电力系统分析(2004-13).ppt

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1、现代电力系统分析现代电力系统分析（下册）（下册）任课教师：葛少云研究生学位课：第二节 暂态稳定分析的数值解法 一、全系统数学模型的组成实际系统的运行经验表明，在一般情况下失去暂态稳定的过程发展比较迅速，通常根据扰动后1秒左右(即第一个摇摆周期)或几秒钟(开始几个摇摆周期)内发电机转子间相对角度的变化情况，便可以判断系统是否稳定。因此，从50年代中期开始，大量研究工作主要针对如何计算扰动后这段短时间内系统的机电暂态过程，包括元件所采用的数学模型、网络求解和数值积分方法的研究。到70年代中期，这类数值解法已经相当成熟，并已开发出不少适合于工程应用的计算程序。由于所计算的暂态过程持续时间较短，因而对

2、于交流系统，通常只考虑发电机及其励磁系统、原动机及其调速系统以及负荷特性等对暂态稳定性的影响。这些元件在机电暂态过程中的相互关系如图所示。为简单起见，图中只画出具有代表性的一个发电机组和两个采用不同数学模型的负荷。在忽略发电机定子绕组和电网中电磁暂态过程影响的情况下，由第一章中所介绍的各元件数学模型和上页图3-2所示各元件间的相互关系，可列出描述全系统暂态过程的微分方程和代数方程组，一般形式为：px=f(x,y)(3-1)g(x,y)=0 (3-2)微分方程由下列各部分组成：(1)各发电机暂态和次暂态电势变化的微分方程 (2)各发电机的转子运动方程式。(3)各发电机励磁系统暂态过程的微分方程。

3、(由传递函数框图决定。)(4)各原动机及调速系统暂态过程的微分方程。(由传递函数框图决定。）(5)负荷中感应电动机的暂态过程方程式。(转子运动及暂态电势变化方程。)微分方程式的状态向量 x 中包括：(1)各发电机的(2)各励磁系统与传递函数框图相对应的微分方程中的有关状态变量；(3)各原动机的Pm、m m(4)调速系统与传递函数框图相对应的微分方程中的有关状态变量；(5)各感应电动机的s 和 。代数方程包括：(1)网络方程式。用以描述在同步旋转坐标参考轴x、y 下，各节点电压、电流之间的关系。(2)各发电机定子绕组电压平衡方程式。(3)对于用静态特性模拟的负荷，其功率与节点电压之间的关系式(1

4、-137)；对于综合负荷中的感应电动机，计算电磁转矩、机械转矩、等值阻抗或者定子电流的方程式。总之：微分方程式的组成与所考虑的元件种类和元件数学模型的精确程度有关。代数方程式有时仅为网络方程式，其它代数方程则通过直接计算或者在形成微分方程式时加以适当处理。在暂态稳定计算中，对于微分方程和代数方程需特别指出以下几点：（1）微分方程和代数方程的组成及其中的函数关系式在整个暂态过程中可能发生变化。在切除输电设备、发生短路故障、故障元件的清除、线路自动重合、串联电容的强行补偿以及制动电阻的投入或退出等情况下，由于网络的结构或参数发生变化，使网络方程发生相应的变化。当切除发电机、投入强励或灭磁以及进行汽

5、门快速控制时，有关发电机和调节系统的结构或参数将发生变化，从而使微分方程发生相应的变化。上述各种情况统称为“故障或操作”，其中某些情况在暂态过程中可能相继发生。由于在调节系统中存在各种限制环节，在计算过程中当有关变量超出下界或上界时，它们将被限制在其下界或上界处，直至变量重新回到其上、下界范围以内为止。上述各种因素将造成暂态过程计算中微分方程和代数方程的不连续性，在计算方法和程序中应加以考虑和处理。（2）由于忽略网络中的电磁暂态过程，各节点的电压、电流以及发电机和负荷的功率，在网络故障或操作瞬间将发生突变，但状态变量 x 则是连续变化的。为此，在发生故障或操作后，需要根据故障或操作瞬间 x 的

6、取值重新求解网络方程或整个代数方程式。（3）各发电机和负荷只通过网络相互影响，它们之间无直接联系。因此，微分方程式在各个发电机和各个负荷感应电动机之间没有直接耦合关系。二、微分方程和代数方程组的求解方法 应用数值解法计算暂态稳定时，在每一个积分步长内必须同时求解微分方程和代数方程，这就需要在一般单纯求解微分方程组的数值积分方法基础上加以扩展。为此有两种不同的方法：交替求解法和联立求解法。(一)交替求解法 当微分方程的数值解采用显式积分方法时，交替求解法的原理和过程比较简单。以显式欧拉法为例，对于时刻t 到t+t 的积分步长来说，在t 时刻的x(t)和y(t)是已知量，计算步骤为：(1)对微分方

