可知，由矩阵A给出的映射，具有 由 ，可知，A把 映为 。由 ，可知，A把 映为 。.A(x1+x2)=A x1+A x2.A(x)=Ax 即，由矩阵A给出的映射是一线性映射。第十一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目11.3.3 11.3.3 线性映射用矩阵表示线性映射用矩阵表示线性映射用矩阵表示

30、线性映射用矩阵表示 11.3 11.3 设V为n维线性空间，W为m维线性空间，T：VW为线性映射 在V中取定一个基 v1,v2,vn 则任一向量v可由v1,v2,vn唯一线性表示 v=x1v1+x2v2+xnvn 于是向量v有坐标表示 ，从而V可由Rn表示。在W中取定一个基 w1,w2,wm 第十一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 11.3 11.3 则任一向量w可由w1,w2,wm唯一线性表示 w=y1w

31、1+y2w2+ymwm 下面来看映射T用什么表示。T 映v1 到Tv1，Tv1为W中的向量，于是可由w1,w2,wm唯一线性表示 Tv1=a11w1+a21w2+am1wm 类似地，有 于是向量w有坐标表示 ，从而W可由Rm表示。Tv2=a12w1+a22w2+am2wm Tvn=a1nw1+a2nw2+amnwm 第十一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 11.3 11.3 于是，以这些坐标为列，可构造矩阵A

32、 Tv1 有坐标表示 ；Tv2 有坐标表示 ；，Tvn 有坐标表示 ；A=第十一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 11.3 11.3 下面我们将说明线性映射T：VW，可由线性映射A：RnRm来表示。由 w=Tv，有 y1 w1+ym wm=T(x1v1+xnvn)=x1T v1+xnTvn (利用T的线性性质)=x1(a11 w1+a12w2+am1wm)+x2(a12 w1+a22w2+am2wm)+xn(

33、a1n w1+a2n w2+amnwm)(将Tvi代入)=(a11 x1+a12 x2+a1nxn)w1 (按wi合并项)+(a21 x1+a22 x2+a2nxn)w2+(a m1 x1+a m2 x2+a mnxn)wm 第十一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 11.3 11.3 比较两边，有 y1=a11 x1+a12 x2+a1nxn y2=a21 x1+a22 x2+a2nxn ym=am1 x1+

34、am2 x2+amnxn 用矩阵乘法表示：第十一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 11.3 11.3 于是，线性映射T：VW，可由RnRm的线性映射 Tv的坐标表示 可由矩阵A与v的坐标表示 相乘得到。y=A x 表示，也说T由A表示。这样对线性映射T的研究，也就化成了对矩阵A的研究。第十一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射 认识到了贫困户贫困

35、的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目11.3.4 11.3.4 矩阵运算的映射意义矩阵运算的映射意义矩阵运算的映射意义矩阵运算的映射意义 11.3 11.3 设 T：VW，由y=A x表示，F：VW，由y=Bx表示，则 T+F：VW，由y=(A+B)x表示，即：矩阵的加法，表示线性映射的和。设 T：UV，由y=B x表示，F：VW，由z=A y表示，则复合映射 F o T：UW 由 z=Ay=ABx 表示，可见，矩阵的乘法表示线性映射的复合。第十一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线

36、性空间与线性映射 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目11.4 11.4 线性映射的零空间与值域线性映射的零空间与值域线性映射的零空间与值域线性映射的零空间与值域 11.4.1 11.4.1 子空间子空间子空间子空间 11.4 11.4 设V是向量空间，若V的非空子集FV，对于V中的加法和数乘是封闭的，即x，yF，有 x+y F，(x+y还在F中)例如，R3中，所有第三分量是0的向量 x F，(x还在F中)称F为V的线性子空间(即，F按照V中的加法与数乘也是一个线性空间)。是R3的一个子空间，即XOY坐标平面。第

37、十一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目11.4.2 11.4.2 线性映射的零空间与值域线性映射的零空间与值域线性映射的零空间与值域线性映射的零空间与值域 11.4 11.4 线性映射A：RnRm，确定两个重要的子空间。A的零空间：Rn中所有被A映到0的那些向量的集合 x|x Rn，Ax=0 称为A的零空间(null space)，记为N(A)，即 N(A)=x|x Rn，Ax=0 线性映射A的零空间也称为A的

38、核(kernel)。我们来验证N(A)是Rn的子空间：设x1,x2 N(A)，即Ax1=0，Ax2=0，则 A(x1+x2)=Ax1+Ax2=0，A(kx1)=kAx1=0 即见，若x1,x2在零空间中，则x1+x2 和kx1也在零空间中，A的零空间对加法和数乘是封闭的，因而是是Rn的子空间。第十一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 11.4 11.4 线性映射A：RnRm，确定两个重要的子空间。y|y Rm，

