基本动态系统分析课件.ppt

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1、第三章第三章 基本动态系统分析基本动态系统分析 为了能够帮助大家进一步了解和掌握动态系统的分析，为了能够帮助大家进一步了解和掌握动态系统的分析，有必要通过对最基本的动态系统的分析和讨论去帮助大有必要通过对最基本的动态系统的分析和讨论去帮助大家总结和掌握以前所学过的一些知识，并且能够系统将家总结和掌握以前所学过的一些知识，并且能够系统将一些分析方法和规律应用于实际的复杂系统分析中。一些分析方法和规律应用于实际的复杂系统分析中。通过对绪论中所提到的通过对绪论中所提到的“五步建模法五步建模法”进一步总结进一步总结概括，我们认为对一个动态问题的解决方法一般可以经概括，我们认为对一个动态问题的解决方法一

2、般可以经过以下一些步骤：过以下一些步骤：首先首先是要剖析复杂系统的组成，画出系统示意图是要剖析复杂系统的组成，画出系统示意图（网络连接图）；（网络连接图）；其后其后是根据不同系统元件的相似性，用统一的数学是根据不同系统元件的相似性，用统一的数学表达式来描述不同的物理单元或系统组成，根据其连接表达式来描述不同的物理单元或系统组成，根据其连接图建立系统数学模型；图建立系统数学模型；最后最后是求解系统数学表达式，即找出系统中个输入是求解系统数学表达式，即找出系统中个输入量和输出量及其他所需确定参数的关系。量和输出量及其他所需确定参数的关系。第一节第一节 系统剖析系统剖析 当一个系统被定义后，其中的一

3、个实际的物理单元或系统组成当一个系统被定义后，其中的一个实际的物理单元或系统组成的动态特征往往不能完全由理想元件的方程准确地描述出来，受到的动态特征往往不能完全由理想元件的方程准确地描述出来，受到工作条件以及几何约束等因素的影响，因此，在确定系统元件（工作条件以及几何约束等因素的影响，因此，在确定系统元件（剖剖析系统析系统）时，是否能够接近实际系统，取决于建模的技巧和工程知）时，是否能够接近实际系统，取决于建模的技巧和工程知识。计算结果的准确性和有用程度取决于模型是否接近实际系统的识。计算结果的准确性和有用程度取决于模型是否接近实际系统的特征。另一方面，也要避免不必要的复杂性，首先，随着复杂程

4、度特征。另一方面，也要避免不必要的复杂性，首先，随着复杂程度提高，花费急剧上升；其次，多余的复杂性，反而模糊了主要因素提高，花费急剧上升；其次，多余的复杂性，反而模糊了主要因素的影响。任何系统最好的模型，是能以可能最简单的形式，提供所的影响。任何系统最好的模型，是能以可能最简单的形式，提供所需的有用信息。需的有用信息。一、用纯系统元件来建立系统元件的模型一、用纯系统元件来建立系统元件的模型 1、主要集中元件特性、主要集中元件特性 作为一个集中元件，它的主要特性一是要求其通过变量和跨越作为一个集中元件，它的主要特性一是要求其通过变量和跨越变量在低变化率情况下来确定的，此外，主要特性取决于加在元件

5、变量在低变化率情况下来确定的，此外，主要特性取决于加在元件上的约束。上的约束。2、寄生或次要元件的特性、寄生或次要元件的特性 寄生或次要元件的影响总是伴随着集中元件特性而产生的，当寄生或次要元件的影响总是伴随着集中元件特性而产生的，当次要影响是不希望的影响时，用次要影响是不希望的影响时，用“寄生寄生”来表示次要的影响。例如来表示次要的影响。例如一个电感线圈中存在的电阻，一个弹簧中的质量就是寄生元件。一个电感线圈中存在的电阻，一个弹簧中的质量就是寄生元件。3、非线性、非线性 在实际装置中常常存在的非线性会影响元件作为集中元件的特在实际装置中常常存在的非线性会影响元件作为集中元件的特性。例如一个机

6、械装置的主特性是弹簧，在加载和卸荷均很缓慢时，性。例如一个机械装置的主特性是弹簧，在加载和卸荷均很缓慢时，力和位移关系会出现图力和位移关系会出现图3-1所示的各种情况。又如一个机械传动装置所示的各种情况。又如一个机械传动装置的一对齿轮，由于齿轮间隙等原因造成的空程现象（图的一对齿轮，由于齿轮间隙等原因造成的空程现象（图3-2）。）。图图3-1 弹簧的非线性弹簧的非线性图图3-2 齿轮副空程齿轮副空程(a)非线性弹簧非线性弹簧 (b)磁滞磁滞 (c)爬行爬行 用线性关系近似地表示系统特性的原因是因为分析起来比非线用线性关系近似地表示系统特性的原因是因为分析起来比非线性简单。但如果非线性影响较大或

