第三章离散傅立叶变换精选PPT.ppt
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1、第三章离散傅立叶变换第1页,本讲稿共48页离散傅立叶变换的几种可能形式离散傅立叶变换的几种可能形式傅立叶变换就是以时间为自变量的“信号”与以频率为自变量的“频谱”函数之间的一种变换关系,当自变量“时间”和“频率“取连续值或离散值时,就形成不同的形式的傅立叶变换对。第2页,本讲稿共48页非周期的连续时间、连续频率非周期的连续时间、连续频率傅立叶变换傅立叶变换非周期连续时间信号x(t)和它的频谱密度函数X(j)构成的傅立叶变换对为正变换反变换以连续时间矩形脉冲为例:x(t)t(a)非周期连续时间函数x(t)X(j)(b)非周期连续频谱X(j)第3页,本讲稿共48页周期的连续时间、离散频率周期的连续
2、时间、离散频率傅立叶级数傅立叶级数周期为T0的连续时间信号x(t)的傅立叶级数展开的系数为X(jk0),构成的傅立叶变换对为:正变换反变换X(jk0)是以角频率0为间隔的离散函数,形成频域的离散频谱,0与时间信号的周期之间的关系为。傅立叶级数展开将连续时间周期函数分解为无穷多个角频率为0整数倍的谐波,k为各次谐波序号。T0-T0 x(t)(a)周期连续时间函数x(t)0X(jk0)(b)非周期离散时间函数X(jk0)图3.2周期连续时间函数及其傅立叶变换第4页,本讲稿共48页非周期的离散时间、连续频率非周期的离散时间、连续频率序列的傅立叶变换序列的傅立叶变换非周期离散时间信号的傅立叶变换就是序
3、列的傅立叶变换,其变换对为正变换反变换式中是数字频率。如果序列x(n)是模拟信号x(t)经过抽样得到,抽样时间间隔为Ts,抽样频率为fS,抽样角频率为S=2/Ts,由于数字频率与模拟角频率之间的关系为=T,因此抽样数字频率S=STS,则上面的变换对也可写成:正变换反变换第5页,本讲稿共48页仍以连续时间矩形脉冲为例:结果表明,时域的离散造成频域的周期延拓,而时域的非周期性对应与频域的连续性。tTSx(nT)(a)离散时间序列X(ejT)S-S0(b)序列的频谱图 离散时间序列及其傅立叶变换第6页,本讲稿共48页离散时间、离散频率离散时间、离散频率离散傅立叶变换离散傅立叶变换假如序列x(n)是模
4、拟信号x(t)经过抽样得到,抽样时间间隔为Ts,则频率函数的周期为S=2/Ts;如果频率函数也是离散的,其抽样间隔为0,则时间函数的周期为=2/T。当时间函数序列一个周期内的抽样点数为N时,有 上式表明在频域中频谱函数的一个周期内的抽样点数也为N,即离散傅立叶变换的时间序列和频率序列的周期都是N,可以得到表示于一个周期内的常用的离散傅立叶变换对为正变换反变换第7页,本讲稿共48页(a)周期离散时间序列tx(n)TST02T0-T0-2T000S-SX(k)(b)周期离散时间序列的频谱图周期离散时间序列及其傅立叶变换第8页,本讲稿共48页周期序列的离散傅立叶级(周期序列的离散傅立叶级(DFSDF
5、S)周期序列周期序列一个周期为N的周期序列,对于所有n满足式中N为正整数。定义n=0到N-1的周期区间为的主值区间主值区间,而主值区间内的N个样本值组成的有限长序列称为的主值序列主值序列,即这一过程称为取主值序列。第9页,本讲稿共48页对于一个有限长序列如将其以N为周期进行周期性延拓,则可得由于周期序列不是绝对可和的,无论z取任何值,其z变换都是不收敛的,即因此周期序列不能用z变换法或傅立叶变换来进行讨论。第10页,本讲稿共48页离散傅立叶级数离散傅立叶级数令,则DFS变换对可写成正变换 反变换 离散傅立叶级数表明是以N为周期的周期序列,其基波成分为,k次谐波成分为,为DFS的k次谐波分量的复
