第七章二次型精选PPT.ppt

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1、第七章 二次型第1页，本讲稿共23页1 1 二次型与合同变换二次型与合同变换 一一.二次型的定义和矩阵表示二次型的定义和矩阵表示 定义定义7.1 7.1 n个变量x1,x2,xn的二次齐次函数 (x1,x2,xn)=a11x12+a22x22+annxn2+2a12x1x2+2a13x1x3+2an-1,nxn-1xn.称为一个n元二次型,简称二次型.当系数aij均为实数时称为n元实二次型.以下仅讨论实二次型.把2aijxixj写成aijxixj+ajixjxi,其中aij=aji,则有(x1,x2,xn)=a11x12+a12x1x2+a1nx1xn+a21x2x1+a22x22+a2nx2

2、xn+an1xnx1+an2xnx2+annxn2第2页，本讲稿共23页或写成矩阵乘法形式若记则有第3页，本讲稿共23页 定义定义7.27.2 =x=xT TAxAx称为n元二次型的矩阵表示式,实对称矩阵A A称为二次型二次型的矩阵的矩阵,称为实对称矩阵实对称矩阵A A的二次型的二次型.矩阵A A的秩也称为二次型二次型的秩的秩.例如,二次型=2x2+3y2-z2+4xy-6xz 的矩阵为于是第4页，本讲稿共23页反之,实对称矩阵 定义定义7.3 仅含平方项的二次型的二次型为=x12+2x22 x32+4x1x2+2x1x32x2x3 f=d1x12+d2x22+dnxn2称为标准形.可见,标准

3、形的矩阵为对角矩阵.若记x x=(x1,x2,xn)T,y y=(y1,y2,yn)T,C C=(cij)nn,则称:x x=CyCy,即第5页，本讲稿共23页为从x1,x2,xn到y1,y2,yn的线性变换.其中cij为线性变换的系数,C称为线性变换的系数矩阵.当C C为可逆矩阵时,x x=CyCy称为可逆线性变换,这时y=Cy=C-1-1x x为x x=CyCy的逆变换,当C C为正交矩阵时,x=Cyx=Cy称为正交变换.对n元二次型=x=xT TAxAx作变换x x=CyCy,则有 =x xT TAx=Ax=(CyCy)T TA A(CyCy)=y yT(C CTACAC)y=yy=yT

4、By y即,成为y1,y2,yn的n元二次型,其矩阵为B=C CTAC.AC.第6页，本讲稿共23页 定理定理7.17.1 线性变换下,二次型仍变为二次型.可逆线性变换下,二次型的秩不变.二二.方阵的合同变换方阵的合同变换 经可逆线性变换x=Cyx=Cy,f的矩阵A A变为B B=C CTACAC.定义定义7.47.4 设A A,B B为同阶方阵,如果存在可逆矩阵C,使得B B=C CTACAC,则称A A与B B是合同的,记为A AB.B.对方阵A A的运算C CTACAC,称为对A A的合同变换,并称C为把A A变为B B的合同变换矩阵.矩阵的合同关系具有性质:()反身性:A AA A;(

5、)对称性:若A AB B,则B BA A;()传递性:若A AB B,B BC C,则A AC.C.实际上,R(B B)=R(C CT TACAC)R(A A),R(A A)=R(C CT T)-1-1BCBC-1-1)R(B B),所以R(A A)=R(B B).第7页，本讲稿共23页 由于矩阵C C可逆,记C=P1P2Ps(P1,P2,Ps为初等方阵),则有:B B=PsTPs-1TP1TA AP1P2Ps.可见,若A A与B B是合同的,则A A可经过一系列初等行变换和完全相同的初等列变换变成矩阵B B.所以,若A A与B B合同,则A A与B B等价,而且它们的秩相等.但是等价矩阵不一

6、定是合同的.而且,合同矩阵不一定是相似的;相似矩阵也不一定是合同的.但正交相似的矩阵一定是合同的.进一步相似的实对称矩阵一定是合同的.第8页，本讲稿共23页2 2 用正交变换化二次型为标准形用正交变换化二次型为标准形 若使n元二次型化为标准形:只要可逆线性变换x=Pyx=Py,满足=P P-1APAP.第9页，本讲稿共23页 由于矩阵A是实对称矩阵,所以有:定理定理7.2 7.2 任意二次型=x xT TAxAx都可经正交变换x=Pyx=Py化为标准形=y yT T y y,其中 的对角线元素恰是A的特征值.可见,用正交变换化二次型为标准形与实对称矩阵对角化的步骤几乎是一致的.例例1 1 用正