7、者我们必须要考虑它对系统的影性简单。但如果非线性影响较大或者我们必须要考虑它对系统的影响，就不能再用线性关系近似了。响，就不能再用线性关系近似了。举例介绍微分方程的线性化：举例介绍微分方程的线性化：如图如图3-3所示的单摆系统，所示的单摆系统，为输入力矩、为输入力矩、为输出摆角、为输出摆角、m为小球质量、为小球质量、L为摆长。为摆长。可建立系统方程：可建立系统方程：这是一个非线性方程，根据这是一个非线性方程，根据Taylor级级数展开得：数展开得：当当 很小时，高阶小数可以忽略，很小时，高阶小数可以忽略，则：则：非线性系统方程可简化成线性系统方程非线性系统方程可简化成线性系统方程图图3-3 单

8、摆系统单摆系统第二节第二节 建立系统方程建立系统方程 这里讨论最简单的两个元件组成的动态系统，以引出一些基本这里讨论最简单的两个元件组成的动态系统，以引出一些基本概念和解决问题的思路。概念和解决问题的思路。一、两个理想元件的连接一、两个理想元件的连接 图图3-4 电阻和电容的并联和串联电阻和电容的并联和串联 电阻和电容有两电阻和电容有两种接法，如图种接法，如图3-4a的的并联，两个元件具有并联，两个元件具有相同的电压；如图相同的电压；如图3-4b的串联，两个元件的串联，两个元件具有相同的电流。具有相同的电流。质量和阻尼的连接有如质量和阻尼的连接有如图图3-5a的并联（两个元件具的并联（两个元件

9、具有相同的速度）和如图有相同的速度）和如图3-5b的串联（两个元件具有相的串联（两个元件具有相同的力）。同的力）。图图3-5 质量和阻尼的连接质量和阻尼的连接2、动态系统的主导关系、动态系统的主导关系 系统分析时，利用简单的理想化系统元件，它们的方程式已知系统分析时，利用简单的理想化系统元件，它们的方程式已知的，当这些元件互相连接是，要满足两个重要的条件，这两个条件的，当这些元件互相连接是，要满足两个重要的条件，这两个条件叫做相容性和连续性。叫做相容性和连续性。因此，在系统分析时，要用到以下的几个条件：因此，在系统分析时，要用到以下的几个条件：（1）描述元件特性的元件方程，）描述元件特性的元件

10、方程，（2）跨越变量的相容性条件，）跨越变量的相容性条件，（3）通过变量的连续性条件。）通过变量的连续性条件。跨越变量的相容性跨越变量的相容性：要求多个元件串联时，在连接点处的跨：要求多个元件串联时，在连接点处的跨越变量相等，多个元件串联时的端点的跨越变量等于每个元件两端越变量相等，多个元件串联时的端点的跨越变量等于每个元件两端的跨越变量的总和。在机械系统中，相容性的概念是限制运动的几的跨越变量的总和。在机械系统中，相容性的概念是限制运动的几何约束；在电路中，要求封闭回路各元件压降之和为零（基尔霍夫何约束；在电路中，要求封闭回路各元件压降之和为零（基尔霍夫电压定律）。电压定律）。通过变量的连续

11、性通过变量的连续性：表示在一个多元件系统中，通过变量的：表示在一个多元件系统中，通过变量的守恒。例如在一个电路或一个机械网络中的电流或力是守恒的，相守恒。例如在一个电路或一个机械网络中的电流或力是守恒的，相当于基尔霍夫电流定律。当于基尔霍夫电流定律。对于一个系统，在考虑到相容性和连续性要求时，利用元件的对于一个系统，在考虑到相容性和连续性要求时，利用元件的基本关系（基本方程）就可以建立动态系统的方程式。基本关系（基本方程）就可以建立动态系统的方程式。3、系统方程的确定、系统方程的确定（1）对于图对于图3-6所示的系统，建立方程。所示的系统，建立方程。图图3-6 RC并联电路并联电路（2）能量法

12、获得系统方程）能量法获得系统方程对于图对于图3-6的的RC并联电路系统，其中：并联电路系统，其中：电容储能为：电容储能为：功率为：功率为：电阻功率为：电阻功率为：系统输入功率为：系统输入功率为：又能量守恒定律：又能量守恒定律：得：得：即得：即得：4 4、初始条件、初始条件 在知道系统方程后，求解系统方程还需要知道系统的初始条件。在知道系统方程后，求解系统方程还需要知道系统的初始条件。例如图例如图3-6的的RC并联电路系统，系统方程为：并联电路系统，系统方程为：当当i是给定的时间函数，则是给定的时间函数，则V就是要求解的时间函数，为此，我就是要求解的时间函数，为此，我们要知道们要知道V在在t=0