6、系数。由于的周期性,当已知0N-1次谐波成分后,根据周期性就可以确定其余的谐波分量,因此,无论时域或频域中都只有N个序列值是独立的。第11页,本讲稿共48页离散傅立叶级数的性质离散傅立叶级数的性质假定和是周期皆为N的两个离散周期序列,它们的DFS为、线性、线性式中为任意常数,可见由两个离散周期序列和线性组合成一个新的周期序列的DFS也是周期为N的离散周期序列。第12页,本讲稿共48页、移位特性、移位特性时域移位 频域移位 如果N,那么证明:第13页,本讲稿共48页、时域卷积特性、时域卷积特性两个周期都为N的周期序列和,它们卷积的结果也是周期为N的周期序列,即 m的取值由0(N-1),因此称为周
7、期卷积。05n000000555555mmmmmm111234图两个周期序列(N=6)的周期卷积过程第14页,本讲稿共48页周期卷积与DFS的关系如下:设 若 则有 这就是时域卷积定理。这就是时域卷积定理。第15页,本讲稿共48页证明:第16页,本讲稿共48页、频域卷积特性、频域卷积特性 对于时域周期序列的乘积,同样对应于频域的周期卷积。若 则第17页,本讲稿共48页离散傅立叶变换离散傅立叶变换由于长度为N的有限长序列可以看作是周期是N的周期序列的一个周期,因此利用DFS计算周期序列的一个周期,就可以得到有限长序列的离散傅立叶变换设x(n)是长度为N的有限长序列,可以把它看作是周期为N的周期序
8、列的一个主周期,而将看作是x(n)以N为周期进行周期延拓得到,即同理第18页,本讲稿共48页离散傅立叶变换的正变换反变换第19页,本讲稿共48页离散傅立叶变换的性质离散傅立叶变换的性质假定和都是N点的有限长序列,有、线性、线性 若两个有限长序列和的线性组合为,则有 式中为任意常数。说明:(1)若和的长度均为N,则的长度为N;(2)若和的长度不等,的长度为N1,的长度为N2,则的长度为N=maxN1,N2,离散傅立叶变换的长度必须按N来计算。第20页,本讲稿共48页、序列的圆周移位、序列的圆周移位有限长序列x(n)的圆周移位是以它的长度N为周期,将其延拓成周期序列 ,并将周期序列进行移位,然后取
9、主值区间(n=0到N-1)上的序列值。因而一个有限长序列的右圆周移位定义为第21页,本讲稿共48页x(n)x(n)Nx(n-2)Nx(n-2)NRN(n)nnnn0000N-1N-1N-1N-1图3.6 序列的周期移位(N=6)第22页,本讲稿共48页()时域移位定理证明:由周期序列的时域移位性质由于有限长序列的DFT就是周期序列DFS在频域中的主值序列,有()频域移位定理若则上式称为频率移位定理频率移位定理,也称为调制定理调制定理,此定理说明时域序列的调制等效于频域的圆周移位。第23页,本讲稿共48页、共轭对称性、共轭对称性任一序列都可以表示成共轭对称分量和共轭反对称分量之和。周期序列的共轭
10、对称分量和共轭反对称分量都是周期性的,周期仍为N,取出它们的主值序列就得到了有限长序列的相应的分量,分别称为圆周共轭对称分量和圆周共轭反对称分量,公式推导如下:设有限长序列x(n)的长度为N,以N为周期的周期延拓序列为第24页,本讲稿共48页则有同样可以证明则有限长序列的圆周共轭对称分量和圆周共轭反对称分量定义为由于满足,有第25页,本讲稿共48页DFTDFT的一系列的对称性质:的一系列的对称性质:()式中x*(n)是x(n)的共轭复序列。()()复序列实部的DFT等于序列DFT的圆周共轭对称部分,即()复序列虚部乘j的DFT等于序列DFT的圆周共轭反对称部分,即()若x(n)是实序列,则X(
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