7、程式(3-1)应用欧拉公式计算x(t+t)，即 x(t+t)=x(t)+t.f x(t),y(t)(2)应用x(t+t)求解代数方程式(3-2)，即求解 gx(t+t),y(t+t)=0 从而得出y(t+t)这样便求出了t+t 时刻的x(t+t)和y(t+t)，它们将用于下一个积分步长的计算。当采用隐式积分方法求解微分方程式时，交替求解法的计算过程要复杂得多。以梯形积分法为例，上述步长内的积分公式为：(3-5)显然式(3-5)中的x(t)和y(t)已知，但y(t+t)未知，它通过代数方程式 g(x,y)=0 依赖于x(t+t)，从而使上式不能单独求解。一种可行的方法是应用迭代法对上页公式和式

8、g(x,y)=0 进行交替迭代求解，其步骤为：(1)给定y(t+t)的初始估计值 y(0)(t+t)，应用式(3-5)求解 x(t+t)的估计值 x(0)(t+t)，即求解方程 (2)用所得出的 x(0)(t+t)求解代数方程式(3-2)，即求解 gx(0)(t+t),y(1)(t+t)=0 得出y(t+t)新的估计值 y(1)(t+t)。(3)以 y(1)(t+t)代替初始估计值 y(0)(t+t)，返回第(1)步，并反复迭代，直至收敛。这样便可得出 t+t 时刻的 x(t+t)和y(t+t)，它同时满足梯形积分式(3-5)和代数方程式(3-2)。交替求解法是目前暂态稳定分析所采用的主要方法

9、，其中微分方程的数值积分方法和代数方程的求解方法原则上可以分别进行选择。数值积分方法的选取主要应考虑方法的计算速度、精度、数值稳定性和对刚性微分方程组的适应性。已经研究和使用过的方法很多，包括显式欧拉法、改进欧拉法、显式龙格库塔法、隐式梯形积分法、预测校正法和隐式多步法等，它们各自有不同的特点。目前一般认为隐式梯形积分法对于计算速度、精度、数值稳定性和对刚性微分方程组的适应性等要求都较为满意，并且在发生不连续时无需重新起步。代数方程式的求解主要是解网络方程，所使用过的方法有直接解法、高斯塞德尔迭代法、阻抗矩阵迭代法、导纳矩阵迭代法和牛顿迭代法。由于矩阵稀疏三角分解技巧的发展，导纳矩阵迭代法目前

10、应用比较广泛。(二)联立求解法 联立求解法仅适用于各种隐式积分方法。在 t 到t+t 的积分步长内，将微分方程式(3-1)按照所采用的数值积分方法化成相应的差分方程 例如式 (3-5)，然后与 t+t 时刻的代数方程式，即 gx(t+t)，y(t+t)0 一起组成两组代数方程式，再对它们进行联立求解，从而同时得出 x(t+t)和 y(t+t)。联立求解的方法通常采用牛顿-拉夫逊法。由于联立求解法的计算工作量很大，目前只在少数几个程序中使用。三、暂态稳定数值解法的一般过程在各种应用数值解法计算暂态稳定的程序中，除了微分方程和代数方程所采用的求解方法有所不同以外，其它部分都基本相同。因此，下面介绍

11、计算过程的一般框图 数值解法的一般过程可以用图3-3所示的框图来表示，其中各框的作用和内容现简单说明如下。第三节 暂态稳定分析的直接法 一、研究概况 (一)直接法的简单概念根据暂态稳定性的定义，在遭受扰动后如果系统是稳定的，则它最终将过渡到一个稳态运行情况，那时各发电机的转子角度、转速和其它所有状态变量将重新保持不变，即到达一个平衡状态。这一平衡状态一定是静态稳定的，否则这种稳态运行情况将不可能存在。对于故障后稳态运行情况下各个状态变量的取值，可以用状态空间中的点xs 来表示，并称为稳定平衡点(SEP，Stable Equilibrium Point)。然而，系统能否稳定决定于故障切除时间(如

12、故障切除后还有其它故障或操作，则为最后一次操作的时间)tc，即与切除瞬间系统状态变量的取值有关，对应地用状态空间的点 x c 表示。临界切除时间tc r 所对应的点表示为x c r。系统是否稳定将决定于状态空间内点xs、xc和xcr三者之间的相对位置。如果能知道在怎样的相对位置情况下系统是稳定的，那么只需要计算出xs、xcr和xc，然后便可以直接进行稳定性判断，而无需再对tc时刻以后系统的暂态过程进行计算。以上便是应用直接法分析暂态稳定的基本思想。寻求点xs、xc和xcr三者相对位置与稳定性之间的关系，实质上属于李雅普诺夫直接法(简称直接法)所要解决的问题。点xc相对于点xs的位置(用状态向量