7、交变换化二次型 (x1,x2,x3)=3x12+3x22+2x1x2+4x1x34x2x3为标准形,并给出所用的正交变换.解解 二次型的矩阵为第10页，本讲稿共23页 A A的特征多项式为 =(-4)(2-2-8)=(-4)2(+2)所以,矩阵A A的特征值为1=2=4,3=-2.由于于是,方程组(4E-A A)x=0 x=0的一个基础解系可取为:第11页，本讲稿共23页又由于所以得属于3=-2的单位特征向量故可取正交矩阵作正交变换:x=Qy x=Qy,即第12页，本讲稿共23页二次型(x1,x2,x3)=3x12+3x22+2x1x2+4x1x34x2x3变为若取正交矩阵Q=(1,3,2),

8、作正交变换x=Qyx=Qy,则有 (x1,x2,x3)=4y12+4y222y32 (x1,x2,x3)=4y12 2y22+4y32若取正交矩阵Q=(3,1,2),作正交变换x=Qyx=Qy,则有 (x1,x2,x3)=2y12+4y22+4y32第13页，本讲稿共23页 可见,化二次型为标准形所用的正交变换以及标准形都不是唯一的.但是,正交变换对应的标准形中,各项系数恰是矩阵A的所有特征值,因此除顺序外是唯一的.第14页，本讲稿共23页3 3 正定二次型正定二次型 一一.惯性定理与正定二次型惯性定理与正定二次型 虽然将二次型化为标准形可采用不同的变换,所化成的标准形也不唯一.但是,由于R(

9、A)=R(),所以标准形中非零项数是唯一的,它等于二次型的秩,也等于二次型矩阵非零特征值的个数。同时,标准形中系数为正数的项的个数也是相同的。=1y12+2y22+ryr2 (i0)则1,2,r中正数个数与1,2,r中正数个数相同.定理定理7.37.3(惯性定理)设实二次型=x xT TAxAx,其秩为r,在不同的可逆线性变换x=Cyx=Cy和x=Dzx=Dz下化为标准形 =1z12+2z22+rzr2 (i0)第15页，本讲稿共23页 定义定义7.57.5 的标准形中的正系数的个数称为的正惯性指数,负系数的个数称为的负惯性指数.定义定义7.67.6 如果x x0 0,都有=x xT TAxA

10、x0(0(A0).二二.正定二次型正定二次型(正定矩阵正定矩阵)的判定的判定 定理定理7.4 7.4 n元实二次型=x xT TAxAx为正定(负定)二次型的充分必要条件是的正(负)惯性指数等于n.推论推论 n阶实对称矩阵A正定(负定)的充分必要条件是A的n个特征值都是正数(负数).第16页，本讲稿共23页称为矩阵A的第i个顺序主子式.定义定义7.7 7.7 设A A=(aij)nn,则行列式 显然,D1=a11,Dn=detA.定理定理7.57.5 n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的所有顺序主子式都大于0.A负定的充分必要条件是A的所有奇数阶顺序主子式都小于0,偶数阶顺序主子式都大于0

11、.第17页，本讲稿共23页 解解 (1)用特征值法 例例2 2 判断下列二次型的正定性.(1)(x1,x2,x3)=2x12+3x22+3x32+4x2x3 (2)(x1,x2,x3)=-5x12-6x22-4x32+4x1x2+4x1x3 二次型(x1,x2,x3)的矩阵是:矩阵A的特征多项式为:第18页，本讲稿共23页=(-2)(-3)2-4=(-1)(-2)(-5)所以,矩阵A的特征值是 1=1,2=2,3=5.因此,二次型(x1,x2,x3)是正定二次型.(2)用顺序主子式法:二次型(x1,x2,x3)的矩阵是:则矩阵A的各阶顺序主子式为:第19页，本讲稿共23页 D1=50,所以,二

12、次型(x1,x2,x3)是负定二次型.=2(848)=800,D2=2-t20,D3=3(2-t2)+2t(-2t)=6-7t20 得t21.解解 由于A是正定矩阵,所以A的特征值i(i1,2,n)都大于0.|A+E|=(i+1)1 例例5 5 设实对称矩阵A满足A25A+6E=0 0,证明矩阵A是正定的.解解 设是矩阵A的任一特征值,是属于的特征向量,则有,A=,于是有 (A2-5A+6E)=A2-5A+6=2-5+6=0=0由于0 0,所以 25+6=0,即=2或=3所以,矩阵A的特征值都大于0,即A是正定矩阵.第22页，本讲稿共23页习题习题A A 第第134134页页4、5、6、7、8、9作作 业业1、2、(1),(2)第23页，本讲稿共23页