实验设计与数据处理(第三部分).ppt

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1、第四章 回归分析l l变变变变量量量量间间间间相相相相互互互互作作作作用用用用、相相相相互互互互影影影影响响响响，但但但但又又又又难难难难以以以以用用用用定定定定量量量量数数数数学学学学方方方方程程程程表表表表达达达达的的的的关关关关系系系系称称称称为为为为相关关系。相关关系。相关关系。相关关系。l l回归分析回归分析回归分析回归分析是研究和处理变量之间相关关系的一个数理统计方法。是研究和处理变量之间相关关系的一个数理统计方法。是研究和处理变量之间相关关系的一个数理统计方法。是研究和处理变量之间相关关系的一个数理统计方法。回归分析能解决的问题：回归分析能解决的问题：回归分析能解决的问题：回归分

2、析能解决的问题：（1 1）可可可可提提提提供供供供变变变变量量量量间间间间相相相相关关关关关关关关系系系系的的的的数数数数学学学学表表表表达达达达式式式式；并并并并利利利利用用用用概概概概率率率率统统统统计计计计基基基基础础础础知知知知识识识识，来判断所建立的经验公式的有效性；来判断所建立的经验公式的有效性；来判断所建立的经验公式的有效性；来判断所建立的经验公式的有效性；（2 2）可可可可利利利利用用用用所所所所得得得得的的的的经经经经验验验验公公公公式式式式，根根根根据据据据一一一一个个个个或或或或几几几几个个个个变变变变量量量量的的的的值值值值，预预预预测测测测或或或或控控控控制制制制另另

3、另另一个变量的取值；并给出这种预测或控制可达到什么样的精确程度。一个变量的取值；并给出这种预测或控制可达到什么样的精确程度。一个变量的取值；并给出这种预测或控制可达到什么样的精确程度。一个变量的取值；并给出这种预测或控制可达到什么样的精确程度。（3 3）进进进进行行行行因因因因素素素素分分分分析析析析，例例例例如如如如在在在在对对对对于于于于共共共共同同同同影影影影响响响响一一一一个个个个变变变变量量量量的的的的许许许许多多多多因因因因素素素素之之之之间间间间，找找找找出哪些是重要因素，哪些是次要因素，这些因素之间又有什么关系。出哪些是重要因素，哪些是次要因素，这些因素之间又有什么关系。出哪些

4、是重要因素，哪些是次要因素，这些因素之间又有什么关系。出哪些是重要因素，哪些是次要因素，这些因素之间又有什么关系。4.1 4.1 4.1 4.1 一元线性回归分析一元线性回归分析一元线性回归分析一元线性回归分析回归分析的分类：回归分析的分类：回归分析的分类：回归分析的分类：处理多个变量之间的相关关系称为处理多个变量之间的相关关系称为处理多个变量之间的相关关系称为处理多个变量之间的相关关系称为多元回归分析多元回归分析多元回归分析多元回归分析。处理两个变量之间的关系称为处理两个变量之间的关系称为处理两个变量之间的关系称为处理两个变量之间的关系称为一元回归分析一元回归分析一元回归分析一元回归分析。若

5、两个变量间成线性关系，则称为若两个变量间成线性关系，则称为若两个变量间成线性关系，则称为若两个变量间成线性关系，则称为一元线性回归一元线性回归一元线性回归一元线性回归。如果变量之间不具有线性关系，则称之为如果变量之间不具有线性关系，则称之为如果变量之间不具有线性关系，则称之为如果变量之间不具有线性关系，则称之为非线性回归非线性回归非线性回归非线性回归。4.1.1 4.1.1 4.1.1 4.1.1 回归系数的最小二乘估计回归系数的最小二乘估计回归系数的最小二乘估计回归系数的最小二乘估计这这种种与与所所有有观观测测点点最最为为接接近近的的直直线线称称为回归直线。为回归直线。回回归归直直线线的的方

