责难中追求严谨着名的贝克莱悖论数学与数学教育ppt课件.ppt

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1、认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目第一讲 数学理性精神的追求 真理主讲教师：孙淑娥目录认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目目录一、“宗教信仰”中的理性哲学二、“责难”中追求严谨三、“怪”中求真认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目三、数学与数学教育 第一次危机发生在公元前5世纪。毕达哥拉斯学派是一个宗教式的组织，但也致力于哲学与数学的研究，促进了数学和

2、理性哲学的发展，并对柏拉图和亚里士多德的思想产生很大影响。毕达哥拉斯学派确信：毕达哥拉斯学派确信：“宇宙的和谐在于数宇宙的和谐在于数”，神是以数的规律创造世界的。神是以数的规律创造世界的。一、“宗教信仰”中的理性哲学 第一次数学危机认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目三、数学与数学教育（1）数学证明的起始 泰勒斯毕达哥拉斯欧几里得 证明是要有假设的:公设、公理及定义。（2）数学抽象的提出 从实物的数与形，抽象到数学上的数与形，本身就把数学推向了科学。（3）毕达哥拉斯定理 勾股定理 一、“宗教信仰”中的理性哲学 毕

3、达哥拉斯学派贡献认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目西方文献中称此定理为西方文献中称此定理为毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理。曾经有人编书，收集了曾经有人编书，收集了勾股定理的勾股定理的370370种证法。种证法。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目三、数学与数学教育 数，是世界的法则数，是世界的法则 毕达哥拉斯说的“数”，是指自然数，即正整数，同时还包含它们的比，即正分数 。任意两条线段任意两条线段 a、d 都是可公度的都是可公度的

4、“可公度的”，意即有公共的度量单位 t。一、“宗教信仰”中的理性哲学 “万物皆数”学说认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目三、数学与数学教育 对“万物皆数”理论产生冲击的，却正是毕达哥拉斯学派自己的一个发现，用现在的符号，这就是 。然而，毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”是自己。该学派的成员希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解，使当时希腊数学家们深感不安。问题：（1）一个不能表成整数比的数 （2）不可公度的线段 一、“宗教信仰”中的理性

5、哲学 的发现认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 危机产生，封锁消息危机产生，封锁消息 希帕索斯泄露秘密，被抛进大海。希帕索斯泄露秘密，被抛进大海。一个正方形的对角线与其一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的一边的长度是不可公度的 希希帕帕索斯索斯(Hippasus)Hippasus)认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目三、数学与数学教育（1）一些不能表成整数比的数，称为无理数。没有道理的数，原来是翻译出了问题。“比的”两个整

6、数之比为有理数。（2）两个量的比相等，即 。约公元前370年，希腊数学家欧多克索斯和阿契塔给出的两个量的比相等的定义，也被欧几里得在几何原本中采用。然而，彻底解决这一危机是在19世纪，依赖实数理论的建立。第一次危机的真正解决在1872年德国数学家对无理数的严格定义。一、“宗教信仰”中的理性哲学 危机的基本消除认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目（1 1）有理数的稠密性）有理数的稠密性 定义：定义：“一个数集在数轴上是稠密的一个数集在数轴上是稠密的”是指，在数轴上，是指，在数轴上，每一个不管处于什么位置，也不论是多

7、么小的区间（每一个不管处于什么位置，也不论是多么小的区间（a a,b b ）中都存在着这个数集中的点。中都存在着这个数集中的点。定理：有理数集在数轴上是稠密的。定理：有理数集在数轴上是稠密的。（2 2）数轴）数轴 古代观点：数轴古代观点：数轴有理数有理数 现代观点：数轴现代观点：数轴实数实数（3 3）数系的扩张）数系的扩张 自然数系 有理数系 实数系数系的扩张危机的解决认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 思思：能说能说“任何两个有理数之间都有无理数任何两个有理数之间都有无理数”吗吗？为什么？为什么？认识到了贫困

8、户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目三、数学与数学教育 第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的十七世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派内部产生的，第二次数学危机则是由牛顿学派的外部、贝克莱大主教的发难引发的，是对牛顿“无穷小量”说法的质疑引起的。最后在柯西创立的极限理论和魏尔斯特拉斯给出了极限定义后，危机基本得到消除。二、“责难”中追求严谨 危机的引发和消除认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目三、数学与数学教育 微积分的一个来源，是想求运动物体

9、在某一时刻的瞬时速度。在推出上式时，假定了 才能做除法，所以上式的成立是以 为前提的。那么，为什么又可以让 而求得瞬时速度呢？（荒谬）二、“责难”中追求严谨 危机的引发认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目三、数学与数学教育 贝克莱还讽刺挖苦说：既然 和 都变成“无穷小”了，而无穷小作为一个量，既不是0，又不是非0，那它一定是“量的鬼魂”了。“贝克莱悖论”对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家提出的，但是，贝克莱的质问是击中要害的.因为“无穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。二、“责难”中追求严谨 著名的贝克莱悖

