第5讲无穷级数精选PPT.ppt

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1、第5讲无穷级数第1页，本讲稿共26页 实实 验验 目目 的的 学习用软件判断级数的敛散性，会求收敛数项级数的和.第2页，本讲稿共26页 一一.级数求和命令格式 格式 说 明关于默认变量k对通项s求和关于指定变量v对通项s求和关于默认变量k在a,b之间取值时，对通项s求和 第3页，本讲稿共26页级数(级数求和)级数求和运算是数学中常见的一种运算。例如：函数symsum可以用于此类对符号函数的求和运算。该函数的引用时，应确定级数的通项式表达式u，变量k的变化范围a和b。该函数的引用格式为：symsum(u,k,a,b)第4页，本讲稿共26页例1 求级数1/12+1/22+1/32+1/42+的和:

2、通项：u=1/k2K的范围：1，+inf）Matlab程序：syms k symsum(1/k2,1,Inf)%k值为1到无穷大ans=1/6*pi2其结果为：1/12+1/22+1/32+1/42+=2/6第5页，本讲稿共26页例2 对 级数 （1）求和 ；（2）求部分和 ；解 p=input(p=)syms k n%输入p的值%定义变量 s=symsum(1/kp,1,inf)%求S s=symsum(1/kp,1,n)%求Sn第6页，本讲稿共26页练习：判定级数 的敛散性；syms n;symsum(1/n,n,1,inf)ans=Inf方法：直接求和若和存在，则收敛反之就发散第7页，本

3、讲稿共26页二二.常数项级数的判别 1.正项级数的判别法 (1)比较判别法 正项级数 和 判别方法：（大小比较法）大的收敛，则小的收敛；小的发散，则大的发散第8页，本讲稿共26页 如果 ，敛散性相同 如果 则大的收敛，则小的收敛；小的发散，则大的发散例2判定级数 的敛散性；解 syms n;symsum(sin(1/n),n,1,inf)ans=sum(sin(1/n),n=1.Inf)比较判别法的极限形式：无法判断出此级数的敛散性第9页，本讲稿共26页用调和级数 作为参考级数，考虑极限 syms n I=limit(sin(1/n)/(1/n),n,inf)I=1由比较审敛法，调和级数 发散

4、，则级数 发散。利用比较判别法判断第10页，本讲稿共26页（2）比值判别法 正项级数 ，若满足 ，则当 时级数收敛；时级数发散。例3用比值判别法判定级数 的敛散性。解 考查极限程序如下：第11页，本讲稿共26页 syms nI=limit(n+1)2/3(n+1)/(n2/3n),n,inf)ans I=1/3由比值判别法知级数 收敛。symsum(n2/3n,n,1,inf)ans=3/2本题也可以直接求级数的和 第12页，本讲稿共26页正项级数 ，若 ，当 时级数收敛；时级数发散。适用对象：一般项表达式Un含有n次幂（3）补充：根）补充：根值判别法第13页，本讲稿共26页例4级数 ，用根值

5、判别法判定敛散；解 考查极限程序如下：syms n;y=(n/(3*n-1)(2*n-1)(1/n),y1=limit(y,n,inf)y=(n/(3*n-1)(2*n-1)(1/n)y1=1/9级数收敛第14页，本讲稿共26页2交错级数判别法（莱布尼兹判别法）如果交错级数 满足条件：（1）；（2）；则级数收敛。第15页，本讲稿共26页（2）求极限 ；程序如下：syms n;limit(1/(n3),n,inf)ans=0例5判断交错级数 的敛散性。解 步骤：（1）判断 ；由定理可知，交错级数收敛第16页，本讲稿共26页三幂级数求收敛半径：不缺项时缺项时再求出x的范围收敛第17页，本讲稿共26

6、页解 程序如下：syms n；R=limit(abs(-1)(n-1)/log(n)/(-1)n /log(n+1),n,inf)或者：R=limit(1/log(n)/(1/log(n+1),n,inf)R=1系数例6 求幂级数 的收敛半径。第18页，本讲稿共26页四傅立叶级数 收敛定理：设 是以2T为周期的周期函数，如果满足：（1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点。（2）在一个周期内至多有有限个极值点。则 的傅立叶级数展开式为：是连续点）第19页，本讲稿共26页其中：例7设 是周期为 的方波函数，它在上的表达式为(x是间断点)第20页，本讲稿共26页将 展开成傅立叶级数。解 步骤：

7、（1）计算傅立叶系数 第21页，本讲稿共26页程序如下：syms n x;an=(-int(cos(n*x),x,-pi,0)+int(cos(n*x),x,0,pi)/pi,bn=(-int(sin(n*x),-pi,0)+int(sin(n*x),0,pi)/pians:an=0 bn=-2*(cos(pi*n)-1)/n/pi第二步、代入公式进行运算第22页，本讲稿共26页例9将 展开为傅立叶级数。解 程序如下：syms n x;f=1-x2,a0=int(f,-pi,pi),an=int(f*cos(n*x),-pi,pi)/pi,bn=int(f*sin(n*x),-pi,pi)/pi第23页，本讲稿共26页ans:f=1-x2a0=2*pi-2/3*pi3 an=-2*(-2*sin(pi*n)-n2*sin(pi*n)+pi2*n2*sin(pi*n)+2*pi*n*cos(pi*n)/n3/pi bn=0代入级数表达式，得第24页，本讲稿共26页上机实验题1.判断下例常数项级数的敛性：（1）（2）（3）（4）第25页，本讲稿共26页2.求下列幂级数的收敛半径（1）（2）3 将函数 展开为傅立叶级数。第26页，本讲稿共26页