6、方程程=a+bx称称为为回回归归方方程程，其中其中a为常数项，为常数项，b为回归系数。为回归系数。l对对于于每每个个观观测测值值xi，由由回回归归方方程程可可确确定定一一个个回回归归值值i=a+bxi。这这个个回回归归值值i与与实实际际观观测测值值yi的的偏偏差差 yi i=yi a bxi刻刻画画了了yi与与i的偏离程度。的偏离程度。l所所有有偏偏差差的的平平方方和和 就就定定量量地地描描述述了了全全部部观观测测点点（xi，yi）（i=1，2，n）与与直直线线=a+bx 沿沿y轴轴的的方方向向的的偏偏离离程程度度。这这个个量量随随a，b而而变变化化，是是a，b的二元函数，记为的二元函数，记为

7、显然，偏差平方和愈小的直线，愈能较好地反应显然，偏差平方和愈小的直线，愈能较好地反应x与与y之间之间的关系。的关系。l l“最小二乘法最小二乘法最小二乘法最小二乘法”就是使就是使就是使就是使Q Q（a a，b b）达到最小的一种确定）达到最小的一种确定）达到最小的一种确定）达到最小的一种确定a a，b b的方法。的方法。的方法。的方法。联合求解得：联合求解得：联合求解得：联合求解得：这里：这里：这里：这里：若记若记若记若记则有则有则有则有l l若把若把若把若把 代入代入代入代入 a+bxa+bx，可得回，可得回，可得回，可得回归归方程的另方程的另方程的另方程的另一种形式一种形式一种形式一种形式

8、由此可见，回归直线是通过散点图几何重心由此可见，回归直线是通过散点图几何重心由此可见，回归直线是通过散点图几何重心由此可见，回归直线是通过散点图几何重心 点的直线，点的直线，点的直线，点的直线，明确这一点，对回归直线的作图很有帮助。明确这一点，对回归直线的作图很有帮助。明确这一点，对回归直线的作图很有帮助。明确这一点，对回归直线的作图很有帮助。4.1.2 4.1.2 4.1.2 4.1.2 一元线性回归方程的检验一元线性回归方程的检验一元线性回归方程的检验一元线性回归方程的检验回归方程的检验方法有两种，即回归方程的检验方法有两种，即回归方程的检验方法有两种，即回归方程的检验方法有两种，即相关系

9、数法相关系数法相关系数法相关系数法和和和和方差分析法方差分析法方差分析法方差分析法。（1 1）相关系数法）相关系数法）相关系数法）相关系数法相相相相关关关关系系系系数数数数r r定定定定量量量量地地地地描描描描述述述述了了了了两两两两个个个个变变变变量量量量x x和和和和y y之之之之间间间间的的的的线线线线性性性性相相相相关关关关程程程程度度度度。可可可可以以以以验验验验证证证证-1-1-1-1 r r 1 1。l l相关系数的几何意义相关系数的几何意义相关系数的几何意义相关系数的几何意义 r r 越接近于越接近于1，x和和y之间的线性关系越好。当之间的线性关系越好。当 r r 1时，图上的

10、时，图上的点全部落在一条直线上。若点全部落在一条直线上。若r r=0，则可认为，则可认为x和和y之间没有线性关系。之间没有线性关系。这时有两种情况，或者两者没有关系，图上的点杂乱无章；或者两者这时有两种情况，或者两者没有关系，图上的点杂乱无章；或者两者有非线性关系，图上的点散布在某一曲线附近。有非线性关系，图上的点散布在某一曲线附近。r r 需要大到什么程度才能需要大到什么程度才能认为认为两个两个变变量量x x和和y y之之间间有有线线性相性相关关系，即配制的回关关系，即配制的回归归直直线线有意有意义义呢？呢？l l对给定的显著水平对给定的显著水平对给定的显著水平对给定的显著水平，按自由度，按

