第6章数值微分和数值积分精选PPT.ppt

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1、第6章数值微分和数值积分第1页，本讲稿共47页6.1 数值微分的基本方法数值微分的基本方法1.1 差商型数值微分差商型数值微分差商型数值微分是用函数的是用函数的差商差商近似函数的近似函数的导数导数。向前差商数值微分公式向前差商数值微分公式向后差商数值微分公式向后差商数值微分公式中心差商数值微分公式中心差商数值微分公式第2页，本讲稿共47页误差分析：函数本身的解析性质；函数本身的解析性质；h的大小的大小:越小，误差越小；越小，误差越小；太小：引入较大舍入误差；太小：引入较大舍入误差；(1)(2)6.1 数值微分的基本方法数值微分的基本方法Goto第3页，本讲稿共47页1.1 差商型数值微分例例6

2、.1 用中心差商数值微分公式计算用中心差商数值微分公式计算在在x=2处的一阶导数。处的一阶导数。解：解：h0.0010.0050.010.050.10.51f(2)0.3500 0.3500 0.3500 0.3530 0.3535 0.3564 0.36600.353553Return第4页，本讲稿共47页6.1 数值微分的基本方法数值微分的基本方法1.2 插值型数值微分思路：思路：插值多项式插值多项式的微分等于的微分等于函数函数的微分。的微分。（1）对于等距节点（以两点式为例）：）对于等距节点（以两点式为例）：第5页，本讲稿共47页1.2 插值型数值微分插值型数值微分(2)三点式三点式（n

3、=2）以等距的三点以等距的三点x0 x1 x2作二次插值多项式，间距作二次插值多项式，间距hP2(x)=(x0 x1)(x0 x2)(xx1)(xx2)y0+(x1x0)(x1x2)(xx0)(xx2)y1+(x2x0)(x2x1)(xx0)(xx1)y2=2h2(xx1)(xx2)y0+-h2(xx0)(xx2)y1+2h2(xx0)(xx1)y2P2(x)=2h2(xx1)+(xx2)y0+-h2(xx0)+(xx2)y1+2h2(xx0)+(xx1)y2P2(x0)=2h2-h+(2h)y0+-h2-2hy1+2h2-hy2第6页，本讲稿共47页1.2 插值型数值微分插值型数值微分例例6

4、.2 已知函数已知函数y=ex的下列数值求的下列数值求x=2.7处一、处一、二阶导数。二阶导数。解：取解：取h=0.2用两点式公式用两点式公式=13.486用三点式公式用三点式公式=14.979=14.930h=0.1=14.160=14.9045=14.890f(x)=f(x)=14.87973（实际（实际值）值）x2.52.62.72.82.9y12.182513.463714.879716.444618.1741第7页，本讲稿共47页6.2 数值积分数值积分？被积函数的原函数不能用初等函数表示；被积函数的原函数不能用初等函数表示；？被积函数的原函数过于复杂；被积函数的原函数过于复杂；？原

5、函数以表格形式给出；原函数以表格形式给出；基本思想：用简单函数近似代替被积函数，然后建立如下求积公用简单函数近似代替被积函数，然后建立如下求积公式。式。第8页，本讲稿共47页6.2 数值积分数值积分f(x)abx1xn-1f(xn-1)第9页，本讲稿共47页6.2 数值积分数值积分2.1 牛顿-柯斯特求积公式求积公式求积公式具有最高的具有最高的代数精确度代数精确度；求积公式的求积公式的余式余式具有具有最小的绝对值最小的绝对值；求积公式的求积公式的系数绝对值之和系数绝对值之和为为最小最小；系数相等以便于计算系数相等以便于计算对精度对精度要求高要求高已知：拉格朗日插值函数为：已知：拉格朗日插值函数

6、为：则插值型求积公式为：则插值型求积公式为：只与只与节点节点有关，与有关，与被积函数被积函数的形式无关。的形式无关。第10页，本讲稿共47页6.2 数值积分数值积分令令x=a+th,则有：则有：第11页，本讲稿共47页6.2 数值积分数值积分N-C公式的截断误差为：公式的截断误差为：n阶Newton-Cotes公式Newton-Cotes系数第12页，本讲稿共47页6.2 数值积分数值积分nCk(n)11/21/221/64/61/631/83/83/81/847/90 16/45 2/15 16/45 7/90519/288 25/96 25/14425/144 25/96 19/28864

