第二型线积分和面积分精选PPT.ppt

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1、第二型线积分和面积分2009年5月南京航空航天大学 理学院 数学系1第1页，本讲稿共39页若若对全空间或其中某一区域对全空间或其中某一区域 V 中每一点中每一点 M,都有一都有一 个数量个数量 (或向量或向量)与之对应与之对应,则称则称在在 V 上给定了一个上给定了一个 数量场数量场 (或向量场或向量场).例如例如:温度和密度都是数量场温度和密度都是数量场,M 的位置可由坐标确定的位置可由坐标确定.因此给定了某个数量场就因此给定了某个数量场就总是设它对每总是设它对每个变量都有一阶连续偏导数个变量都有一阶连续偏导数.同理同理,每每 重力和速度都是向量场重力和速度都是向量场.在引进了直角坐标系后在

2、引进了直角坐标系后,点点 等于给定了一个等于给定了一个数量函数数量函数 在在以下讨论中以下讨论中 场的概念场的概念第2页，本讲稿共39页个向量个向量场场都与某个向量函数都与某个向量函数 相相对应对应.这里这里 P,Q,R 为所定义区域上的数量函数为所定义区域上的数量函数,并假定它们有一阶连续偏导数并假定它们有一阶连续偏导数.如如,设一个质点在设一个质点在处受处受点点 O 的距离成正比的距离成正比,F 的大小与的大小与M 到原到原F 的方向的方向力力F 的作用的作用,与与OM 垂直且与垂直且与 y 轴夹锐角轴夹锐角,则则 第3页，本讲稿共39页磁力线等都是向量场线磁力线等都是向量场线.注注 场的

3、性质是它本身的属性场的性质是它本身的属性,和坐标系的引进无关和坐标系的引进无关.引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来 进行计算和研究它的性质进行计算和研究它的性质.则称曲线则称曲线 L 为向量场为向量场 的的向量场线向量场线.例如电力线、例如电力线、设设 L 为向量场中一条曲线为向量场中一条曲线.若若 L 上每点上每点 M 处的切线处的切线 方向都与向量函数方向都与向量函数 在该点的方向一致在该点的方向一致,即即 第4页，本讲稿共39页梯度场 我们已经介绍了梯度的概念我们已经介绍了梯度的概念,它它 方向上的方向导数方向上的方向导数.grad

4、u 是由数量场是由数量场 u 派生出来的一个向量场派生出来的一个向量场,称为称为 是由数量函数是由数量函数 所定义的向量函数所定义的向量函数 grad u 的方向就是使方向的方向就是使方向导导 梯度场梯度场.由前面知道由前面知道,数数 达到最大达到最大值值的方向的方向,就是在这个方就是在这个方 第5页，本讲稿共39页因因为为数量数量场场 的等的等值值面面 的法的法线线 方向方向为为 所以所以 grad u 恒与恒与 u 的的等值面等值面 正交正交.当把它作为运算符号来看待时当把它作为运算符号来看待时,梯度可写作梯度可写作 引进符号向量引进符号向量 第6页，本讲稿共39页解解 若以若以 上的上的

5、单单位向量位向量,则则有有 例例1 设质量为设质量为 m 的质点位于原点的质点位于原点,质量为质量为 1 的质点的质点 位于位于 记记 第7页，本讲稿共39页它表示两质点间的引力它表示两质点间的引力,方向朝着原点方向朝着原点,大小与质量大小与质量 的乘积成正比的乘积成正比,与两点间距离的平方成反比与两点间距离的平方成反比.这说这说明了引力明了引力场场是数量是数量场场 的梯度的梯度场场,因此因此常称常称 为为引力引力势势(gravitational potential).第8页，本讲稿共39页对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分1 1 1 1 第二类曲线积分的概念第二类曲线积分的概念第二类曲线积分的

6、概念第二类曲线积分的概念2 2 2 2 两类曲线积分的联系两类曲线积分的联系两类曲线积分的联系两类曲线积分的联系3 3 3 3 第二类曲线积分的计算第二类曲线积分的计算第二类曲线积分的计算第二类曲线积分的计算第9页，本讲稿共39页 向量函数向量函数其大小和方向都随点其大小和方向都随点M变化变化 有向曲线有向曲线指定了方向的曲线指定了方向的曲线.通常指出起点，终点来表明通常指出起点，终点来表明.是是向量向量预备知识预备知识第10页，本讲稿共39页第二型曲线积分的概念第二型曲线积分的概念1.1.问题的提出问题的提出 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功求变力求变力 对质点所作的功对质点所作的功W.

