趣味数学游戏——幻方.doc

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1、趣味数学游戏幻方当你还是个小学生的时候，也许就玩过这样一种数学益智游戏，就是把1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字，分别填在33的方格里，使之横、竖、对角线的数字相加都等于15（如下图），这样的“填数”的问题，在数学语言里就叫“幻方”。而填在33方格里的，就叫3阶幻方。3阶幻方是最简单的幻方。历代数学家们，都喜欢研究幻方，现在的幻方种类很多，有平面幻方，还有立体幻方、高次幻方等，平面幻方又分三角幻方，六角幻方（蜂窝幻方）等。这里要重点介绍的，还是平面正方形幻方，3阶正方形幻方的等值是15，,这个等值是不可改变的，即是说你永远都无法设计出等值是14或者16的3阶幻方，对于4阶、5阶幻方乃

2、至n阶幻方都一样，其等值都是唯一的、确定的。其中4阶幻方的等值是34，5阶幻方的等值是65，对于任意n阶幻方，其等值为（n3+n）2。其实，任意阶幻方构造法,任意维幻方构造法,任意次幻方构造法,数学家们都早已找到，不存在最大阶幻方的世界纪录之类的说法。对平面幻方的构造，分为三种情况：N为奇数、N为4的倍数、N为其它偶数(4n+2的形式)1、 N 为奇数时，最简单(1) 将1放在第一行中间一列;(2) 从2开始直到nn止各数依次按下列规则存放：按 45方向行走，如向右上，每一个数存放的行比前一个数的行数减1，列数加1(3) 如果行列范围超出矩阵范围，则回绕。例如1在第1行，则2应放在最下一行，列

3、数同样加1;(4) 如果按上面规则确定的位置上已有数，或上一个数是第1行第n列时，则把下一个数放在上一个数的下面。2、 N为4的倍数时采用对称元素交换法。首先把数1到nn按从上至下，从左到右顺序填入矩阵然后将方阵的所有44子方阵中的两对角线上位置的数关于方阵中心作对称交换，即a(i,j)与a(n-1-i,n-1-j)交换，所有其它位置上的数不变。(或者将对角线不变，其它位置对称交换也可)3、单偶阶幻方n为偶 数，且不 能 被 4整除(n=6，10，14，18，22) (n=4k+2，k=1，2，3，4，5)这是三种里面最复杂的幻方。以n=10为例。这时，k=2。 (1) 把方阵分为A，B，C，

4、D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数 阶。用楼 梯法，依次在A象限，D象限，B像限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。(2) 在A象限的中间行、中 间 格开始，按自左向右的方向，标出K格，A象限的其它行则标出最左边的k格。将这些格，和C象限相对位置上的数，互换位(3) 在B象限任一行的中间格，自右向左，标出k-1列。(注：6阶幻方由于k-1=0，所以不用再作B、D象限的数据交换)，将B象限标出的这些数，和D象限相对位置上的数进行交换，就形成幻方。填幻方，看起来很麻烦，其实掌握了方法就很简单了。以下是按照上面介绍的方法，构造出的平面幻方图。 在matlab中输入magic（n）就会随机出现一个n阶魔方矩阵。还有其他一些平面幻方，下面简单列出一些：1、 三角幻方2、 幻方（六角幻方）