7、1/840 9/359/280 34/105 9/2809/35 41/8401.柯特斯系数具有对称性2.第13页，本讲稿共47页当当n=1时，时，C0(1)=C1(1),因此有：因此有：物理意义：物理意义：以过点以过点(a,f(a),(b,f(b)的的直线直线代替曲线代替曲线y=f(x),以梯形面积近似曲边梯形面积。所以又称为以梯形面积近似曲边梯形面积。所以又称为梯形公梯形公式式。当当n=2时，时，N-C公式为公式为：物理意义：物理意义：以过三点以过三点(a,f(a),(a+b)/2,f(a+b)/2),(b,f(b)的的抛物线抛物线代替曲线代替曲线y=f(x),求曲边梯形面积的近似值。所以

8、又称为求曲边梯形面积的近似值。所以又称为辛普生公式辛普生公式（Simpson）。6.2 数值积分数值积分第14页，本讲稿共47页若当f(x)为任意次数不高于m的多项式时，求积公式6.2 数值积分数值积分a0b2.3 误差公式求积公式的代数精确度均精确成立，而对某个m+1次多项式，公式不精确成立，则称该求积公式具有m次代数精确度。第15页，本讲稿共47页6.2 数值积分数值积分梯形求积公式(n=1)的代数精确度若f(x)为一次多项式若f(x)=x2为二次多项式为为1第16页，本讲稿共47页6.2 数值积分数值积分定理：定理：2m阶阶N-C公式至少具有公式至少具有2m+1阶代数精度。阶代数精度。辛

9、普生公式具有辛普生公式具有3阶代数精度。阶代数精度。例1：判别求积公式的代数精度。第17页，本讲稿共47页6.2 数值积分数值积分思路：思路：当当f(x)=1,x,x2,x3,分别求分别求梯形公式和辛普生公式的误差估计：梯形公式和辛普生公式的误差估计：以及其近似值。答案：具有5次代数精度。第18页，本讲稿共47页2.1 牛顿牛顿柯特斯求积公式柯特斯求积公式(误差估计误差估计)11 和 的舍入误差结论：当结论：当n=7即，即，选用选用N-C公式公式.理论积分得到第19页，本讲稿共47页2.1 牛顿牛顿柯特斯求积公式柯特斯求积公式例例6.3 用用n=6牛顿牛顿柯特斯公式计算下列柯特斯公式计算下列定

10、积分值定积分值解：解：h=(b-a)/n=(1-0)/6=1/6xi=0+i/6=0.6933第20页，本讲稿共47页2.2 复化求积公式复化求积公式M个小段hh=(b-a)/Mabn小段(m=M/n)个大段个大段1.复化梯形公式复化梯形公式第21页，本讲稿共47页2.2 复化求积公式复化求积公式2.复化辛卜生公式复化辛卜生公式M个小段abn小段M=2m第22页，本讲稿共47页2.2 复化求积公式复化求积公式1 4 2 4 2 4 2 4 1第23页，本讲稿共47页2.2 复化求积公式复化求积公式h=(b-a)/Mh=(b-a)/2m第24页，本讲稿共47页2.2 复化求积公式复化求积公式例例

11、6.4 对定积分对定积分分别用复化梯形分别用复化梯形公式或复化辛卜生公式计算时，需要公式或复化辛卜生公式计算时，需要M=?解：先确定解：先确定m2,m4,m21/3,m41/5复化梯形公式=167复化辛卜生公式复化辛卜生公式M=2m=6第25页，本讲稿共47页2.2 复化求积公式复化求积公式3.复化3/8公式M个小段abn=3小段M=3m第26页，本讲稿共47页2.2 复化求积公式复化求积公式m=M/3M=(b-a)/hh=(b-a)/M第27页，本讲稿共47页2.2 复化求积公式复化求积公式4.4.复化柯特斯公式复化柯特斯公式M个小段abn=4小段M=4m*M/4第28页，本讲稿共47页2.

