高等数学23隐函数导数、参数方程求导、函数相关变化率.pdf

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1、一、隐函数的导数二、对数求导法三、由参数方程所确定的函数的导数四、相关变化率一、隐函数的导数二、对数求导法三、由参数方程所确定的函数的导数四、相关变化率3.隐函数导数、参数方程求导、函数相关变化率隐函数导数、参数方程求导、函数相关变化率显函数显函数)(xfy 以上讨论的求导法则是关于类型有些函数自变量和因变量的关系是通过方程以上讨论的求导法则是关于类型有些函数自变量和因变量的关系是通过方程0),(yxF例如来确定，例如来确定，3622 yx隐函数隐函数定义:定义:(,)0F x y 基本求导法则与求导公式基本求导法则与求导公式()yy x 如果在方程如果在方程(,)0F x y 中，中，x当取

2、某个区间的任意值时，当取某个区间的任意值时，y相应的总有满足方程唯一的值存在，则方程确定了一个隐函数相应的总有满足方程唯一的值存在，则方程确定了一个隐函数一、隐函数的导数一、隐函数的导数0),(yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化常常遇到隐函数求导问题常常遇到隐函数求导问题:隐函数求导法则:隐函数求导法则:0yxeexy如如3510 xy 如：如：求隐函数表示的曲线上的切线将求隐函数表示的曲线上的切线将y视为视为x的函数，的函数，有不少隐函数是不能显化的有不少隐函数是不能显化的:1135yx在在F(x,y)=0的两端利用复合函数的两端利用复合函数y 的表达式求导法从中解出对的表达式求导法

3、从中解出对x求导，求导，例1例1y解解解得解得dydx 0,x 0 xdydx.1 一、隐函数的导数一、隐函数的导数ydxdyx xe ye 0,dydx0,xyeyxe 00 xxyyeyxe x上式两边对求导上式两边对求导y 将带入原方程得将带入原方程得求由方程所确定的隐函数的导数求由方程所确定的隐函数的导数0 xyxyee 0.xdydx,dydx并求并求例2例2解解yx 33 3(,)2 2y .1 所求切线方程为所求切线方程为32y 30.xy 即即3322yx,xy 即即显然通过原点显然通过原点.23x23y y3一、隐函数的导数一、隐函数的导数y 3 3(,)2 222yxyx所

4、求法线方程为所求法线方程为3()2x x上式两边对求导上式两边对求导333,xyxy设曲线设曲线C的方程为求过的方程为求过C上点的切线方程，上点的切线方程，3 3(,)2 2并证明曲线并证明曲线C在该点的法线通过原点在该点的法线通过原点二、对数求导法二、对数求导法32(1)1,(4)xxxyxe 方法:方法:先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导 方法求出导数然后利用隐函数的求导 方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围:适用范围:()()v xu xsin;xyx 问题（包括隐函数和显函数）问题（包括隐函数和显函数）显函数显函数隐函数问题隐函数问题yxxy 确定函数确

5、定函数特征:特征:隐函数求导法则:隐函数求导法则:(x)yy多个函数相乘和幂指数函数的情形将多个函数相乘和幂指数函数的情形将y视为视为x的函数，在的函数，在F（x,y）=0的两端利用的两端利用y 的表达式求导法对的表达式求导法对x求导，从中解出求导，从中解出 y 求 y 求例3例3解解y 等式两边取对数得等式两边取对数得ln y x yy32(1)1,.(4)xxxyyxe 求求二、对数求导法二、对数求导法142)1(3111xxxln(1)x 32(1)11121(4)13(1)4xxxxexxx lnba lnba2ln(4)x 1ln(1)3x x lnlnlnabab lnlnlnaa

6、bb上式两边对求导设上式两边对求导设例3例3解解y 等式两边取对数得等式两边取对数得ln y x32(1)1,.(4)xxxyyxe 求求二、对数求导法二、对数求导法注意显函数y要回代注意显函数y要回代 *ln x 1xln(1)x 32(1)11121(4)13(1)4xxxxexxx lnba lnba2ln(4)x 1ln(1)3x x lnlnlnabab lnlnlnaabb上式两边对求导设上式两边对求导设例4例4解解sin(0),.xyxxy 求求等式两边取对数得等式两边取对数得ln y1yy y )sinln(cossinxxxxxx二、对数求导法二、对数求导法()().dyfu

7、xdx sinlnxx coslnxx 1sin xx 1(coslnsin)yxxxx sinlnxx lnba lnbax上式两边对求导设上式两边对求导设二、对数求导法二、对数求导法yxxy 例5例5等式两边取对数得等式两边取对数得lnyx lnyx yxln y yxy y()().dyfuxdx ln xy(x)yy确定函数确定函数x上式两边对求导从中解出上式两边对求导从中解出 y 求解：求解：二、对数求导法二、对数求导法2sinyxxyx问题：方法问题：方法:幂指函数幂指函数e可用对数恒等变换可用对数恒等变换e ba lnbaelnyxlnxy2sin x yxxy(x)yy确定函数

8、确定函数确定函数确定函数(x)yyx上式两边对求导上式两边对求导也可用对数恒等变换，可用隐函数和复合函数求导法求解也可用对数恒等变换，可用隐函数和复合函数求导法求解 y 求求 y 求求 xyelnxxcossin2 1(ln)yxyx yxeln(ln)yyxy 二、对数求导法二、对数求导法2sinyxxyx问题：方法问题：方法:幂指函数幂指函数e可用对数恒等变换可用对数恒等变换e ba lnbaelnyxlnxy2sin x 确定函数确定函数(x)yyx上式两边对求导也可用对数恒等变换，可用隐函数和复合函数求导法求解上式两边对求导也可用对数恒等变换，可用隐函数和复合函数求导法求解 y 求求

