《函数基本性质》PPT课件.ppt

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1、函数基本性质函数基本性质n n1 1、增减函数、增减函数、增减函数、增减函数n n（1 1）设函数）设函数y=f(x)y=f(x)的定义域为的定义域为I I，如果对于定义域，如果对于定义域I I内的某个区间内的某个区间D D内的任意两个自变量内的任意两个自变量x1x1，x2x2，当，当x1x2x1x2时，总是都有时，总是都有f(x1)f(xf(x1)f(x2)2)，那么就说，那么就说f(x)f(x)在区在区间间D D上是增函数上是增函数.区间区间D D称为称为y=f(x)y=f(x)的单调增区间的单调增区间.n n（2 2）如果对于区间）如果对于区间D D上的任意两个自变量的值上的任意两个自变

2、量的值x1x1，x2x2，当，当x1xx1x2 2 时，都有时，都有f(x1)f(x1)f(xf(x2)2)，那么就说，那么就说f(x)f(x)在这个区间上是减函数在这个区间上是减函数.区间区间D D称为称为y=f(x)y=f(x)的单的单调减区间调减区间.n n2、图象的特点图象的特点n n如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.n n3、函数单调区间与单调性的判定方法、函数单调区间与单调性的判定方法n n(A)定义法：n n1 任取x1，x2D，且x10/

3、0/0），），再通过各段的单调性，或图像求最值。再通过各段的单调性，或图像求最值。n n5 5、在判断函数的奇偶性时候，若已知是奇函数可、在判断函数的奇偶性时候，若已知是奇函数可以直接用以直接用f(0)=0f(0)=0，但是，但是f(0)=0f(0)=0并不一定可以判断函并不一定可以判断函数为奇函数。（高一阶段可以利用奇函数数为奇函数。（高一阶段可以利用奇函数f(0)=0f(0)=0）。）。练习练习n n例例1如图1-3-1-3是定义在区间5，5上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？n n解：解：函数y=f(x)的单调区间是-5,2),-

4、2,1),1,3),3,5.其中函数y=f(x)在区间-5,2),1,3)上是减函数，在区间-2,1),3,5上是增函数.n n（1）画出已知函数f(x)=-x2+2x+3的图象；n n（2）证明函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-,1上是增函数；n n（3）当函数f(x)在区间(-,m上是增函数时，求实数m的取值范围.n n1 1）函数）函数f(x)=-x2+2x+3f(x)=-x2+2x+3的图象如图的图象如图1-3-1-41-3-1-4所示所示.n n(2)(2)设设x1x1、x2x2(-,1(-,1，且，且x1x2x1x2，则有，则有n nf(x1)-f(x2)=(-x12+2x1

5、+3)-(-x22+2x2+3)f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1+3)-(-x22+2x2+3)n n=(x22-x12)+2(x1-x2)=(x22-x12)+2(x1-x2)n n=(x1-x2)(2-x1-x2).=(x1-x2)(2-x1-x2).n nx1x1、x2x2(-,1(-,1，且，且x1x2x1x2，x1-x20,x1+x22.x1-x20,x1+x20.2-x1-x20.f(x1)-f(x2)0.f(x1)-f(x2)0.f(x1)f(x2).f(x1)f(x2).n n函数函数f(x)=-x2+2x+3f(x)=-x2+2x+3在区间在区间(-,1(-,1上是

6、增函数上是增函数.n n（3 3）函数）函数f(x)=-x2+2x+3f(x)=-x2+2x+3的对称轴是直线的对称轴是直线x=1x=1，在对称轴的，在对称轴的左侧是增函数，那么当区间左侧是增函数，那么当区间(-,m(-,m位于对称轴的左侧时位于对称轴的左侧时满足题意，则有满足题意，则有m1m1，即实数，即实数mm的取值范围是的取值范围是(-,1(-,1.n n已知函数f(x)是R上的增函数，设F(x)=f(x)-f(a-x).n n(1)用函数单调性定义证明F(x)是R上的增函数；n n(2)证明函数y=F(x)的图象关于点(,0)成中心对称图形.n n1 1）设）设x1x1、x2x2R R

7、，且，且x1x2.x1x2.则则n nF(x1)-F(x2)=F(x1)-F(x2)=f(x1)-f(a-x1)f(x1)-f(a-x1)-f(x2)-f(a-x2)f(x2)-f(a-x2)n n=f(x1)-f(x2)f(x1)-f(x2)+f(a-x2)-f(a-x1)f(a-x2)-f(a-x1).n n又又函数函数f(x)f(x)是是R R上的增函数，上的增函数，x1x2x1x2，a-x2a-x2.a-x2a-x2.n nf(x1)f(x2),f(a-x2)f(a-x1).f(x1)f(x2),f(a-x2)f(a-x1).n nf(x1)-f(x2)f(x1)-f(x2)+f(a-