10、论认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目三、数学与数学教育 数学家们相信这一方法，只是由于它使用起来方便有效，并且得出的结果总是对的。特别是像海王星的发现那样鼓舞人心的例子，显示出牛顿的理论和方法的巨大威力。所以，人们不大相信贝克莱的指责。牛顿虽然提出和使用了“极限”这个词，但并没有明确说清这个词的意思。二、“责难”中追求严谨 著名的贝克莱悖论认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目三、数学与数学教育 德国的莱布尼茨虽然也同时发明了微积分

11、，但是也没有明确给出极限的定义。正因为如此，此后近二百年间的数学家，都不能满意地解释贝克莱提出的悖论。所以，由“无穷小”引发的第二次数学危机，实质上是缺少严密的极限概念和极限理论作为微积分学的基础。二、“责难”中追求严谨 第二次数学危机实质认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目三、数学与数学教育 然而，严格的极限理论的建立是逐步的、漫长的。数学家在将近200年的时间里，不能彻底反驳贝克莱的责难。到19世纪，一批杰出数学家辛勤、天才的工作，终于逐步建立了严格的极限理论，并把它作为微积分的基础。比如，达朗贝尔、19世纪

12、初捷克数学家波尔查诺等人某些有意义的工作。二、“责难”中追求严谨 危机的消除认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目三、数学与数学教育 对此做出决定性工作、可称为分析学的奠基人的是法国数学家柯西（A.L.Cauchy,17891857）。他在18211823年间出版的分析教程和无穷小计算讲义是数学史上划时代的著作。他对极限给出比较精确的定义，然后用它定义连续、导数、微分、定积分和无穷级数的收敛性，已与我们现在教科书上的差不太多了。二、“责难”中追求严谨 危机的消除认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药

13、到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目三、数学与数学教育 极限理论的进一步严格化，需要实数理论的严格化。其中，德国数学家魏尔斯特拉斯(18151897)的“点点连续而点点不可导的函数”，和黎曼（B.Riemann，18261866）被积函数不连续，其定积分也可能存在等问题的研究，表明极限概念、连续性、可微性和收敛性对实数系的依赖比人们想象的要深奥得多。因此，数学家们越来越明白，要为分析建立一个完善的基础，需要理解和阐明实数系的更深刻的性质。魏尔斯特拉斯的成功产生了深远的影响。一方面是建立的成功产生了深远的影响。一方面是建立了实数系，了实数系，另一方面是创造了精确的另一

14、方面是创造了精确的“”语言。语言。二、“责难”中追求严谨 实数系理论建立认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目三、数学与数学教育 魏尔斯特拉斯的成功产生了深远的影响。一方面是建立了实数系，另一方面是创造了精确的“”语言。柯西的贡献在于，将微积分建立在极限论的基础。魏尔斯特拉斯的贡献在于，逻辑地构造了实数系，建立了严格的实数理论，使之成为极限理论的基础。所以，建立数学分析（或者说微积分）基础的“逻辑顺序”是：实数理论极限理论微积分。而“历史顺序”则正好相反。知识的逻辑顺序与历史顺序有时是不同的.二、“责难”中追求严谨

15、 微积分的基础认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目三、数学与数学教育到到19世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何的世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何的出现使几何理论更加扩展和完善；实数理论（和出现使几何理论更加扩展和完善；实数理论（和极限理论）的出现使微积分有了牢靠的基础；群极限理论）的出现使微积分有了牢靠的基础；群的理论、算术公理的出现使算术、代数的逻辑基的理论、算术公理的出现使算术、代数的逻辑基础更为明晰，等等。人们水到渠成地思索：整个础更为明晰，等等。人们水到渠成地思索：整个数学的基础在哪里？数学的基础在

16、哪里？正在这时，正在这时，19世纪末，集合论出现了。人世纪末，集合论出现了。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。三、“怪”中求真 危机的消除认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目三、数学与数学教育 尽管集合论自身的相容性尚未证明，但许多尽管集合论自身的相容性尚未证明，但许多人认为这只是时间问题。庞加莱甚至在人认为这只是时间问题。庞加莱甚至在1900年巴年巴黎国际数学家大会上宣称：黎国际数学家大会上宣称：“现在我们可以说，现在我们可以说，完全的严格性已经达到了！完全的

17、严格性已经达到了！”人们按逻辑顺序把全部数学的基础归结为算人们按逻辑顺序把全部数学的基础归结为算术，即归结为非负整数，即自然数集合加上术，即归结为非负整数，即自然数集合加上0现在我国中小学就把这一集合称为自然数集合。现在我国中小学就把这一集合称为自然数集合。三、“怪”中求真 第三次数学危机认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目三、数学与数学教育 因此，全部数学似乎都可归结为非负整数了，因此，全部数学似乎都可归结为非负整数了，或者说，或者说，全部数学都可以归结为算术了。全部数学都可以归结为算术了。这样，如果能把算术建

