辽宁省名校联盟2023届高考模拟调研卷数学（二）含答案.pdf

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1、2023 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学（二）数学（二）本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟.注意事项注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在答题纸上.将条形码横贴在答题纸“贴条形码区”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题纸各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然

2、后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题纸的整洁.考试结束后，将试卷和答题纸一并交回.一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符只有一项是符合题目要求的合题目要求的.1.已知1i75iz，则z A.6iB.6iC.32iD.12 i2.已知集合2780Ux xx，0,1,2A，2,1,0,1,2,3,4B ，则UABA.0,1,2B.3,4C.1,3,4D.2,1,3,43.下列函数不是偶函数的是A.3sin2f xxB.22xxfxC.

3、21xxf xxD.2ln1f xxxx 4.使:0px，4xax的否定为假命题的一个充分不必要条件是A.4aB.4aC.2aD.2a5.某市要建立步行 15 分钟的核酸采样点，现有 9 名采样工作人员全部分配到 3 个采样点，每个采样点至少分配 2 人，则不同的分配方法种数为A.1918B.11508C.12708D.186.石碾子是我国电气化以前的重要粮食加工工具.它是依靠人力或畜力把谷子、稻子等谷物脱壳或把米碾碎成碴子或面粉的石制工具.如图，石碾子主要由碾盘、碾滚和碾架等组成，一个直径为 60cm 的圆柱形碾滚的最外侧与碾柱的距离为 100cm，碾滚最外侧正上方为点A，若人推动拉杆绕碾盘

4、转动一周，则点A距碾盘的垂直距离约为A.15cmB.15 3cmC.30 15 3cmD.45cm7.过圆锥内接正方体（正方体的 4 个顶点在圆锥的底面，其余顶点在圆锥的侧面）的上底面作一平面，把圆锥截成两部分，下部分为圆台，已知此圆台上底面与下底面的面积比为 1:4，母线长为6，设圆台体积为1V，正方体的外接球体积为2V，则12VVA.7 39B.2 69C.7 33D.2198.若200a，99lg 101b，101lg99c，则a，b，c的大小关系为A.acbB.cabC.cbaD.abc二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分.在每小题给

5、出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题目要有多项符合题目要求求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.设为第一象限角，1cos83，则A.51sin83 B.71cos83 C.132 2sin83 D.tan2 28 10.已知函数 3220fxxbxcxbb在1x 处有极值，且极值为 8，则A.fx有三个零点B.bcC.曲线 yfx在点 2,2f处的切线方程为340 xyD.函数 2yfx为奇函数11.已知抛物线2:4C xy的焦点为F，直线1l，2l过点F与圆22:21Exy分别切于A，B两点，交C于点M，N

6、和P，Q，则A.C与E没有公共点B.经过F，A，B三点的圆的方程为2220 xyxyC.4 55AB D.1369MNPQ12.设正整数0110119999kkkknaaaa，其中0,1,2,3,4,5,6,7,80,1,2,iaik.记 01knaaa，当8n时，129S nn，则A.19282S nS nnnB.9101nnC.数列 S nn为等差数列D.918nn三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知向量3,1a，,1bm，若ba，22 3ab，则m _.14.已知随机变量21,2XN，且10.252P X，20.1P

7、 X，则112PX_.15.如图，在平行四边形ABCD中，222 2ABBDAD，将ABD沿BD折起，使得点A到达点P处（如图），2 2PC，则三棱锥PBCD的内切球半径为_.16.已知椭圆2222:10 xyCabab的右焦点为F，上顶点为B，线段BF的垂直平分线交C于M，N两点，交y轴于点P，O为坐标原点，2BPPO ，则C的离心率为_；若BMN的周长为 8，则b _.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10 分）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2sin3tan2BCA.（1）求A；（2）若ABC的面积为3，6AB