8、x2)-f(a-x1)f(a-x2)-f(a-x1)0.0.n nF(x1)F(x2).F(x1)F(x2).F(x)F(x)是是R R上的增函数上的增函数.n n（2 2）设点）设点M(x0,F(x0)M(x0,F(x0)是函数是函数F(x)F(x)图象上任意一点，则点图象上任意一点，则点M(x0,F(x0)M(x0,F(x0)关于点关于点(,0)(,0)的对称点的对称点M(a-x0,-F(x0).M(a-x0,-F(x0).n n又又F(a-x0)=f(a-x0)-f(a-(a-x0)F(a-x0)=f(a-x0)-f(a-(a-x0)n nf(a-x0)-f(x0)f(a-x0)-f(x

9、0)n n-f(x0)-f(a-x0)f(x0)-f(a-x0)n n=-F(x0),=-F(x0),n n点点M(a-x0,-F(x0)M(a-x0,-F(x0)也在函数也在函数F(x)F(x)图象上，图象上，n n又又点点M(x0,F(x0)M(x0,F(x0)是函数是函数F(x)F(x)图象上任意一点，图象上任意一点，n n函数函数y=F(x)y=F(x)的图象关于点的图象关于点(,0)(,0)成中心对称图形成中心对称图形.n n2(1)写出函数y=x2-2x的单调区间及其图象的对称轴,观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?n n(2)写出函数y=|x|的单调区间及其图象的对称轴

10、,观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?n n(3)(3)定义在定义在-4,8-4,8上上的函数的函数y=f(x)y=f(x)的图象关的图象关于直线于直线x=2x=2对称对称,y=f(x),y=f(x)的部分图象如的部分图象如图图1-3-1-51-3-1-5所示所示,请补全请补全函数函数y=f(x)y=f(x)的图象的图象,并并写出其单调区间写出其单调区间,观察：观察：在函数图象对称轴两在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特侧的单调性有什么特点点?n n：(1)(1)函数函数y=x2-2xy=x2-2x的单调递减区间是的单调递减区间是(-,1),(-,1),单调单调递增区间是递增区间是(

11、1,+);(1,+);对称轴是直线对称轴是直线x=1;x=1;区间区间(-,1)(-,1)和区间和区间(1,+)(1,+)关于直线关于直线x=1x=1对称对称,而单调性相反而单调性相反.n n(2)(2)函数函数y=|x|y=|x|的单调递减区间是的单调递减区间是(-,0),(-,0),单调递增区单调递增区间是间是(0,+);(0,+);对称轴是对称轴是y y轴即直线轴即直线x=0;x=0;区间区间(-,0)(-,0)和区间和区间(0,+)(0,+)关于直线关于直线x=0 x=0对称对称,而单调性相反而单调性相反.n n(3)(3)函数函数y=f(x),xy=f(x),x-4,8-4,8的图象

12、如图的图象如图1-3-1-6.1-3-1-6.n n函数函数y=f(x)y=f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是-4,-1-4,-1,2,52,5;单调单调递减区间是递减区间是5,85,8,-1,2-1,2;区间区间-4,-1-4,-1和区间和区间5,85,8关于直线关于直线x=2x=2对称对称,而单调性相反而单调性相反,区间区间-1,21,2和区间和区间2,52,5关于直线关于直线x=2x=2对称对称,而单调性相反而单调性相反.n n(4)(4)可以发现结论可以发现结论:如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)的图象关于直线的图象关于直线x=mx=m对称对称,那么函数那么函数y=f(x)

13、y=f(x)在直线在直线x=mx=m两侧对称单调区两侧对称单调区间内具有相反的单调性间内具有相反的单调性.证明如下证明如下:n n不妨设函数不妨设函数y=f(x)y=f(x)在对称轴直线在对称轴直线x=mx=m的右侧一个区间的右侧一个区间a,ba,b上是增函数上是增函数,区间区间a,ba,b关于直线关于直线x=mx=m的对称的对称区间是区间是2m-b,2m-a2m-b,2m-a.n n由于函数由于函数y=f(x)y=f(x)的图象关于直线的图象关于直线x=mx=m对称对称,则则f(x)=f(2m-x).f(x)=f(2m-x).n n设设2m-bx1x22m-a,2m-bx12m-x2a,b2

14、m-x12m-x2a,n nf(x1)-f(x2)=f(2m-x1)-f(2m-x2).f(x1)-f(x2)=f(2m-x1)-f(2m-x2).n n又又函数函数y=f(x)y=f(x)在在a,ba,b上是增函数上是增函数,f(2m-x1)-f(2m-x1)-f(2m-x2)0.f(2m-x2)0.n nf(x1)-f(x2)0.f(x1)-f(x2)0.f(x1)f(x2).f(x1)f(x2).n n函数函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间2m-b,2m-a2m-b,2m-a上是减函数上是减函数.n n当函数当函数y=f(x)y=f(x)在对称轴直线在对称轴直线x=mx=m的右侧一

