《数学建模概述》PPT课件.ppt

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1、Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST第第一一章章 数学建模概述数学建模概述1.1 1.1 数学的应用与数学建模数学的应用与数学建模1.2 1.2 数学建模的基本问题数学建模的基本问题1.3 1.3 数学建模示例数学建模示例1.4 1.4 插值法与拟合法简介插值法与拟合法简介Mathematical modeling

2、Mathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST1.1 1.1 数学的应用与数学建模数学的应用与数学建模数学广泛地应用于各个领域，如数

3、学广泛地应用于各个领域，如:传统的物传统的物理学、天文学、力学，及现代的工程技术、理学、天文学、力学，及现代的工程技术、社会生活、信息技术等。社会生活、信息技术等。计算机技术的发展为数学的广泛应用创造计算机技术的发展为数学的广泛应用创造了条件，尤其是一些数学软件的开发使用，了条件，尤其是一些数学软件的开发使用，使得很多数学思想、方法得以实现。使得很多数学思想、方法得以实现。Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department o

4、f Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST数学模型数学模型(Mathematical Model)数学建模（数学建模（Mathematical Modeling)1.1 1.1 数学的应用与数学建模数学的应用与数学建模Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST对于一个

5、对于一个现实对象现实对象，为了一个，为了一个特定目的特定目的，根据其根据其内在规律内在规律，做出必要的，做出必要的简化假设简化假设，运用适当的运用适当的数学工具数学工具,得到的一个得到的一个数学结构数学结构数学模型数学模型(Mathematical Model)数学模型是实际对象的一种数学模型是实际对象的一种抽象模拟，它用数学符号、数学抽象模拟，它用数学符号、数学公式、图表、算法或程序描述现公式、图表、算法或程序描述现实对象中的数量关系。实对象中的数量关系。Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics H

6、UST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST数学建模（数学建模（Mathematical Modeling)建立数学模型的全过程建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、验证等）（包括表述、求解、解释、验证等）Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics

7、 HUSTDepartment of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST数学建模的全过程数学建模的全过程现实对象的信息现实对象的信息数学模型数学模型现实对象的解答现实对象的解答数学模型的解答数学模型的解答表述表述求解求解解释解释验证验证(归纳)(演绎)表述表述求解求解解释解释验证验证根据建模目的和信息将实际问题根据建模目的和信息将实际问题“翻译翻译”成数学问成数学

8、问题题选择适当的数学方法求得数学模型的解答选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答将数学语言表述的解答“翻译翻译”回实际对象回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答用现实对象的信息检验得到的解答实践现现实实世世界界数数学学世世界界理论实践Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST1.2 1.2 数学建模的

9、基本问题数学建模的基本问题数学建模的方法数学建模的方法数学建模的基本过程数学建模的基本过程数学模型的分类数学模型的分类怎样学好数学建模怎样学好数学建模数学建模竞赛数学建模竞赛Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST测试分析的方法：测试分析的方法：对客观事物的特性不能准对客观事物的特性不能准确认识，只能通过对问题的观测数

10、据的测量确认识，只能通过对问题的观测数据的测量和分析，找到与数据吻合最好的模型。和分析，找到与数据吻合最好的模型。如：如：回归分析方法，方差分析方法等。回归分析方法，方差分析方法等。数学建模的方法数学建模的方法机理分析的方法：机理分析的方法：根据对客观事物特性的认根据对客观事物特性的认识，分析其因果关系，通过推理分析得到的识，分析其因果关系，通过推理分析得到的数学模型。数学模型。如：如：微分方程方法，最优化方法等。微分方程方法，最优化方法等。Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Math

11、ematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST数学建模的基本过程数学建模的基本过程1.模型准备模型准备 了解问题的实际背景，明确建模目的，了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资料。收集掌握必要的数据资料。2.模型假设模型假设 在明确建模目的在明确建模目的,掌握必要资料的基础上掌握必要资料的基础上,通过对资料的分析计算通过对资料的分析计算,找出起主要作用的因素找出起主要作用的因素,经经 必要的精炼、简化必要的精炼、简化,提出若干符合客观实际的假设。提出若干符合客

12、观实际的假设。3.模型建立模型建立 在所作假设的基础上，利用适当的数学工在所作假设的基础上，利用适当的数学工 具去刻划各变量之间的关系具去刻划各变量之间的关系,建立相应的数学构建立相应的数学构 即建立数学模型。即建立数学模型。4.模型求解模型求解 选择适当的方法（解析法、数值法、画图选择适当的方法（解析法、数值法、画图法等）求解数学模型。法等）求解数学模型。5.模型的分析与检验模型的分析与检验 对模型进行理论或计算分析，并对模型进行理论或计算分析，并用实际数据检验是否符合实际。用实际数据检验是否符合实际。在难以得出解析解时，也应当在难以得出解析解时，也应当借助借助 计算机计算机 求出数值解。求