8、AC，求a.18.（12 分）某校有A，B两个餐厅为调查学生对餐厅的满意程度，在某次用餐时学校从A餐厅随机抽取了67 人，从B餐厅随机抽取了 69 人，其中在A，B餐厅对服务不满意的分别有 15 人、6 人，其他人均满意.（1）根据数据列出 22 列联表，并依据小概率值0.005的独立性检验，能否认为用餐学生与两家餐厅满意度有关联？（2）学校对大量用餐学生进行了统计得出如下结论：任意一名学生第一次在校用餐时等可能地选择一家餐厅用餐，从第二次用餐起，如果前一次去了A餐厅，那么本次到A，B餐厅的概率分别为14，34；如果前一次去了B餐厅，那么本次到A，B餐厅的概率均为12.求任意一名学生第 3 次

9、用餐到B餐厅的概率.附：22n adbcabcdacbd，其中nabcd.0.1000.0500.0250.0100.0050 x2.7063.8415.0246.6357.87919.（12 分）在数列 na中，19a，1312nnaa.（1）证明：数列6na 为等比数列；（2）求数列nna的前n项和nS.20.（12 分）如图，在直四棱柱1111ABCDABC D中，底面ABCD为矩形，点M在棱AD上，3AMMD，12ABBB，1BDC M.（1）求AD；（2）求二面角11AMCB的正弦值.21.（12 分）已知一动圆与圆22:318Exy外切，与圆22:32Fxy内切，该动圆的圆心的轨迹

10、为曲线C.（1）求C的标准方程；（2）直线l与C交于A，B两点，点P在线段AB上，点Q在线段AB的延长线上，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立：8,1P；APBQBPAQ；Q是直线l与直线10 xy 的交点.注：如果选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分.22.（12 分）已知函数 exfxx，lng xxxx.（1）证明：fxg x；（2）若 f xaag x恒成立，求实数a的取值范围.数学（二）数学（二）一、选择题一、选择题1.B【解析】75i 1 i75i122i6i1 i1 i 1 i2z，故6iz.故选 B 项2.C【解析】由题意得18Uxx ，所以U1,3,4AB.故选

11、C 项.3.C【解析】对于 A 项，cosfxx，所以 coscosfxxxfx ，所以 fx为偶函数；对于 B 项，22xxfxfx，所以 fx为偶函数；对于 C 项，fx的定义域为,00,，21211221xxxxxxfxxxfx，所以 21xxf xx不是偶函数；对于D项，fx的定义域为R，2221ln1lnln11fxxxxxxxxfxxx ，所以 2ln1f xxxx 是偶函数.故选 C 项.4.D【解析】由题得：:0px，4xax为真命题，又44xx，当且仅当2x 时等号成立，反之也成立.所以4a是p为真命题的充要条件，4a是p为真命题的既不充分也不必要条件，2a是p为真命题的既不

12、充分也不必要条件，2a是p为真命题的充分不必要条件.故选 D 项.5.B【解 析】分 组 方 法 共 有2,2,5，2,3,4，3,3,3三 种 情 况，所 以 分 配 方 法 共 有225333323497596339742323C C CC C CAC C C11508AA.故选 B 项.6.A【解析】由题意碾滚最外侧滚过的距离为2100cm200 cm，碾滚的周长为230cm60 cm，所以碾滚滚过20010603圈，即滚过了103603 3601203，所以点A距碾盘的垂直距离为3030 cos 18012015cm.故选 A 项.7.A【解析】由圆台上底面与下底面的面积比为 1:4，

13、得圆台上底面与下底面的半径比为1212rr，由题知正方体的棱长为12r，如图，在1RtAAP中，6AP，11A Pr，112A Ar，即2221162rr，解 得12r，则1128228433V ，正 方 体 的 外 接 球 半 径 为23 232R，22434 33V，所以12287 3394 3VV.故选 A 项.8.B【解 析】解 法 一：设 100lg 100fxxx，1,1x，当1,1x 时，100lg 100lge100 xfxxx，令 100lg 100lge100 xg xxx，则 21200lgelge0100100gxxx，所 以 函 数 g x在 区 间1,1上 单 调