13、表示时便是xc-xs)称为对稳定平衡点xs的扰动。注意，这里所谓的扰动不要与暂态稳定性定义中所指的扰动相混淆。直接法的基本方法是:在状态空间中找出一个包围稳定平衡点xs的区域RV，使得凡是属于这一区域的任何扰动，系统以后的运动最终都趋于稳定平衡点。这一区域称为关于稳定平衡点的渐近稳定域，简称稳定域。为了求得稳定域，需要构造一个适当的函数V(x-xs)，它满足一定的性质和要求，这种函数称为李雅普诺夫函数，或称V函数。通过 V函数和系统的状态方程，就可以决定稳定域。稳定域的最简单形式是：RV=(x|V(x-xs)Vcr 其中Vcr称为V函数的临界值。V(x-xs)(=Vcr)为稳定域的边界，它是状

14、态空间中包围稳定平衡点的一个超曲面。对于状态空间为二维的情况，稳定平衡点xs、稳定域和稳定域边界之间的关系如图3-7 所示。这样，求得稳定域的关键在于如何构造V函数。对于暂态稳定分析来说，只要构造出适当的V函数，并求出相应的稳定域RV，则当求得tc时刻的状态xc后，如果它在稳定域内，便可以断定系统是暂态稳定的。然而，用直接法判断稳定性所得出的结果通常是保守的，其主要原因是直接法只给出了稳定的充分条件而不是充要条件。实际上，当扰动在由V函数所决定的稳定域RV 之内时，可以肯定系统一定是稳定的，但是如果扰动在域RV的边界之外，并不能说系统是不稳定的。关于这一点可以用图3-7解释如下。假定图中的RS

15、 是真正的稳定区域，很明显，域 RV 应该包含在域RS 之内，而且除非V函数能构造得使RV 正好与RS 重合，否则属于域RS 而不属于RV 的所有扰动(例如图中的A点)将被误判为不稳定。由于V 函数需要满足一定的条件和要求，因此要使RV 与RS重合通常是不可能的，或者至少是V函数的构造非常复杂。选择不同的V函数将得出不同的稳定域RV，因此一般仅能致力于如何构造V函数，使域RV 尽量接近RS。这种保守性是直接法本身所固有的。(二)应用直接法分析暂态稳定的研究历史 应用直接法分析多机电力系统暂态稳定性的研究工作开始于60年代中期，系统所采用的数学模型为经典模型，即发电机用Xd后的暂态电势E保持恒定

16、来进行模拟，并假定原动机功率不变，负荷为恒定阻抗。在一段时间内，研究的重点在于如何构造V函数和如何决定临界值Vcr 1968年Moore和Anderson针对一类非线性控制系统提出了构造其李雅普诺夫函数的一般方法55。此后，借助于这种方法，提出了一些用于暂态稳定分析的V函数及其一般形式。但同时也发现，这类函数只有在忽略发电机内电势(E)节点间转移电导的情况下，才是严格的李雅普诺夫函数。然而，由于负荷等值电导的存在，发电机内电势节点间的转移电导通常不容忽略，使得在构造V函数的方法上碰到障碍。关于Vcr的决定，一种在理论上严格的方法是，首先求出对应于故障切除后系统的全部不稳定平衡点xu(UEP，U

17、nstable Equilibrium Point)，然后计算出V函数在各个UEP上的数值V(xu-xs)，取其中的最小值作为Vcr。对应于这一最小值的UEP称为最近不稳定平衡点。所谓不稳定平衡点是指对应于故障切除后的一种稳态运行情况(平衡点)，但它是静态不稳定的。由于在多机系统中，UEP的个数可能多达2N-1-1个(N为发电机节点数)，要计算出如此多的UEP几乎是不可能的。虽然可以通过适当筛选并采用近似算法，但计算工作量仍然很大。而且用最近不稳定平衡点处的Vcr值来决定稳定域将使结果更为保守。这是采用直接法的另一个障碍。由于上述两方面的问题一时难以解决，于是便转向实用方法的研究，而不追求理论