11、自由度，按自由度，按自由度 f f=n n-2-2的值，在相关系数的值，在相关系数的值，在相关系数的值，在相关系数临界值表中查出相应的临界值临界值表中查出相应的临界值临界值表中查出相应的临界值临界值表中查出相应的临界值r r(,f f)；l l若若若若 r r r r(,f f)，则认为回归直线在，则认为回归直线在，则认为回归直线在，则认为回归直线在水平下显著，即我们水平下显著，即我们水平下显著，即我们水平下显著，即我们有有有有1 1 的把握认为变量的把握认为变量的把握认为变量的把握认为变量x x与与与与y y之间有线性相关关系，这时所之间有线性相关关系，这时所之间有线性相关关系，这时所之间有

12、线性相关关系，这时所配的回归直线有意义。配的回归直线有意义。配的回归直线有意义。配的回归直线有意义。l l若若若若 r r r r(,f f)，则认为回归直线或回归方程在，则认为回归直线或回归方程在，则认为回归直线或回归方程在，则认为回归直线或回归方程在水平下是水平下是水平下是水平下是不显著的，即在显著水平不显著的，即在显著水平不显著的，即在显著水平不显著的，即在显著水平下，我们不能认为变量下，我们不能认为变量下，我们不能认为变量下，我们不能认为变量x x与与与与y y之之之之间存在线性相关关系，这时所配的回归直线没有意义。间存在线性相关关系，这时所配的回归直线没有意义。间存在线性相关关系，这

13、时所配的回归直线没有意义。间存在线性相关关系，这时所配的回归直线没有意义。n-2123456789100.05 0.010.9970.9500.8780.8110.7540.7070.6660.6320.6020.5761.0000.9900.9590.9170.8740.8340.7980.7650.7350.708n-2111213141516171819200.05 0.010.5530.5320.5140.4790.4820.4680.4560.4440.4330.4130.6840.6610.6410.6230.6060.5900.5750.5610.5490.537n-221222

14、3242526272829300.05 0.010.4130.4040.3960.3880.3810.3740.3670.3640.3550.3490.5260.5150.5050.4960.4870.4780.4700.4630.4560.449相关系数临界值表（2 2）方差分析法）方差分析法）方差分析法）方差分析法 回顾方差分析的基本特点：回顾方差分析的基本特点：回顾方差分析的基本特点：回顾方差分析的基本特点：把把把把所所所所给给给给数数数数据据据据的的的的总总总总波波波波动动动动分分分分解解解解为为为为两两两两部部部部分分分分，一一一一部部部部分分分分反反反反映映映映因因因因素素素素水水

15、水水平平平平变变变变化化化化引引引引起起起起的的的的波波波波动动动动，另另另另一一一一部部部部分分分分反反反反映映映映由由由由于于于于存存存存在在在在实实实实验验验验误误误误差差差差而而而而引引引引起起起起的的的的波波波波动动动动。然然然然后后后后把把把把各各各各因因因因素素素素水水水水平平平平变变变变化化化化引引引引起起起起的的的的波波波波动动动动与与与与实实实实验验验验误误误误差差差差引引引引起起起起的的的的波波波波动动动动大大大大小小小小进进进进行行行行比比比比较较较较，而而而而达达达达到检验因素显著性的目的。到检验因素显著性的目的。到检验因素显著性的目的。到检验因素显著性的目的。l l

16、在在在在回回回回归归归归问问问问题题题题中中中中，观观观观测测测测数数数数据据据据总总总总的的的的波波波波动动动动情情情情况况况况用用用用各各各各观观观观测测测测值值值值与与与与总总总总平平平平均均均均值值值值 之之之之间间间间的偏差平方和表示。的偏差平方和表示。的偏差平方和表示。的偏差平方和表示。I III IIIIIIIIl l第第第第I I项项项项Q Q表表表表示示示示观观观观察察察察值值值值y yi i与与与与回回回回归归归归直直直直线线线线上上上上x xi i所所所所对对对对应应应应的的的的纵纵纵纵坐坐坐坐标标标标 i i的的的的偏偏偏偏离离离离情情情情况况况况，它反映了实验误差的大