9、xyelnxxcossin2 1(ln)yxyx yxeln(ln)yyxy 1(ln)(ln)2sincosyxyxyxyyyxxxxy 对数恒等变换要还原对数恒等变换要还原y 从中解出从中解出(1)对数求导法(1)对数求导法(2)对数恒等变换求导(2)对数恒等变换求导显函数y注意回代显函数y注意回代注意还原注意还原二、对数求导法二、对数求导法2 sinyxxyx例例.),0(sinyxxyx 求设例求设例*幂指函数求导*幂指函数求导)()(xvxuba 隐函数求导与显函数求导结果的区别隐函数求导与显函数求导结果的区别：隐函数导数表达式既有：隐函数导数表达式既有 x又有又有 y,x与与y满足

10、方程满足方程F(x,y)0，注意整理求导结果，使之化到最简形式，注意整理求导结果，使之化到最简形式lnbae.y 求求三、由参数方程所确定的函数的导数三、由参数方程所确定的函数的导数2()2x()()xtyt 例如例如,22tytxt 2yt42x y 消去参数消去参数问题问题:t二、对数求导法一、隐函数求导二、对数求导法一、隐函数求导12x消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?2x如果参数方程确定了 与间的函数关系称此为由参数方程所确定的函数如果参数方程确定了 与间的函数关系称此为由参数方程所确定的函数yx()xt y(),()xtyt 由复合函数及反函数的求导法则得由复合函

11、数及反函数的求导法则得 dxdydtdxdtdy1)()(tt ttxyttdxdy )()()()(tytxdydt 三、由参数方程所确定的函数的导数三、由参数方程所确定的函数的导数dtdx1()x t 设函数具有单调连续的反函数设函数具有单调连续的反函数1(),x 在方程中设函数都可导，在方程中设函数都可导，()0,t 且且例6例6解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2tdydx .1(sin)(1cos)2xa tttyat 在在2t 所求切线方程为所求切线方程为)12(axay(2)2yxa()()ttydytdxtx sin21cos2 x (1

12、),2a y .a求摆线处的切线求摆线处的切线四、相关变化率四、相关变化率)()(tytx相关变化率问题:相关变化率问题:已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?xdxdt在方程中在方程中(),()xx tyy t 设都可导，与存在函数关系设都可导，与存在函数关系y(),yf x 变化率与变化率也存在函数关系变化率与变化率也存在函数关系dydt这样两个相互依赖的变化率称为相关变化率这样两个相互依赖的变化率称为相关变化率例7例7解解tan()t 2sec dhdt 2500,sechm ddt 仰角增加率仰角增加率 米米500米米h（相关方程）（相关方程

13、）()500h tddt 1500dhdt 2140/min,m0.14(/min)radt设时刻，设时刻，h气球上升高度为气球上升高度为 观察员视线的仰角为一气球从离开观察员处离地面铅直上升，当气球高度为观察员视线的仰角增加率是多少观察员视线的仰角为一气球从离开观察员处离地面铅直上升，当气球高度为观察员视线的仰角增加率是多少140/min,m500m其速率为时，其速率为时，500mt上式两边对 求导上式两边对 求导四、相关变化率四、相关变化率(,)0F x y 求相关变化率的方法求相关变化率的方法dxdydtdt与与1、由已知条件计算相关变化率、由已知条件计算相关变化率3、找到3个变量，、找

14、到3个变量，500mx(t)、y(t)1、在某一时刻其中两个变量之间的联系、在某一时刻其中两个变量之间的联系2、按隐函数和复合函数求导法，将方程两端变量（比如、按隐函数和复合函数求导法，将方程两端变量（比如t）求导，得到变化率之间的关系一气球从离开观察员处离地面铅直上升，当气球高度为观察员视线的仰角增加率是多少）求导，得到变化率之间的关系一气球从离开观察员处离地面铅直上升，当气球高度为观察员视线的仰角增加率是多少140/minm500m其速率为时，其速率为时，x，y，t，根据几何或物理关系对另外一个建立x，y，t，根据几何或物理关系对另外一个建立四、相关变化率四、相关变化率求相关变化率的方法求

15、相关变化率的方法1、由已知条件计算相关变化率、由已知条件计算相关变化率3、找到、找到3个变量，个变量，x，y，t，x(t)、y(t)10cm/s(,)0F x y dxdydtdt与与1、在某一时刻根据几何或物理关系建立其中两个变量之间的联系、在某一时刻根据几何或物理关系建立其中两个变量之间的联系2、按隐函数和复合函数求导法，将方程两端对另外一个变量（比如、按隐函数和复合函数求导法，将方程两端对另外一个变量（比如t）求导，得到变化率已知一气球的半径以的速度增大，时，气体体积的增大速率。求半径为）求导，得到变化率已知一气球的半径以的速度增大，时，气体体积的增大速率。求半径为10cm例例8四、相关

16、变化率四、相关变化率V dVdt dVdt（相关方程）（相关方程）10drrcmdt，设设t时刻时刻,343r 24 r 10(/)cm s34000(/)cms drdt体积为体积为 V,半径为半径为r,则有则有10cm/s已知一气球的半径以时，求半径为已知一气球的半径以时，求半径为10cm的速度增大，气体体积的增大速率。例的速度增大，气体体积的增大速率。例8解解小 结隐函数求导法则:隐函数求导法则:直接对方程两边求导;直接对方程两边求导;对数求导法对数求导法:对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导:对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导参数方程求导参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则;实质上是利用复合函数求导法则;相关变化率相关变化率:通过函数关系确定两个相互依赖的变化率;:通过函数关系确定两个相互依赖的变化率;解法:解法:通过建立相关方程,用链式求导法求解.通过建立相关方程,用链式求导法求解.