13、时的值。时的值。假定在接通电路电流前，假定在接通电路电流前，V=0，由于由于 ，故，故V在在t=0+时不可能立即改变，除非时不可能立即改变，除非 无穷大。因而，当接通有限的电流时，无穷大。因而，当接通有限的电流时，电压电压V不会突变。不会突变。这样，必须总结一下系统元件的初始条件情况，对突然变化时这样，必须总结一下系统元件的初始条件情况，对突然变化时的元件特性作一总结：的元件特性作一总结：（1）惯性元件如质量、惯量、电容和液容等，其跨越变量不惯性元件如质量、惯量、电容和液容等，其跨越变量不可能产生突变，除非受到无穷大的通过变量作用。可能产生突变，除非受到无穷大的通过变量作用。（2）感性元件如弹

14、簧、电感和液感等，其通过变量不可能产）感性元件如弹簧、电感和液感等，其通过变量不可能产生突变，除非加上一个无穷大的跨越变量。生突变，除非加上一个无穷大的跨越变量。（3）耗能元件的通过变量和跨越变量能否产生突变不确定，）耗能元件的通过变量和跨越变量能否产生突变不确定，需要考虑该元件在回路的相邻元件特性。需要考虑该元件在回路的相邻元件特性。5、一阶线性系统的求解、一阶线性系统的求解 （1）RC并联回路阶跃响应并联回路阶跃响应 考虑式：考虑式：图图3-7为输出为输出V的时间响应。的时间响应。图图3-7 RC并联电路阶跃响应并联电路阶跃响应 （2）RC并联回路正弦输入解并联回路正弦输入解 对对RC并联

15、回路，长时间加上一个稳定的正弦激励（并联回路，长时间加上一个稳定的正弦激励（i=ISint），），则系统会处于一种稳定的状态，这种稳定的状态就是系统变量以输则系统会处于一种稳定的状态，这种稳定的状态就是系统变量以输入量同样频率做周期性的变化。入量同样频率做周期性的变化。6、线性一阶系统的动态特性、线性一阶系统的动态特性（1）对阶跃输入的稳态响应）对阶跃输入的稳态响应 研究阶跃输入，一方面是由于许多物理现象类似于阶跃变化，研究阶跃输入，一方面是由于许多物理现象类似于阶跃变化，另一方面，任何输入函数都可以用一系列小的阶跃变化来表示（如另一方面，任何输入函数都可以用一系列小的阶跃变化来表示（如图图3

16、-8）。图）。图3-9表示单位阶跃函数，幅值为表示单位阶跃函数，幅值为1，函数用，函数用us(t)表示。表示。图图3-8 函数用一系列阶跃变化表示函数用一系列阶跃变化表示图图3-9 单位阶跃函数单位阶跃函数单位阶跃函数用下式描述：单位阶跃函数用下式描述：当输入阶跃电流信号时，电压当输入阶跃电流信号时，电压V=0，不会突变，通过电阻上的不会突变，通过电阻上的电流为零，所有电流通过电容电流为零，所有电流通过电容C。则在则在t=0+时，时，V的变化率为：的变化率为：这个结果与当总电流通过电容这个结果与当总电流通过电容C时的基本方程是一致的。当电时的基本方程是一致的。当电压压V增加，开始有电流通过电阻

17、增加，开始有电流通过电阻R，最后，输出电压达到稳定值，这最后，输出电压达到稳定值，这时，所有电流通过时，所有电流通过R，C上的电流为零。上的电流为零。从从t=0时的时的Vf/T到到t=时的时的零值，电压变化率均匀降低。我们将零值，电压变化率均匀降低。我们将参数参数T叫做系统的时间常数叫做系统的时间常数，表征系统对扰动响应的快慢。，表征系统对扰动响应的快慢。表表3-1 输出量在各个时刻的比值输出量在各个时刻的比值时间（时间（t）输出量（输出量（）00T0.6322T0.8653T0.9504T0.9825T0.993670.998 可见，尽管输出量达到稳态值需要无穷长的时间，但只需几个可见，尽管

18、输出量达到稳态值需要无穷长的时间，但只需几个时间常数的时间就十分接近稳态值。时间常数的时间就十分接近稳态值。（2）对于正弦输入的稳态响应）对于正弦输入的稳态响应 周期函数是一种十分常见的输入形式，正弦函数是最简单的周周期函数是一种十分常见的输入形式，正弦函数是最简单的周期函数，任何周期函数都可以用傅立叶级数展开，因此，系统对于期函数，任何周期函数都可以用傅立叶级数展开，因此，系统对于正弦输入的响应成为度量系统性能的重要依据。正弦输入的响应成为度量系统性能的重要依据。当系统加上一个正弦输入后，输出不会马上成正弦变化，当瞬当系统加上一个正弦输入后，输出不会马上成正弦变化，当瞬态响应在经历了四倍时间