18、立在集合论的基础上，这样，如果能把算术建立在集合论的基础上，就相当于解决了整个就相当于解决了整个“数学基础数学基础”的问题。的问题。法国数学家、数理逻辑先驱法国数学家、数理逻辑先驱弗雷格弗雷格（G.Frege,18481925）就做了这样的工作。他）就做了这样的工作。他写了一本名叫写了一本名叫算术基础算术基础的书。的书。三、“怪”中求真 第三次数学危机认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目三、数学与数学教育 弗雷格弗雷格从空集出发，而仅仅用到集合从空集出发，而仅仅用到集合及及集合集合等价等价的概念，把全部非负整数定

19、义出来了。于是的概念，把全部非负整数定义出来了。于是根据上边说的根据上边说的“可以把全部数学归结为非负整数可以把全部数学归结为非负整数”，就可以说，就可以说，全部数学可以建立在集合论的基全部数学可以建立在集合论的基础上了。础上了。三、“怪”中求真 危机的消除弗雷格弗雷格算术基础算术基础认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目三、数学与数学教育 正当弗雷格即将出版他的算术基础一书正当弗雷格即将出版他的算术基础一书的时候，罗素的集合论悖论出来了。的时候，罗素的集合论悖论出来了。罗素悖论引发的危机，称为第三次数学危机。罗素

20、悖论引发的危机，称为第三次数学危机。罗素把他发现的悖论写信告诉弗雷格。弗雷格罗素把他发现的悖论写信告诉弗雷格。弗雷格在他的算术基础一书的末尾无可奈何地写道：在他的算术基础一书的末尾无可奈何地写道：“一个科学家遇到的最不愉快的事莫过于，当他一个科学家遇到的最不愉快的事莫过于，当他的工作完成时，基础崩塌了。当本书即将印刷时，的工作完成时，基础崩塌了。当本书即将印刷时，罗素先生的一封信就使我陷入这样的尴尬境地。罗素先生的一封信就使我陷入这样的尴尬境地。三、“怪”中求真 危机的产生认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目三、

21、数学与数学教育 正当弗雷格即将出版他的算术基础一书正当弗雷格即将出版他的算术基础一书的时候，罗素的集合论悖论出来了。的时候，罗素的集合论悖论出来了。罗素悖论引发的危机，称为第三次数学危机。罗素悖论引发的危机，称为第三次数学危机。罗素把他发现的悖论写信告诉弗雷格。弗雷格罗素把他发现的悖论写信告诉弗雷格。弗雷格在他的算术基础一书的末尾无可奈何地写道：在他的算术基础一书的末尾无可奈何地写道：“一个科学家遇到的最不愉快的事莫过于，当他一个科学家遇到的最不愉快的事莫过于，当他的工作完成时，基础崩塌了。当本书即将印刷时，的工作完成时，基础崩塌了。当本书即将印刷时，罗素先生的一封信就使我陷入这样的尴尬境地。

22、罗素先生的一封信就使我陷入这样的尴尬境地。三、“怪”中求真 危机的消除认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 伯特兰伯特兰罗素（罗素（1872-1970）Russell,Bertrand Arthur William(Third Earl Russell)出生年月：1872-1970 国籍：英国学科成就：学科成就：英国著名哲学家、数学家、逻辑学家，分析学的主要创始人，世界和平运动的倡导者和组织者。所获奖项：所获奖项：1950年诺贝尔文学奖。罗素罗素认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来

23、国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目三、数学与数学教育 罗罗素素悖悖论论是是：以以 表表示示“是是其其本本身身成成员员的的所所有有集集合合的的集集合合”（所所有有异异常常集集合合的的集集合合），而而以以 表表示示“不不是是它它本本身身成成员员的的所所有有集集合合的的集集合合”（所所有有正正常常集集合合的的集集合合），于于是是任任一一集集合合或或者者属属于于 ，或或者者属属于于 ，两两者者必必居居其其一一，且且只只居居其其一一。然然后后问问：集集合合 是是否否是是它它本本身身的的成员？（集合成员？（集合 是否是异常集合？）是否是异常集合？）一个集合或者是它本身的成员一个集合或者是它

24、本身的成员(元素元素),或者不是或者不是它本身的成员它本身的成员(元素元素)，两者必居其一。罗素把前，两者必居其一。罗素把前者称为者称为“异常集合异常集合”，把后者称为，把后者称为“正常集合正常集合”。三、“怪”中求真 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 如果如果 是它本身的成员，则按是它本身的成员，则按 及及 的定的定义，义，是是 的成员，而不是的成员，而不是 的成员，即的成员，即 不不是它本身的成员，这与假设矛盾。即是它本身的成员，这与假设矛盾。即 如果如果 不是它本身的成员，则按不是它本身的成员，则按 及