14、递 减，所 以101991011lg99lgelgelg9999g ，又101299ee99，所以 10g xg，所以函数 fx在区间1,1上单调递减，所以 991101lg990100lg100200199lg101lg 101fff，故cab.故选 B 项.解法二：由题意得200100lg10lg100100lg100a，99lg101b.令函数 200lnfxxx，200200ln1 lnxfxxxxx，当90,x时，2001 ln90090fx，所以 fx在区间90,内 单 调 递 减，所 以99100101fff，所 以101ln99100ln10099ln101，即10110099

15、99100101，所以cab.故选 B 项.二、选择题二、选择题9.BD【解 析】由 题 意 得8也 是 第 一 象 限 角，所 以2 2sin83，51sinsincoscos828883，A项错误；71coscoscos8883 ，B项正确；1331sinsincoscos828883 ，C项错误；sin8tantan2 288cos8 ，D 项正确.故选 BD 项.10.AC【解析】由题意得 232fxxbxc，又1320fbc，又2118fbcb ，解得33bc（舍去）或27bc ，故B项错误；32274fxxxx，2347137fxxxxx，当,1x 时，0fx，fx单调递增，当71

16、,3x 时，0fx，fx单调递减，当7,3x时，0fx，fx单调递增，又30f，10f，10f，40f，所以 fx有三个零点，故 A 项正确；又 23f ，210f，则曲线 yfx在 点 2,2f处 的 切 线 方 程 为1032yx，即340 xy，故 C 项 正 确；3222722fxxxxfx ，故 D 项错误.故选 AC 项.11.BCD【解析】联立222421xyxy，得422116xx，因为2x 是方程的一个根，所以C与E有公共点，A 项错误；连接EA，EB，则EAFA，EBFB，所以F，A，B，E四点在以FE为直径的 圆 上，圆 的 方 程 为2215124xy，化 简 得222

17、0 xyxy，B 项 正 确；由 题 得222FAEFEA，所以1 225ABEAFAEF，所以4 55AB，C 项正确；设过点F且与圆22:21Exy相切的切线方程为1ykx，由22111kk，解得0k 或43k .不妨设1:1ly，24:13lyx，则4MN，联 立24413xyyx 得298290yy，所 以829PQyy，所 以10029PQPQyy，所以100136499MNPQ，D 项正确.故选 BCD 项.12.ACD【解析】当2n时，198979695S nS nnnnn949392919nnnnn，又01981 919nn，所以9811nnn ，同 理01972 919nn，

18、所 以97211nnn，01918 919nn，所以91817nnn，090 99nn ，所以9nn，所以 1928S nS nn，A 项正 确；01210119100 999999 1kkkknaaaa ，0129101 12knaaaan ，B项错误；当1n 时，1129128137S ，当2n时，112211928912892S nS nS nS nS nSSSnn2965965289 12822nnnn ，当1n 时 也 符 合，所 以 29652nnS n，所 以 9652S nnn，所以 196595691222S nS nnnnn，所以数列 S nn为等差数列，C 项正确；012

19、3111 9919999981 9nnn，911 118nn ，D 项正确.故选 ACD 项.三、填空题三、填空题13.3 3【解 析】由 题 意 得23 14a，221bm，31a bm，所 以2222244164 34112abaa bbmm ，所以24 390mm，解得3 3m 或3m.当3m 时，ba，不符合题意；当3 3m 时，ba.所以3 3m.14.0.15【解析】由题意知12，所以120.1P XP X，所以11110.1522PXP XP X .15.212 33【解析】如图，过点D作DEBC，且DEBC，连接PE，CE，由题意可知PDBD，BCBD，所以BD 平面PDE，所