18、上的严密性。实际上，在单机无穷大系统和两机系统中，可以用系统能量的概念构造出严格的V函数，而且用Vcr判断稳定性完全不存在保守性问题。因此，后来所提出的一些实用方法，包括“相关不稳定平衡点法”、“势能界面法”、“单机能量函数法”等，就其本质来说，都是将上述简单系统中的原理和方法推广应用于复杂电力系统。它们大都取以系统惯性中心为参考时的暂态能量函数代替李雅普诺夫函数，并将多机系统直接或间接地处理为等值两机系统或单机无穷大系统。由于这些方法不再是严格的李雅普诺夫直接法，因此所得出的结果既可能偏于保守，也可能偏于乐观。特别应该注意的是，由于处理成等值两机系统，对于使系统呈现两组机群之间发生相互摇摆的

19、情况来说，所得出的结果可能比较准确。然而，实际系统中的摇摆情况往往可能呈现出几个机群之间相互摇摆的多摇摆模式，在这些情况下将可能出现较大的误差。这类方法一般只限于判断第一摇摆周期的稳定性，这与严格的直接法完全不同。除了上面提到的一些方法以外，在数学模型的改进和计算功能的扩展等方面还进行过不少的研究工作。二、简单电力系统暂态稳定分析的直接法 (一)单机无穷大系统 对于图3-8(a)所示的单机无穷大系统，考虑在t=0时线路发生某种短路故障，t=tc 时切除故障线路的情况下系统的暂态稳定性。在分析中，发电机采用经典模型，并为简单起见，忽略各元件的电阻。系统在故障前稳态、故障期间和故障切除后的功率特性

20、曲线分别如图3-8(b)中的曲线、和所示。其中：d d0、d d s、d d u、d d c 分别对应于故障前稳态、稳定 平 衡 点、不稳定平衡点和故障切除瞬间发电机转子相对于无穷大母线 的 角 度。1故障切除后转子运动方程的相图 首先用相平面法分析故障切除后转子运动方程的全部解，并把每一个解表示为相平面上的一条轨迹。故障切除后发电机的电磁功率可以表示为：Pe=Pmsind d (3-105)在忽略转子机械阻尼并近似认为功率与转矩的标么值相等的情况下，将上式代入式(1-102)，可得故障切除后的转子运动方程为:（3-106）（3-107）注意，在上列两式和本节以后的分析中，时间，和惯性时间常数

21、都用标么值，w w 表示转子与同步旋转参考轴之间的相对转速。由 上 式 可以导出：（3-108）然后便可以得出形如图3-9所示的相图。实际上，式(3-108)给出了相图中任一轨迹上任一点(d,wd,w)处的斜率，轨迹的走向由式(3-106)决定。相图中的奇点，即稳定平衡点(d d s,0 0)和不稳定平衡点(d d u,0 0)，由式(3-108)令分子和分母等于零而得，并由图3-8(b)可见，d d s与d d u存在如下关系：d d u p-d p-d s (3-109)其实，相图中的奇点有无穷多个，例如(2p p+d d s,0)也是SEP，(-p-d p-d s,0)也是UEP等等，它

22、们在图中并未标出。应用式(3-106)，将式(3-107)两端分别与w w和dd d /dt相乘，然后进行积分，得 再经运算和整理后，可以得出通过任一给定点 (d d a,w w a)的轨迹方程为 （3-110）由式(3110)可以看出，所有轨迹都对称于d d 轴。2 应用相图判断稳定性 应用故障切除后的转子运动方程的相图，可以直接判断系统的暂态稳定性。按故障切除瞬间点(d d c,w w c)在相图上位置的不同，可分为下列3种情况：(1)点(d d c,w w c)位于图3-9中某一封闭轨迹之上，例如图中轨迹3上的A点。在此情况下，故障切除后，点(d d ,w w )将围绕稳定平衡点(d d

23、 s,0 0)沿轨迹3顺时针、周而复始(A-a1-a2-a3-A)地变化，这说明d d和w w都分别随时间作不衰减的周期性振荡。注意，图3-9中的各个封闭轨迹看上去象是稳定的极限环，这是由于忽略阻尼而造成的。计及阻尼影响后，d d和w w的振荡实际上将随时间不断衰减，w w最终衰减为零而d d衰减为d d s，即最终到达稳定平衡点(d d s,0)，从而说明对于这类点(d d c,w w c)，系统是稳定的。当由A点第一次到达a1点时，由于在a1点处的w w=0而d d d d u，因此不难看出，它相当于应用等面积定则判断稳定时tctcr的情况，(3)点(d d c,w w c)正好位于图3-9中通过不稳定平衡点(d d u，0)的轨迹4上，例如图中的C点。显然，这种情况是稳定与不稳定之间的临界情况，它对应于tc=tcr。由轨迹4中的 C-c1-c2-C所围成的闭合曲线便是稳定域的边界，其内部的全体点所形成的区域为稳定域。