12、2 复化求积公式复化求积公式例例6.5 6.5 利用复化辛卜生公式计算积分利用复化辛卜生公式计算积分解解：取取M=2m=10,则则h=(b-a)/M=(1-0)/10=0.1=0.03333*20.7945=0.69315估计截断误差估计截断误差第29页，本讲稿共47页2.2 复化求积公式复化求积公式估计舍入误差，fi的舍入误差i0.5*10-5.中括号内的舍入误差=0.03333*20.7945=0.69315=0.1*10-3 1.3*10-5+0.1*10-3第30页，本讲稿共47页2.2 复化求积公式复化求积公式5.5.使用复化求积公式，当需要加密分点时，已算出使用复化求积公式，当需要

13、加密分点时，已算出的函数值及积分值仍有效的函数值及积分值仍有效ababT1abT2第31页，本讲稿共47页2.2 复化求积公式复化求积公式n当区间当区间a,b分为分为2k等分，步长等分，步长h=(b-a)/2k,复化梯形复化梯形递推公式为递推公式为n确定分段数确定分段数mn根据余式作估算根据余式作估算n事后估计误差法事后估计误差法TMT2M第32页，本讲稿共47页2.2 复化求积公式复化求积公式n复化辛卜生公式同样有复化辛卜生公式同样有n复化柯特斯公式同样有复化柯特斯公式同样有第33页，本讲稿共47页2.3 龙贝格法龙贝格法n梯形法的递推化将区间a,bn等分，则共有n+1个等分点在子区间 ，其

14、中点则共有n+1个等分点第34页，本讲稿共47页第35页，本讲稿共47页2.3 龙贝格法龙贝格法=S1第36页，本讲稿共47页2.3 龙贝格法龙贝格法复化梯形递推公式构成的序列复化梯形递推公式构成的序列T1 T2 T4辛卜生序列辛卜生序列S1 S2 S4C1=柯特斯序列柯特斯序列C1 C2 C4龙贝格序列龙贝格序列R1 R2 R4龙贝格求积法龙贝格求积法第37页，本讲稿共47页2.3 龙贝格法龙贝格法T1T2S1T4S2C1T8S4C2R1T16S8C4R2第38页，本讲稿共47页2.3 龙贝格法龙贝格法例例6.5 6.5 求求的近似值，要求稳定到小数后的近似值，要求稳定到小数后5 5位位解：

15、解：=3.13118=3.14157=3.14212 T8=3.13899S4=3.14159C4=3.14159第39页，本讲稿共47页2.4 高斯求积公式高斯求积公式n如果一个求积公式对任意如果一个求积公式对任意n n次多项式精确成立，次多项式精确成立，而对大于而对大于n n的多项式不精确成立，称该求积公式的多项式不精确成立，称该求积公式具有具有n n次代数精确度次代数精确度。n高斯求积公式的方法原则是使求积公式高斯求积公式的方法原则是使求积公式对次数尽可能高的多项式精确成立对次数尽可能高的多项式精确成立。(tt0)(tt1)(ttn)ci第40页，本讲稿共47页2.4 高斯求积公式高斯求

16、积公式n增加增加m个新节点个新节点,tn+1 tn+2,tn+mQm-1(t)第41页，本讲稿共47页2.4 高斯求积公式高斯求积公式Qm-1(t)第42页，本讲稿共47页2.4 高斯求积公式高斯求积公式勒让德多项式性质勒让德多项式性质：(1)勒让德多项式是勒让德多项式是-1,1区间上的正交函数区间上的正交函数组，即组，即(2)(2)对一切对一切knkn，有，有(3)n(3)n次勒让德多项式有次勒让德多项式有n n个不同的零点。个不同的零点。第43页，本讲稿共47页2.4 高斯求积公式高斯求积公式n令令m=n,取取n次勒让德多项式的次勒让德多项式的n个零点个零点t1 t2 tn作为作为插值节点插值节点高斯求积公式高斯求积公式第44页，本讲稿共47页第45页，本讲稿共47页2.4 高斯求积公式高斯求积公式例例6.7 6.7 利用高斯求积公式利用高斯求积公式(n=3)(n=3)求下列积分求下列积分 解：按照公式解：按照公式求解以下节点值求解以下节点值+0.88889*1.41421+0.55556*1.66571)=1.39870第46页，本讲稿共47页2.4 高斯求积公式高斯求积公式I=1.39870 1.399第47页，本讲稿共47页