15、个区间的右侧一个区间a,ba,b上是增函数时上是增函数时,其在其在a,ba,b关于直线关于直线x=mx=m的对的对称区间称区间2m-b,2m-a2m-b,2m-a上是减函数上是减函数,即单调性相反即单调性相反.n n因此有结论:如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,那么函数y=f(x)在对称轴两侧的对称单调区间内具有相反的单调性.强调强调n n1.单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性.n n2.有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数).n n3.函数在定义域内的两个

16、区间A、B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在AB上是增（或减）函数.n n判断下列说法是否正确：判断下列说法是否正确：n n已知已知f(x)=,f(x)=,因为因为f(-1)f(2),f(-1)f(2),所以函数所以函数f(x)f(x)是增函数是增函数.n n若函数若函数f(x)f(x)满足满足f(2)f(3),f(2)f(3),则函数则函数f(x)f(x)在区间在区间2,32,3上为增函数上为增函数.n n若函数若函数f(x)f(x)在区间在区间(1,2(1,2和和(2,3)(2,3)上均为增函数，上均为增函数，则函数则函数f(x)f(x)在区间在区间(1,3)(1,3)上为增函数上为

17、增函数.n n因为函数因为函数f(x)=f(x)=在区间在区间(-,0)(-,0)和和(0,+)(0,+)上都是减上都是减函数，所以函数，所以f(x)=f(x)=在在(-,0)(-,0)(0,+)(0,+)上是减函数上是减函数.n n答案：答案：这四个判断都是错误的 n n知识点知识点1 复合函数复合函数n n如果y是u的函数，而u又是x的函数，即y=f(u)，u=g(x)，那么y关于x的函数y=fg(x)叫做函数f和g的复合函数，u叫做中间变量n n若f(u)的定义域是集合A，g(x)的值域是集合B，当且仅当AB时，复合函数fg(x)的定义域是g(x)的定义域n n知识点知识点2 复合函数的

18、单调性复合函数的单调性n n对于函数和，如果在区间上是具有单调性，当时，且在区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性的规律见下表：n n以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减 n n证：证：设，且,在上是增函数，n n且.在上是增函数，.所以复合函数在区间上是增函数。n n 设，且，在上是增函数，n n且,在上是减函数，.所以复合函数在区间上是减函数。n n 设，且，在上是减函数，n n且,在上是增函数，.所以复合函数在区间上是减函数。n n 设，且，在上是减函数，n n且,在上是减函数，.所以复合函数在区间上是增函数。n n例例1 设，当,时，试证明函数在区间0,上为单

19、调减函数。n n.画出函数y=x22|x|3的图象，指出函数的单调区间和最大值.n n解解由图象得，函数的图象在区间（，1）和0，1上是上升的，在1，0和（1，）上是下降的，最高点是(1,4)，n n故函数在（，1），0，1上是增函数；函数在1，0，（1，）上是减函数，最大值是4.n n菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？n n由二次函数的知识，由二次函数的知识，对于函数对于函数h(t)=-h

20、(t)=-4.9t2+14.7t+184.9t2+14.7t+18，我们，我们有：有：n n当当t=1.5t=1.5时，函数有最时，函数有最大值大值,n n即烟花冲出去后即烟花冲出去后1.5s1.5s是是它爆裂的最佳时刻，它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约这时距地面的高度约是是29m.29m.n n画出 f(x)=x2 f(x)=|x|n n两个函数图象都是轴对称图形，都关于y轴对称；n n函数图象的这个特征反映在解析式上就是：都有f(-3)=f(3),n nf(-2)=f(2),f(-1)=f(1)。n n事实上，这两个函数对于定义域内任意的一个x都有f(-x)=f(x),这样的函数我们就

21、称为是偶函数。n n画 f(x)=x f(x)=1/xn n两个函数图象都是中心对称图形，都关于原点轴对称；n n函数图象的这个特征反映在解析式上就是：都有f(-3)=-f(3),n nf(-2)=-f(2),f(-1)=-f(1)。n n事实上，这两个函数对于定义域内任意的一个x都有f(-x)=-f(x),这样的函数我们就称为是奇函数。n n1.说出下列函数的奇偶性n nf(x)=x4(偶函数)f(x)=x3（奇函数）f(x)=x-2（偶函数）n nf(x)=x2+1(偶函数)f(x)=x,x-1,2)(非奇非 n n说出下列函数的奇偶性 f(x)=x3+x f(x)=3x4+6x2+an n解:定义域为R n n f(-x)=(-x)3+(-x)n n =-x3-xn n =-(x3+x)n n 即 f(-x)=-f(x)n n f(x)为奇函数