20、以BDPE，所以CEPE，所以222PEPCCE.又BD平面BCED，所以平面BCED 平面PDE.取DE的中点O，连接OP，则OP 平面BCED，且3OP，所以三棱锥PBCD的体积1112 32 233323P BCDBCDVSOP .又12 222BCDS，22122 2172PBCPCDSS，2212 22222PBDS，所以三棱锥PBCD的表面积2 27BCDPBDPCDPBCSSSSS，设三棱锥PBCD的内切球半径为r，则33212 3327VrS.16.123【解析】由2BPPO ，可得23BPb，13OPb，连接PF，在RtPOF中，由勾股定理得222OPOFPF，所以22212

21、33bcb，整理得223bc，所以2223acc，即224ac，所以C的离心率12cea.在RtBOF中，1cos2OFcBFOBFa，所以60BFO.设直线MN交x轴于点F，交BF于点H，在RtHFF中，由2cosHFFFacBFO，所以F为C的左焦点，又MBMF，NBNF，所以BMN的周长等于FMN的周长，又FMN的周长为4a，所以48a，解得2a，所以1c，故223bac.四、解答题四、解答题17.解：（1）由题得3sin3cos2222sin3tan2sincos222AAAAAA，所以3cos24sincos22sin2AAAA，又0A，所以022A，所以0cos12A，0sin12

22、A，所以23sin24A，所以3sin22A，所以23A，故23A.（2）由题得113sin3222bcAbc，所以4bc，又2226ABACABACAB AC ，所以2222cos63bcbc，故22610bcbc，由余弦定理得22212cos102 4142abcbcA ，所以14a.18.解：（1）零假设为0H：用餐学生与两家餐厅满意度无关联，依题意列出2 2列联表如下：不满意满意合计A餐厅155267B餐厅66369合计21115136220.00513615 6352 64.8817.87967 69 21 115x，根据小概率值0.005的独立性检验，没有充分证据推断0H不成立，因

23、此可以认为0H成立，即认为用餐学生与两家餐厅满意度无关联.（2）设事件iA“第i次在A餐厅用餐”，事件iB“第i次在B餐厅用餐”，其中1,2,3i，由题意iA与iB互斥，且1112P AP B，2114P A A，2134P B A；2112P A B，2112P B B，由全概率公式得21211211111324228P AP A P A AP B P A B，22518P BP A，又3234P B A，3212P B B，由全概率公式得3232232335119848232P BP AP B AP BP B B.19.（1）证明：由1312nnaa，得1123nnaa，即11261666

24、333nnnnaaaa，又163a，所以60na，所以数列6na 是以 3 为首项，13为公比的等比数列.（2）解：由（1）可知，12116333nnna，所以2163nna，故263nnnnan，设数列6n的前n项和为nP，数列23nn的前n项和为nT.所以数列nna的前n项和nnnSTP，所以216 126332nn nPnnn，10211112333nnTn ，0111111123333nnTn ，由-得10121211111333333nnnTn，所以123 91127231223344 3nnnnnTn，故数列nna的前n项和2227233344 3nnnnnSTPnn.20.解：（

25、1）连接CM，由题意得1CCBD，又1BDC M，111CCC MC，所以BD 平面1C CM，又CM 平面1C CM，所以BDCM，在RtBDC和RtCMD中，因为BDCCMD，所以RtRtBDCCMD，所以MDDCDCBC，又3AMMD，所以4BCMD，即22244MDDCAB，所以1MD，即44ADBCMD.（2）直四棱柱1111ABCDABC D中，底面ABCD为矩形，所以以点D为坐标原点，DA，DC，1DD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由（1）可得0,0,0D，1,0,0M，14,0,2A，10,2,2C，4,2,0B，则11,2,2MC ，13,0,2M

26、A ，3,2,0MB，设平面11AMC的法向量为111,mx y z，由1111111220320m MCxyzm MAxz 取13z ，得2,4,3m，设平面1BMC的法向量为222,nxyz，由122222220,320n MCxyzn MBxy 取23y，可得2,3,4n ，2020cos,292929m nm nmn ，所以22021sin,12929m n，故二面角11AMCB的正弦值为2129.21.（1）解：设动圆的圆心为,M x y，半径为r，则3 2MEr，2MFr，所以4 2MEMFEF，由双曲线定义可知，M的轨迹是以E，F为焦点，实轴长为4 2的双曲线的右支，所以24 2