17、小，称为残差平方和。它反映了实验误差的大小，称为残差平方和。它反映了实验误差的大小，称为残差平方和。它反映了实验误差的大小，称为残差平方和。l l 第第第第IIIIII项项项项U U称称称称为为为为回回回回归归归归平平平平方方方方和和和和，它它它它反反反反映映映映了了了了由由由由于于于于x x与与与与y y的的的的线线线线性性性性关关关关系系系系所所所所引引引引起起起起的的的的y y的变化情况。的变化情况。的变化情况。的变化情况。l l 第第第第II II项项项项l l每一个偏差平方和（即每一个偏差平方和（即每一个偏差平方和（即每一个偏差平方和（即l lyyyy,U U，Q Q）都有一个自由度

18、和它们）都有一个自由度和它们）都有一个自由度和它们）都有一个自由度和它们对应，对应，对应，对应，l lyyyy的的的的自由度称为总自由度，记为自由度称为总自由度，记为自由度称为总自由度，记为自由度称为总自由度，记为f f总总。f f总总观测值个数观测值个数观测值个数观测值个数 -1-1n n 1 1f fU U 1 1f fQ Q n n 2 2三者之间仍然有：三者之间仍然有：三者之间仍然有：三者之间仍然有：f f总总 f fU U f fQ Q l l可用可用可用可用F F检验考察回归直线的显著性：检验考察回归直线的显著性：检验考察回归直线的显著性：检验考察回归直线的显著性：（1 1）计算）

19、计算）计算）计算F F（2 2）对于给定的显著水平）对于给定的显著水平）对于给定的显著水平）对于给定的显著水平0.050.05(或或或或0.01)0.01)0.01)0.01)，由，由，由，由F F分布表查分布表查分布表查分布表查出临界值出临界值出临界值出临界值F F(1(1(1(1，n-n-2 2)。（3 3）比较）比较）比较）比较F F与与与与F F(1(1(1(1，n-n-2 2)的大小。的大小。的大小。的大小。若若若若F F F F(1(1(1(1，n-n-2 2)，则回归方程显著；，则回归方程显著；，则回归方程显著；，则回归方程显著；若若若若F F F F(1(1(1(1，n-n-2

20、 2)，则回归方程不显著。，则回归方程不显著。，则回归方程不显著。，则回归方程不显著。4.1.3 4.1.3 4.1.3 4.1.3 预测和控制预测和控制预测和控制预测和控制 当当当当我我我我们们们们求求求求得得得得变变变变量量量量x x，y y之之之之间间间间的的的的回回回回归归归归直直直直线线线线方方方方程程程程后后后后，往往往往往往往往希希希希望望望望通通通通过回归方程回答这样两方面的问题：过回归方程回答这样两方面的问题：过回归方程回答这样两方面的问题：过回归方程回答这样两方面的问题：（1 1）对对对对于于于于任任任任一一一一给给给给定定定定的的的的观观观观测测测测点点点点x x0 0，

21、推推推推断断断断观观观观察察察察值值值值y y0 0大大大大致致致致在在在在什什什什么么么么范范范范围，这就是围，这就是围，这就是围，这就是预测问题预测问题预测问题预测问题；（2 2）若若若若要要要要求求求求y y在在在在一一一一定定定定范范范范围围围围y y1 1 y y y y2 2内内内内取取取取值值值值，应应应应将将将将变变变变量量量量x x控控控控制制制制在在在在什什什什么范围内，这就是么范围内，这就是么范围内，这就是么范围内，这就是控制问题控制问题控制问题控制问题。（一）预测问题（一）预测问题（一）预测问题（一）预测问题 一一一一般般般般来来来来说说说说，对对对对于于于于固固固固定

22、定定定x x0 0处处处处的的的的观观观观测测测测值值值值y y0 0，其其其其取取取取值值值值是是是是以以以以0 0为为为为中中中中心心心心而而而而对对对对称称称称分分分分布布布布的的的的。越越越越靠靠靠靠近近近近0 0的的的的地地地地方方方方，出出出出现现现现的的的的机机机机会会会会越越越越大大大大。离离离离0 0越越越越远远远远的的的的地地地地方方方方，出出出出现现现现的的的的机机机机会会会会越越越越小小小小，而而而而且且且且y y0 0的的的的预预预预测测测测区区区区间间间间范范范范围与量围与量围与量围与量S Sy y（残余标准差）残余标准差）残余标准差）残余标准差）有下述关系有下述关