39、存在x Rn，使得Ax=y 称为A的值域空间(range)。A的值域常记为A(Rn)，即 A(Rn)=y|y Rm，存在x Rn，使得Ax=y 我们来验证A(Rn)是Rm的子空间：设y1,y2 A(Rn)，即x1,x2，使得 Ax1=y1，Ax2=y2 于是 y1+y2=Ax1+Ax2=A(x1+x2)即见y1+y2 是x1+x2在A下的象，因而y1+y2 A(Rn)。k y1=k Ax1=Akx1，即见k y1是kx1在A下的象，因而k y1 A(Rn)因而A(Rn)对加法和数乘是封闭的。第十一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映

40、射 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 11.4 11.4 x=x1 e1+xn en 于是 线性映射的零空间的维数叫线性映射的零化度(nullity),值域空间的维数叫线性映射的秩。对y A(Rn)，x Rn，使得y=Ax，注意x可由基向量e1,e2,en唯一线性表示 y=A(x1e1+xn en)=x1A e1+xn A en 这说明，值域空间的任一向量，都是向量组Ae1,Aen的线性组合。但要注意，Ae1,Aen一般不是一个基。第十一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间

41、与线性映射线性空间与线性映射 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 11.4 11.4 例例11.4.1线性映射A：R3 R3，由下式给出：求线性映射A的零空间、值域、零化度与秩。解：解：解：解：见图11.4-1。图11.4-1e1e2e3Ax=AA把x 映为Axx=由于对任一向量 x=有Ax ，第十一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫

42、”项目 11.4 11.4 可以看出，A的秩与零化度满足关系：称此为秩加零化度定理。对任一形为x=的向量，有Ax=。可见，A的零空间，是基向量e3所在的直线(也就是过去所说的Z轴)。值域空间是基向量e1,e2张成的平面(也就是过去所说的XOY平面)，e3所在的直线上的向量被映成了0向量(也说e3轴被零化了)。直观上，e3方向被“坍缩”(坍塌萎缩)了，整个三维空间坍缩为二维，坍缩掉了一维，保持了二维。坍缩掉的维数，就是A的零化度。保持的维数，就是A的秩。A的秩+A的零化度=A的定义域R3的维数 第十一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性

43、映射 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 11.4 11.4 例例11.4.2线性映射A：R3 R3，由下式给出：求线性映射A的零空间、值域、零化度与秩。解：解：解：解：见图11.4-2。由于对任一向量 x=图11.4-2e1e2e3Ax=A把x 映为Axx=A有Ax ，第十一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 11.4 11.

44、4 A的秩+A的零化度=A的定义域R3的维数 可见，A的零空间，是基向量e1,e2张成的平面(也就是过去所说的XOY平面)，值域空间是基向量e3所在的直线(也就是过去所说的Z轴)。基向量e1,e2张成的整个平面上的向量被映成了0向量(也说整个平面被零化了)。直观上，e1,e2张成的整个平面被“坍缩”了，整个三维空间坍缩为一维，坍缩掉了二维，保持了一维。坍缩掉的维数，就是A的零化度。保持的维数，就是A的秩。可以看出，A的秩与零化度仍然满足关系：对任一形为x=的向量，有Ax=。第十一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射 认识到了贫困户

45、贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目11.4.3 11.4.3 线性映射与线性方程组解的关系线性映射与线性方程组解的关系线性映射与线性方程组解的关系线性映射与线性方程组解的关系 11.4 11.4 线性方程组 称为齐次线性方程组。线性方程组 称为非齐次线性方程组。第十一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 11.4 11.4 齐次线性方程组与非齐

46、次线性方程组的区别，就是右边常数项是0，还是不是0。齐次线性方程组可记为 Ax=b 记 A=，x=，0=，b=。Ax=0 非齐次线性方程组可记为 可见，求齐次线性方程组的解，也就是求线性映射 y=Ax 的零空间。由此可知齐次线性方程组的解集是一个线性空间。第十一章第十一章第十一章第十一章 线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射线性空间与线性映射 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 11.4 11.4 对非齐次线性方程组，当bA(Rn)，即b不在线性映射的值域中，没有x被A映到b，方程组也就没有解。当b在线性映射的值域中，则有x被A映为b，x就是非齐次线性方程组一个解。看非齐次线性方程组有无解，也就是看b是否在A的值域中。