25、及 的定义，的定义，是是 的成员，而不是的成员，而不是 的成员，即的成员，即 是它本身的成员，这又与假设矛盾。即是它本身的成员，这又与假设矛盾。即 悖论在于：悖论在于：无论哪一种情况，都得出矛盾。无论哪一种情况，都得出矛盾。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目三、数学与数学教育 罗素悖论的通俗化罗素悖论的通俗化“理发师悖论理发师悖论”：某村：某村的一个理发师宣称，他给且只给村里自己不给自的一个理发师宣称，他给且只给村里自己不给自己刮脸的人刮脸。问：理发师是否给自己刮脸？己刮脸的人刮脸。问：理发师是否给自己刮脸？如

26、果他给自己刮脸，他就属于自己给自己刮如果他给自己刮脸，他就属于自己给自己刮脸的人，按宣称的原则，理发师不应该给他自己脸的人，按宣称的原则，理发师不应该给他自己刮脸，这与假设矛盾。如果他不给自己刮脸，他刮脸，这与假设矛盾。如果他不给自己刮脸，他就属于自己不给自己刮脸的，按宣称的原则，理就属于自己不给自己刮脸的，按宣称的原则，理发师应该给他自己刮脸，这又与假设矛盾。发师应该给他自己刮脸，这又与假设矛盾。三、“怪”中求真 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目三、数学与数学教育 当时消除悖论的选择有两种，一种是抛弃集合当

27、时消除悖论的选择有两种，一种是抛弃集合论，再寻找新的理论基础，另一种是分析悖论产论，再寻找新的理论基础，另一种是分析悖论产生的原因，改造集合论，探讨消除悖论的可能。生的原因，改造集合论，探讨消除悖论的可能。人们选择了后一条路。这种选择的理由是，原人们选择了后一条路。这种选择的理由是，原有的康托集合论虽然简明，但并不是建立在明晰有的康托集合论虽然简明，但并不是建立在明晰的公理基础之上的，这就留下了解决问题的余地。的公理基础之上的，这就留下了解决问题的余地。三、“怪”中求真 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目三、数

28、学与数学教育 罗素等人分析后认为，这些悖论的共同特征罗素等人分析后认为，这些悖论的共同特征（悖论的实质）是（悖论的实质）是“自我指谓自我指谓”。即，。即，一个待定一个待定义的概念，用了包含该概念在内的一些概念来定义的概念，用了包含该概念在内的一些概念来定义义，造成恶性循环。，造成恶性循环。例如，悖论中定义例如，悖论中定义“不属于自身的集合不属于自身的集合”时，时，涉及到涉及到“自身自身”这个待定义的对象。这个待定义的对象。三、“怪”中求真 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目三、数学与数学教育 为了消除悖论，数学

29、家们要将康托为了消除悖论，数学家们要将康托“朴素的集朴素的集合论合论”加以公理化；并且规定构造集合的原则，加以公理化；并且规定构造集合的原则，例如，不允许出现例如，不允许出现“所有集合的集合所有集合的集合”、“一切一切属于自身的集合属于自身的集合”这样的集合。这样的集合。三、“怪”中求真 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目三、数学与数学教育 1908年，策梅洛（年，策梅洛（E.F.F.Zermelo,18711953）提出了由）提出了由7条公理组成的集合论体系，称条公理组成的集合论体系，称为为Z-系统。系统。1

30、922年，弗兰克（年，弗兰克（A.A.Fraenkel）又加进一条）又加进一条公理，还把公理用符号逻辑表示出来，形成了集公理，还把公理用符号逻辑表示出来，形成了集合论的合论的ZF-系统。再后来，还有改进的系统。再后来，还有改进的ZFC-系统。系统。这样，大体完成了这样，大体完成了由朴素集合论到公理集合论由朴素集合论到公理集合论的发展过程，悖论消除了。的发展过程，悖论消除了。三、“怪”中求真 危机的消除认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目三、数学与数学教育 但是，新的系统的相容性尚未证明。因此，但是，新的系统的相容性尚未证明。因此，庞加莱在策梅洛的公理化集合论出来后不久，形庞加莱在策梅洛的公理化集合论出来后不久，形象地评论道：象地评论道：“为了防狼，羊群已经用篱笆圈起为了防狼，羊群已经用篱笆圈起来了，但却不知道圈内有没有狼来了，但却不知道圈内有没有狼”。这就是说，第三次数学危机的解决，并不是这就是说，第三次数学危机的解决，并不是完全令人满意的。完全令人满意的。三、“怪”中求真 危机的消除认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目谢谢聆听！