27、a，26c，即2 2a，3c，所以2221bca，所以C的标准方程为2218xy，2 2x.（2）证明：若：由题可设直线:81l xm y，11,A xy，22,B xy，00,Q xy，01y，由直线l与C交于A，B两点，所以2 22 2m，联立228118xm yxy 得222828880mym mym，所以122288m myym，2122888my ym，由APBQBPAQ，得APAQBPBQ，即01120211yyyyyy，由题知1AQBQ，所以1APBP，即P异于AB的中点，所以122yy，即1m，得2212121201212228162222681112822128my yyyy

28、 ymym myyyymm ，又0081xm y，所以0081xmy，故00061811yxy，化简得0010 xy，所以点Q在直线10 xy 上，又Q是l上的点，所以成立.若：设11,A xy，22,B xy，00,Q xy，01y，则0010 xy.由P，A，B，Q四点共线，设APAQ，BPBQ ，其中0且1，0，则0181xx，0111yy，0281xx，0211yy，又点A在C上，所以221118xy，所以2020811181xx，整理得222000088161480 xyxy，又0010 xy，所以2220088480 xy，同理2220088480 xy，所以2222004888y

29、x，又0，0，所以，故APAQ ，BPBQ ，所以APBPAQBQ ，故APBQBPAQ ，即APBQBPAQ成立，所以成立.若：由题设11,A xy，22,B xy，,P x y，00,Q xy，由APBQBPAQ，得APBPAQBQ，又点P为线段AB上一点，点Q为线段AB延长线上一点，所以设APAQ，BPBQ ，其中0且1，则011xxx，011yyy，021xxx，021yyy，又点A在C上，所以221118xy，所以20201181xxyy，整理得2222200008821616880 xyxxyyxy，同理2222200008821616880 xyxxyyxy，所以00002161

30、621616x xy yx xy y，故00880 x xy y，将001xy代入得0880 xyyx，所以8080 xyx故81xy 即8,1P成立.22.（1）证明：即证e1 lnxx 恒成立，设 e1lnxh xx，1exh xx，显然 hx在区间0,内单调递增，又121e202h，1e10h，所以存在唯一01,12x，使得00hx，即001exx，00lnxx.当00,xx时，0hx，h x单调递减；当0,xx时，0hx，h x单调递增，所以 000001e1 ln1xh xh xxxx，又01,12x，所以0012xx，故 00011 10h xh xxx ，所以e1 lnxx，即

31、fxg x.（2）解：由 f xaag x，得elnxxaa xxx，0 x，当0a时，e0 xxa，所以elnxxaa xxx，即eln1xxa xxx，设 ln1t xxxx，则 2lntxx，且2e0t，当20,ex时，0tx，t x单调递减；当2e,x时，0tx，t x单调递增，所以 22e1 e0t xt，所以ln10a xxx，所以eln1xxa xxx，即 lnf xaa xxx成立；当0a 时，令 exu xxa，0 x，则 1 e0 xuxx，所以 u x在区间0,内单调递增，又 00ua，e10au aa，所以存在唯一00,xa，使得00u x，即00e0 xxa，当00,

32、xx时，0u x，由elnxxaa xxx，得elnxxaa xxx，即eln0 xaaxax，设 elnxap xaxax，则 2e0 xaap xxx，所以 p x在区间00,x内单调递减，所以 00000elnln0 xap xp xaxaaxax ，解得01ex.当0,xx时，0u x，即e0 xxa，由elnxxaa xxx，得elnxxaa xxx，即eln0 xaaxax，设 elnxaq xaxax，则 2exaaq xxx，由e0 xxa得e0 xax，所以 2e0 xaaq xxx，所以 q x单调递增，所以 00000elnln0 xaq xq xaxaaxax，解得01ex，由00exax，得0111ee01eeeexax，综上，实数a的取值范围为11e,e.