江苏大数学分析-2-直角坐标系下二重积分的计算课件.ppt

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1、第二十一章 重积分1 二重积分的概念 2 直角坐标系下二重积分的计算 3 3 格林公式曲线积分与路线的无关性 4 4 二重积分的变量变换 5 三重积分 6 重积分的应用 2 直角坐标系下 二重积分的计算复习：曲顶柱体的体积复习：曲顶柱体的体积求以曲面求以曲面 为顶，底面为矩形为顶，底面为矩形 的曲顶柱体的体积的曲顶柱体的体积。求曲顶柱体体积步骤如下：求曲顶柱体体积步骤如下：分割分割：将矩形 任意分为 n 块可求面积的小块其面积仍记为 。相应地将曲顶柱体分割成 n 个小曲顶柱体，分别记为 近似代替：近似代替：在每一小块上任意取一点 则小曲顶柱体的体积 可用直柱体的体积近似代替，即 求和求和：把

2、n 个小曲顶柱体的体积相加，便得到所求曲顶柱体体积的近似值取极限，如果该极限存在，那末此极限值就定义为曲顶柱体的体积。这个和式的极限正好就是上一章引进的二重积分，故所求曲顶柱体的体积，等于相应的二重积分的值：取极限取极限：记 在和式中令 由于此曲顶柱体的底面是一矩形，所以此曲顶柱体的体积还可以用另一种方法来计算。先复习定积分应用中的一个结果：设空间立体位于平面 与平面 之间，用与 轴垂直的平面截立体，截得截面的截面面积为 ，则此立体的体积为化二重积分为二次积分化二重积分为二次积分作与 轴垂直的平面，设截得曲顶柱体截面的面积为立体位于平面与平面 之间，则曲顶柱体体积为而 就是平面 上，由曲线 与

3、直线 所围成的曲边梯形的面积，所以从而因此类似地，也可以用与 轴垂直的平面来截曲顶柱体，同样可得从上面的分析，可以得到下列结果：定理定理21.8 设 在矩形 上可积，含参变量积分 存在，则设 在矩形 上可积，含参变量积分 存在，则类似地可以给出先对 后对 积分的结果：设 在矩形 上连续，则我们经常使用的是连续函数，对连续函数有下列结果：定理21.9 前面讨论了矩形区域上的二重积分的计算方法，下面考虑一般区域上二重积分的计算。根据积分区域的特点，分三种情况讨论。这种区域的特点是：与 轴垂直的直线与区域的边界至多有两个交点，或者有部分边界是平行于 y 轴的直线段。这时二重积分可化为先对 后对 的二

4、次积分。第一种情形：积分区域 D 由两条曲线及两条直线围成，即作包含此积分区域的矩形令于是第二种情形：积分区域 D 由曲线及直线围成，即这时二重积分可化为先对 后对 的二次积分。这种区域的特点是：与 轴垂直的直线与区域的边界至多有两个交点，或者有部分边界是平行于 x 轴的直线段。第三种情形：一般情形，这时可用平行于 轴与平行于 轴的直线将积分区域分成上述两种情形求解。X型型区域的特点区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.Y型型区域的特点区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，若区域如图，在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式则必须分割则必须分割.解解积分区域如图积分区域如图解解积分区域如图积分区域如图解解原式原式解解解解解解解解曲面围成的立体如图曲面围成的立体如图.例8 求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积V.解 设这两个直交圆柱面的方程为：由图形的对称性=8=8=8=二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择在积分中要正确选择积分次序积分次序）小结Y型型X型型作业作业:P222:1,2,3,4.思考题思考题思考题解答思考题解答