7、设一质点在变力设一质点在变力 作用下作用下,从点从点A点点B,常力沿直线所作的功常力沿直线所作的功处理办法处理办法分割分割近似代替近似代替取极限取极限求和求和第11页，本讲稿共39页（1）分割分割（2）近似代替近似代替(3)求和求和（4）取极限取极限第12页，本讲稿共39页第13页，本讲稿共39页2.2.定义定义 存在存在称此极限为向量称此极限为向量若若在有向在有向曲线曲线 上的上的第二类曲线积分第二类曲线积分函数函数(坐标形式坐标形式)(向量形式向量形式),或或对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分(与分法和点的取法无关与分法和点的取法无关！)，第14页，本讲稿共39页第二类曲线积分（向量形式）第

8、二类曲线积分（向量形式）第二类曲线积分（坐标形式）第二类曲线积分（坐标形式）积分路径积分路径被积函数被积函数单独形式单独形式称为对坐标称为对坐标 x 的曲线积分的曲线积分;称为对坐标称为对坐标 y的曲线积分的曲线积分.第15页，本讲稿共39页由定义，变力沿曲线所作的功由定义，变力沿曲线所作的功第16页，本讲稿共39页3.3.性质性质 注第二类曲线积分必须注意积分路径的第二类曲线积分必须注意积分路径的方向方向!第17页，本讲稿共39页两类曲线积分的联系两类曲线积分的联系第18页，本讲稿共39页类似地类似地,在在空间曲线空间曲线 上的两类曲线积分的联系是上的两类曲线积分的联系是其中其中简记为简记为

9、简记为简记为第19页，本讲稿共39页定理定理1 1 一定存在一定存在,且且第20页，本讲稿共39页例例将积分将积分化为对弧长的积化为对弧长的积分分,解解其中其中C 沿上半圆周沿上半圆周第21页，本讲稿共39页解解化为定积分化为定积分a ab b将积分将积分化为定积化为定积分分第23页，本讲稿共39页定理定理设设上连续，则上连续，则起点起点终点终点第二类曲线积分的计算第二类曲线积分的计算计算定积分计算定积分转转 化化求曲线积分求曲线积分当当t t由由a ab b时，对应的点时，对应的点M(x,y)从起点从起点A运动运动到终点到终点B 描出曲线描出曲线为端点的区间上连续，为端点的区间上连续，第24

10、页，本讲稿共39页注第25页，本讲稿共39页A B对应曲线上对应曲线上a ab b第26页，本讲稿共39页例例2 2 计算计算其中其中(1)(2)(3)解解(1)(2)(3)被积函数被积函数相同，相同，起起点和终点点和终点相同，但相同，但是是路径路径不不同，同，积分积分结果相同结果相同。第27页，本讲稿共39页例例3 3 计算曲线积分计算曲线积分解解第28页，本讲稿共39页例例4 4 设曲线设曲线G:G:从从 ox 轴正向看去轴正向看去为逆时针方向为逆时针方向,求曲线积分求曲线积分解解第29页，本讲稿共39页例例5 5 设一个质点在设一个质点在处受力处受力 的作用的作用,已知已知的方向指的方向

11、指向坐标原点向坐标原点,其大小与作其大小与作用点到用点到 xoy 面的面的距离成反比距离成反比.此质点由点此质点由点沿直线移动到沿直线移动到求求 F 所作的功所作的功 W.解解第30页，本讲稿共39页思考题思考题第31页，本讲稿共39页思考题解答思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定曲线方向由参数的变化方向而定.第32页，本讲稿共39页练练 习习 题题第33页，本讲稿共39页第34页，本讲稿共39页第35页，本讲稿共39页练习题答案练习题答案第36页，本讲稿共39页第37页，本讲稿共39页回顾回顾:常力沿直线所作的功常力沿直线所作的功若改变运动方向，即从点若改变运动方向，即从点B到点到点A所作

12、的功所作的功 有向曲线有向曲线指定了方向的曲线指定了方向的曲线.通常指出起点，终点来通常指出起点，终点来表明表明.与从点与从点A A到点到点B B所作的功大小相等，但符号相反所作的功大小相等，但符号相反.第38页，本讲稿共39页 向量函数向量函数在平面区域在平面区域D（或空间区域（或空间区域）中）中,其大小和方向都随点其大小和方向都随点M变化而变化变化而变化若若M ，如如,设一个质点在设一个质点在处受处受点点 O 的距离成正比的距离成正比,F 的大小与的大小与M 到原到原F 的方向的方向力力F 的作用的作用,与与OM 垂直且与垂直且与 y 轴夹锐角轴夹锐角,则则 一个向量与之对应，一个向量与之对应，即即其坐标为其坐标为（x,y,z）,则则每一点每一点M处都有处都有第39页，本讲稿共39页