23、系有下述关系有下述关系:求求y y的区间估计值的简化方法的区间估计值的简化方法l ly y0 0落在落在落在落在0 0 33S Sy y范范范范围围围围内的可能性内的可能性内的可能性内的可能性为为为为99.799.7；l ly y0 0落在落在落在落在0 0 22S Sy y范范范范围围围围内的可能性内的可能性内的可能性内的可能性为为为为9595；l ly y0 0落在落在落在落在0 0 S Sy y范范范范围围围围内的可能性内的可能性内的可能性内的可能性为为为为6868；利用此关系，利用此关系，利用此关系，利用此关系，对对对对于指定的于指定的于指定的于指定的x x0 0，我们有，我们有，我们

24、有，我们有9595的把握说，在的把握说，在的把握说，在的把握说，在x x=x x0 0处的实际观测值处的实际观测值处的实际观测值处的实际观测值y y0 0介于介于介于介于0 0+2+2S Sy y与与与与0 0 2 2S Sy y之间之间之间之间,即即即即 0 0+2+2S Sy y y y0 0 0 0 2 2S Sy yl lS Sy y称称称称为为为为剩余剩余剩余剩余标标标标准差，用来衡量准差，用来衡量准差，用来衡量准差，用来衡量预测预测预测预测的精确度。的精确度。的精确度。的精确度。（二）控制问题（二）控制问题（二）控制问题（二）控制问题 控制问题是预测问题的反问题，若要求观测值控制问

25、题是预测问题的反问题，若要求观测值控制问题是预测问题的反问题，若要求观测值控制问题是预测问题的反问题，若要求观测值y y0 0在在在在y y1 1 y y y y2 2范围内取值，则可从范围内取值，则可从范围内取值，则可从范围内取值，则可从y y1 1a a 2 2S Sy y+bx+bx1 1（或（或（或（或y y1 1a a 3 3S Sy y+bx+bx1 1 ）y y2 2a a+2+2S Sy y+bx+bx2 2（或（或（或（或y y2 2a a+3+3S Sy y+bx+bx2 2 ）中中中中解解解解出出出出x x1 1，x x2 2，只只只只要要要要将将将将x x的的的的取取取

26、取值值值值控控控控制制制制在在在在x x1 1与与与与x x2 2之之之之间间间间，我我我我们们们们就就就就能能能能以以以以9595（或或或或99.799.7）的的的的把把把把握握握握保保保保证证证证，y y0 0在在在在y y1 1与与与与y y2 2范范范范围围围围内内内内取值。取值。取值。取值。l l进行预测和控制，通常也采用图解法。其做法是，在散点进行预测和控制，通常也采用图解法。其做法是，在散点进行预测和控制，通常也采用图解法。其做法是，在散点进行预测和控制，通常也采用图解法。其做法是，在散点图上做两条平行于回归直线的直线图上做两条平行于回归直线的直线图上做两条平行于回归直线的直线图

27、上做两条平行于回归直线的直线y y=a-a-2 2S Sy y+bx+bxy y=a+a+2 2S Sy y+bx+bxy y=a+2Sa+2Sy y+bx+bxy y=a+bxa+bxy y=a-2Sa-2Sy y+bx+bxy y=a+2Sa+2Sy y+bx+bxy y=a+bxa+bxy y=a-2Sa-2Sy y+bx+bxl l例例例例题题题题 用用用用邻邻邻邻二二二二氮氮氮氮菲菲菲菲分分分分光光光光光光光光度度度度法法法法测测测测铁铁铁铁，首首首首先先先先配配配配制制制制标标标标准准准准系系系系列列列列测测测测标标标标准准准准曲曲曲曲线线线线，得得得得下下下下列列列列结结结结果果