19、常数的时间后逐渐减弱至零，然后系统呈态响应在经历了四倍时间常数的时间后逐渐减弱至零，然后系统呈稳态正弦变化。这是我们着重研究的稳态响应。稳态正弦变化。这是我们着重研究的稳态响应。（3）稳定性）稳定性 一个系统在不受到扰动时，能无限保持现有状态，叫做平衡。一个系统在不受到扰动时，能无限保持现有状态，叫做平衡。如果一个系统在受到扰动后，能够回到它的初始平衡状态，则这个如果一个系统在受到扰动后，能够回到它的初始平衡状态，则这个平衡状态便是稳定的。或者说，系统在有输入作用时，能够稳定在平衡状态便是稳定的。或者说，系统在有输入作用时，能够稳定在新的平衡位置，那么这个系统是稳定的。新的平衡位置，那么这个系

20、统是稳定的。复述复述RC并联回路方程式：并联回路方程式：解为：解为：电压电压V从零开始，呈指数规律上升至从零开始，呈指数规律上升至V=Vf。T为正值，当为正值，当V由初由初始偏离时，始偏离时，V总是趋向于达到平衡点总是趋向于达到平衡点Vf 。由此可得出结论，如果系统时间常数为正，系统是动态稳定的，由此可得出结论，如果系统时间常数为正，系统是动态稳定的，可以推广到机电系统的所有线性一阶微分方程中。可以推广到机电系统的所有线性一阶微分方程中。由于这些系统的物理常数如由于这些系统的物理常数如m、K、L、C、R等等都是正的，因此都是正的，因此由理想机械和电气元件组成的任何一阶系统的时间常数都是正的。由

21、理想机械和电气元件组成的任何一阶系统的时间常数都是正的。所有的理想元件有着共同的特性，即储能或耗能，这类元件叫做所有的理想元件有着共同的特性，即储能或耗能，这类元件叫做无无源元件源元件，仅含无源元件的网络则叫做，仅含无源元件的网络则叫做无源网络无源网络。由于一阶系统的时。由于一阶系统的时间常数总是正值，故永远是稳定的。间常数总是正值，故永远是稳定的。7 7、多个元件的动态系统、多个元件的动态系统 由于系统元件越多，微分方程将越复杂，可能出现多阶微分方由于系统元件越多，微分方程将越复杂，可能出现多阶微分方程。程。（1）一阶系统）一阶系统 如果系统中只有一个储能元件，则系统仍然是一阶的。如下图如果

22、系统中只有一个储能元件，则系统仍然是一阶的。如下图所示的系统，系统只有一个储能元件。列出方程：所示的系统，系统只有一个储能元件。列出方程：将将以上各式联立可得输出以上各式联立可得输出v20的输出方程为的输出方程为 当以当以F为系统输出量时，则有为系统输出量时，则有 该动态系统有两个时间常数该动态系统有两个时间常数 则上式可写为如下形式则上式可写为如下形式 （2）二阶系统）二阶系统 如果系统中出现两个储能元件，则方程就是二阶的，即最高阶如果系统中出现两个储能元件，则方程就是二阶的，即最高阶导数为二阶。导数为二阶。如下图所示的电路，输入为如下图所示的电路，输入为e，输出为输出为V，对该系统可列出方

23、程：对该系统可列出方程：将将以上各式联立可得以上各式联立可得 对上式微分可得系统方程对上式微分可得系统方程第三节第三节 连续系统的数学模型形式连续系统的数学模型形式 连续系统广泛存在于航空、航天、动力、控制、化工等领域中。连续系统广泛存在于航空、航天、动力、控制、化工等领域中。描述连续系统的连续时间数学模型主要有描述连续系统的连续时间数学模型主要有微分方程微分方程、传递函数传递函数、权权函数函数、状态空间表达式等形式状态空间表达式等形式。连续时间模型：连续时间模型：假定一个系统的输入量假定一个系统的输入量u(t)、输出量输出量y(t)及内部及内部状态变量状态变量x(t)都是时间都是时间 t 的

24、连续函数，常用如下四种模型形式。的连续函数，常用如下四种模型形式。一、一、微分方程微分方程 二、传递函数二、传递函数 三、权函数三、权函数 零初始条件下，系统对理论脉冲函数零初始条件下，系统对理论脉冲函数(t)输入的响应输入的响应g(t)称为权称为权函数，又叫脉冲过渡函数。函数，又叫脉冲过渡函数。应指出，以上三种模型仅表述系统的输入量与输出量之间的关应指出，以上三种模型仅表述系统的输入量与输出量之间的关系，并未涉及内部情况，故称为系统的系，并未涉及内部情况，故称为系统的外部模型外部模型。四、状态空间表达式四、状态空间表达式 由由状态方程和输出方程构成，其矩阵形式为状态方程和输出方程构成，其矩阵形式为