13、出数值解。实体信实体信息息(数据数据)假设假设建模建模求解求解验证验证应用应用Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST数学模型的分类数学模型的分类分类标准分类标准分类标准分类标准具体类别具体类别具体类别具体类别建模目的建模目的描述、优化、预报、决策描述、优化、预报、决策 对某个实际问题对某个实际问题了解的深入程度了解的

14、深入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中变量的特模型中变量的特征征连续型模型、离散型模型连续型模型、离散型模型或确定性模型、随机型模型等或确定性模型、随机型模型等建模中所用的数建模中所用的数学方法学方法初等模型、微分方程模型、初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优化模型等差分方程模型、优化模型等研究课题的实际研究课题的实际范畴范畴人口模型、生态系统模型人口模型、生态系统模型、交通、交通流模型、经流模型、经 济模型、基因模型等济模型、基因模型等Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathe

15、matics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST怎样学好数学建模怎样学好数学建模数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术技术大致有章可循技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则艺术无法归纳成普遍适用的准则想像力想像力洞察力洞察力判断力判断力 学习、分析、评价、改进别人做过的模型学习、分析、评价、改进别人做过的模型 亲自动手，认真做几个实际题目亲自动手，认真做几个实际题目Mathematical mo

16、delingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST数学建模竞赛数学建模竞赛美国大学生数学建模竞赛：美国大学生数学建模竞赛：1985年至今，每年一年至今，每年一次，时间在次，时间在2月初的第一个周五至下周二，共月初的第一个周五至下周二，共96小时。三名学生组成一队参赛，要完成以包括数小时。三名学生组成一队参赛，要完成以包括数学建模全过程为素材撰写的论文（学建模

17、全过程为素材撰写的论文（英文英文）。）。全国大学生数学建模竞赛：全国大学生数学建模竞赛：1992年至今，每年一年至今，每年一次，时间在次，时间在9月下旬第一个周五至下周一，共月下旬第一个周五至下周一，共72小时。三名学生组成一队参赛，要完成以包括数小时。三名学生组成一队参赛，要完成以包括数学建模全过程为素材撰写的论文。学建模全过程为素材撰写的论文。Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics

18、 HUSTDepartment of Mathematics HUST1.3 1.3 数学建模示例数学建模示例 稳定的椅子稳定的椅子 商人安全过河商人安全过河 人口增长预测人口增长预测Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST1.3.1 稳定的椅子稳定的椅子问题分析问题分析模型假设模型假设通常通常 三只脚着地三只脚着地

19、放稳放稳 四只脚着地四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。椅子能在不平的地面上放稳吗？椅子能在不平的地面上放稳吗？问问 题题Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department

20、of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST模型构成模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅脚连线椅脚连线)的对称性的对称性用用(对角线与对角线与x轴的夹角轴的夹角)表示椅子位置表示椅子位置 四只脚着地四只脚

21、着地距离是距离是 的函数的函数四个距离四个距离(四只脚四只脚)A,C 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 f()B,D 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 g()椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转正方形对称性正方形对称性两个两个 距离距离xBADCODC B A Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUSTDepartment of Ma

22、thematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUSTf(),g()是是连续函连续函数数对任意对任意,f(),g()至少一个为至少一个为0数学问题数学问题已知：已知：f(),g()是是连续函数连续函数;对任意对任意，f()g()=0;且且 g(0)=0，f(0)0.证明：证明：存在存在 0，使，使f(0)=g(0)=0.地面为连续曲面地面为连续曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置至少三只脚

23、着地至少三只脚着地用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来模型构成模型构成Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST模型求解模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子将椅子旋转旋转900，对角线，对角线AC和和BD互换。互换。由由g(0)=0

24、，f(0)0，知，知f(/2)=0,g(/2)0.令令h()=f()g(),则则h(0)0和和h(/2)0.由由 f,g的连续性知的连续性知 h为连续函数为连续函数,据连续函数的基本性据连续函数的基本性质质,必存在必存在 0,使使h(0)=0,即即f(0)=g(0).因为因为f()g()=0,所以所以f(0)=g(0)=0.建模的关键建模的关键:假设条件的本质与非本质假设条件的本质与非本质 考察四脚连线呈长方形的椅子考察四脚连线呈长方形的椅子 和和 f(),g()的确的确定定评注和评注和思考思考:Mathematical modelingMathematical modelingDepartm

25、ent of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST问题问题(智力游戏智力游戏)3名商人名商人 3名随从名随从随从们密约随从们密约,在河的任一在河的任一岸岸,一旦随从的人数比商一旦随从的人数比商

26、人多人多,就杀人越货就杀人越货.但是乘船渡河的方案由商人决定但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河商人们怎样才能安全过河?问题分析问题分析多步决策过程多步决策过程决策决策 每一步每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员船上的人员要求要求在安全的前提下在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多两岸的随从数不比商人多),),经有限步使全体人员过河经有限步使全体人员过河.河河小船小船(至多至多2人人)1.3.2 商人安全过河商人安全过河Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematic

27、s HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST模型构成模型构成yk第第k次渡河前此岸的随从数次渡河前此岸的随从数xk,yk=0,1,2,3;k=1,2,sk=(xk,yk)过程的状态过程的状态S=(x,y)x=0,y=0,

28、1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2S 允许状态集合允许状态集合uk第第k次渡船上的商人数次渡船上的商人数vk第第k次渡船上的随从数次渡船上的随从数dk=(uk,vk)决策决策D=(u,v)u+v=1,2 允许允许决策决策集集合合uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk dk+(-1)k状态转移律状态转移律求求dk D(k=1,2,n),使使sk S,并并按状按状态态转移律转移律由由 s1=(3,3)到达到达 sn+1=(0,0).多步决策问题多步决策问题xk第第k次渡河前此岸的商人数次渡河前此岸的商人数设设Mathematical modelingMathemat

29、ical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST模型求解模型求解xy3322110 穷举法穷举法 编程上机编程上机 图解法图解法状态状态s=(x,y)

30、16个格点个格点 10个个 点点允许决策允许决策 移动移动1或或2格格;k奇奇,左下移左下移;k偶偶,右上移右上移.s1sn+1d1,，d11给出安全渡河方案给出安全渡河方案规格化方法规格化方法,易于推广易于推广考虑考虑4 4名商人各带一名随从的情况名商人各带一名随从的情况d1d11允许状态允许状态S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2评注和评注和思考思考:Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling 20

31、08 Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST背景背景 年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口(亿亿)5 10 20 30 40 50 60世界人口增长概况世界人口增长概况世界人口增长概况世界人口增长概况中国人口增长概况中国人口增长概况 年

32、年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口人口(亿亿)3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口变化规律研究人口变化规律控制人口过快增长控制人口过快增长1.3.4 人口增长预测人口增长预测目的目的Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUSTDe

33、partment of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST指数增长模型指数增长模型马尔萨斯提出马尔萨斯提出(1798)常用的计算公式常用的计算公式 N(t)时刻时刻t的的人口人口基本假设基本假设:人口人口(相对相对)增长率增长率 r 是常数是常数,今年人口今年人口 N0,年增长率年增长率 r=b-d，k 年后人口年后人口随着时间增加，人口按指数规律无限增长随着时间增加，人口按指数规律无限增长Mathematical mod

34、elingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST指数增长模型的应用及局限性指数增长模型的应用及局限性 与与19世纪以前欧洲一

35、些地区人口统计数据吻合世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测可用于短期人口增长预测 不符合不符合19世纪后多数地区人口增长规律世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程不能预测较长期的人口增长过程1919世纪后人口数据世纪后人口数据 人口增长率人口增长率r不是常数不是常数(逐渐下降逐渐下降)Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling 20

36、08 Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的人口增长到一定数量后，增长率下降的原因原因：1.资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用2.阻滞作用随人口数量增加而变大

37、阻滞作用随人口数量增加而变大假设假设r固有增长率固有增长率 (N很小时很小时)Nm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r是是N的减函数的减函数Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Model

38、ing 2008 Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST0dN/dtNNmNm/2NmtN0N(t)S形曲线形曲线,N增加先快后慢增加先快后慢N0Nm/2阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics

39、HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST 阻滞增长模型有一个稳定的平衡值阻滞增长模型有一个稳定的平衡值Nm,这比指这比指 数增长模型更符合实际。数增长模型更符合实际。利用美国人口统计数据，检验上述两个模型利用美国人口统计数据，检验上述两个模型 取取r=0.03134,Nm=197273000,得到的计算结果得到的计算结果 显示逻辑增长模型与实际误差更小。显示逻辑增长模型与实际误差更小。这里的参

40、数这里的参数r和和Nm是专家估计给出的，实际上，是专家估计给出的，实际上，它们包括它们包括N0都可以通过参数估计得到。都可以通过参数估计得到。阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical

41、 Modeling 2008 Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST估计估计中的参数中的参数r和和N0 对模型取对数，得对模型取对数，得 用线性最小二乘法（利用计算机计算）可求得用线性最小二乘法（利用计算机计算）可求得 参数参数a和和r，从而得到，从而得到N0和和r。利用美国利用美国1790-1900年数据，算得年数据，算得 N0=4.1184（百万（百万),r=0.2743（每（每10年）年）阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)Mathematical modelingMathematical

42、modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST估计估计中的参数中的参数Nm,r由由 利用数值微分可算出右端值，再利用线性最小利用数值微分可算出右端值，再利用线性最小 二乘法，即可求得二乘法，即可求得r和和s。利用美国利用美国1860-1990年数据计算得年数据计算得Nm=392.0886,r=0.2557