28、果果如如如如表表表表所所所所示示示示。用用用用最最最最小小小小二二二二乘乘乘乘法法法法求求求求出出出出回回回回归归归归方程并对该标准曲线准确度进行检验。方程并对该标准曲线准确度进行检验。方程并对该标准曲线准确度进行检验。方程并对该标准曲线准确度进行检验。序号序号序号序号1 12 23 34 45 56 6c/c/(10(10-5-5mol/L)mol/L)1.001.002.002.003.003.004.004.005.005.006.006.00吸光度吸光度吸光度吸光度A A0.1140.1140.2120.2120.3350.3350.4340.4340.6700.6700.8680.8

29、68测量结果测量结果测量结果测量结果解解解解 首先对数据进行转化，首先对数据进行转化，首先对数据进行转化，首先对数据进行转化，令令令令 x x=10=105 5c c，y y=10=10A A求得求得求得求得所以所以所以所以根据标准曲线的相关系数要求，即根据标准曲线的相关系数要求，即根据标准曲线的相关系数要求，即根据标准曲线的相关系数要求，即 r r 0.99900.9990因此，该标准曲线准确度符合要求。其回归系数为因此，该标准曲线准确度符合要求。其回归系数为因此，该标准曲线准确度符合要求。其回归系数为因此，该标准曲线准确度符合要求。其回归系数为因此，回归方程为因此，回归方程为因此，回归方程

30、为因此，回归方程为y y=0.0224+1.0915=0.0224+1.0915x x还原，则回归方程为还原，则回归方程为还原，则回归方程为还原，则回归方程为A A0.00224+1.09150.00224+1.091510104 4c cl l一元非线性关系的转化与回归一元非线性关系的转化与回归一元非线性关系的转化与回归一元非线性关系的转化与回归对于本身不是线性关系的变量间的关系，可以用多种方法进行拟合。当对于本身不是线性关系的变量间的关系，可以用多种方法进行拟合。当对于本身不是线性关系的变量间的关系，可以用多种方法进行拟合。当对于本身不是线性关系的变量间的关系，可以用多种方法进行拟合。当变

31、量间的关系可以用某种函数关系进行描述时，则可以将函数方程进行变量间的关系可以用某种函数关系进行描述时，则可以将函数方程进行变量间的关系可以用某种函数关系进行描述时，则可以将函数方程进行变量间的关系可以用某种函数关系进行描述时，则可以将函数方程进行简单变换，转化成线性方程。简单变换，转化成线性方程。简单变换，转化成线性方程。简单变换，转化成线性方程。例如：（例如：（例如：（例如：（1 1）y=a+by=a+blnlnx x y=a+bxy=a+bx （x x lnlnx x）（2 2）y=aey=aebx bx y y =a=a+bx +bx (y y =lnlny y，a a lnlna a)

32、（3 3）1/1/y y=a+b a+b/x x y y =a=a+bx +bx (x x=1/=1/x x，y y=1/=1/y y)l l作业作业作业作业x x-2.0-2.00.60.61.41.41.31.30.10.1-1.6-1.6-1.7-1.70.70.7-1.8-1.8-1.1-1.1y y-6.1-6.1-0.5-0.57.27.26.96.9-0.2-0.2-2.1-2.1-3.9-3.93.83.8-7.5-7.5-2.1-2.1（1 1）求求求求y y对对对对x x的线性回归方程；的线性回归方程；的线性回归方程；的线性回归方程；（2 2）求相关系数，检验回归方程的显著性；求相关系数，检验回归方程的显著性；求相关系数，检验回归方程的显著性；求相关系数，检验回归方程的显著性；（3 3 3 3）当）当）当）当x x0.50.5时，求时，求时，求时，求y y的的的的9595的预测区间；的预测区间；的预测区间；的预测区间；（4 4）若要求）若要求）若要求）若要求 y y44，问对问对问对问对x x应控制在何范围内？应控制在何范围内？应控制在何范围内？应控制在何范围内？