2013年高中数学教学论文 在解析几何中求参数范围的9种.pdf

《2013年高中数学教学论文 在解析几何中求参数范围的9种.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013年高中数学教学论文 在解析几何中求参数范围的9种.pdf（12页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、从高考解几题谈求参数取值范围的九个背景 从高考解几题谈求参数取值范围的九个背景 解析几何中确定参数的取值范围是一类转为常见的探索性问题，历年高考试题中也常出现此类问题。由于不少考生在处理这类问题时无从下手，不知道确定参数范围的函数关系或不等关系从何而来，本文通过一些实例介绍这类问题形成的几个背景及相应的解法，期望对考生的备考有所帮助。背景之一：题目所给的条件 利用题设条件能沟通所求参数与曲线上点的坐标或曲线的特征参数之间的联系，建立不等式或不等式组求解。这是求范围问题最显然的一个背景。例 1：椭圆),0(12222为半焦距cbcabyax的焦点为F1、F2，点P(x,y)为其上的动点，当F1P

2、F2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是_。解：设P(x1,y)，F1PF2是钝角cosF1PF2=|2|212212221PFPFFFPFPF 222212221)(|0ycxFFPFPF2)(cx 22224yxcy22222222222)(xabacxaabxc)(2222222xb bccac 2222bccaxbcca。说明：利用F1PF2为钝角，得到一个不等式是解题的关键。把本题特殊化就可以得到 2000年全国高考题理科第 14 题：椭圆14922yx的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是_。（答案为 x553(，)553）例 2：（200

3、0 年全国高考题理科第 22 题）如图，已知梯形ABCD 中，AB=2CD，点 E 分有向线段 AC 所成的比为，双曲线过点 C、D、E 三点，且以 A、B 为焦点。当4332时，求双曲线离心率 e 的取值范围。解：如图，以线段AB的垂直平分线为 y 轴。因为双曲线经过点C、D，且与A、B为焦点，用心 爱心 专心1由双曲线的对称性知C、D关y轴对称，依题意，记A)0,(c，C(2c，h)0，E(xy0),其中c=AB为双曲线的半焦距，h是梯形的高。21由定比分点坐标公式得：x0=12cc=)1)2(2(c，y0=1h。设双曲线方程为22ax22by=1，则离心率 e=ac。由点 C、E 在双曲

4、线上，将点 C、E 的坐标和 e=ac代入双曲线方程得 14222bhe 1)1()12(422222bhe 由式得14222ebh 将式代入式，整理得：23121222eee 10743231322ee 说明：建立与 e 的函数关系式，再利用已知的范围，即可求得 e 的范围。背景之二：曲线自身的范围 圆、椭圆、双曲线及抛物线都有自身的范围，如椭圆abyax(12222b0)中，x,10,ebbyaa，利用这些范围是确定参数范围的途径之一。例 3：（2002 年全国高考题）设点 P 到点 M(1，0)、N(1，0)距离之差为 2m，到x轴、y轴距离之比为 2，求m的取值范围。解：设点 P 的坐

5、标为(x，y)，由题设得2|xy，即 y=0,2xx 由于 x，所以点 P(x，y)、M(1，0)、N(1，0)三点不共线，得 01|02|2|0mMNmPNPM 因此，点 P 在以 M、N 为焦点，实轴长为 2m的双曲线上，故 用心 爱心 专心222221mymx=1 将式代入，解得222251)1(mmmx 由且，得22mx 012mmm55051255，又m0)0,55(m(0,)55 说明：P 到x轴、y 轴距离之比为 2，所以 P 不能在x轴上，由此得到m，这一隐含条件容易忽视。0例 4：（2004 年全国卷理科 21 题 文科 22 题）设椭圆1122ymx的 两个焦点是F1(c,

6、0)与F2(c,0)(c 0)，且椭圆上存在一点P，使得直线PF1与PF2垂直。(1)求实数m的取值范围；(2)设 相应于焦点Fl2的准线，直线PF2与l相交于Q，若32|2线PFPFQF，求直。)依题设有m11,即m 0，c=2的方程解：(1m,设点P的坐标为(x0,y0)，由PFPF2，得1myxcxycxy202000001 将与112020ymx联立，解得xmymm1,12020 由此得 0m0110112mmmm 1m 故m1,+)(2)答案为 y()(x-2=23)(解答略)程有解 背景之三：二次方的条件用心 爱心 专心3直线和圆锥曲线的关系，是解析几何中最常见的关系，它们联立消元

7、后所得的判别式非负是例 5：（全国高考题）给定双曲线x直线和圆锥曲线有公共点的充要条件；若有限制条件，则还应考虑根的分布情况等，这是确定参数取值范围的一个常见背景。22y=1，过点B(1，1)能否作直线 l，使l与所给双曲线交于P1及P2，且点B是线段P1P2的中点？这样的直线l如果存在，求出它的在时，满足题设条件的l不存在。方程；如果不存在，说明理由。解：画出图像知，当直线斜率不存1222x当直线l斜率存在时，设为k，则l方程为 y=k(x1)1，联立y，得。设032)22()2(2222kkxkkxk,22222,12),(),(2221222111kkkkxxyxPyxP即则此时 002

8、,0)32)(2(4)22(22222且不满足kkkkkk。故满足已知条件的直线l不存在。题 文科 20 题）直线1:kxyl例 6：（2004 年湖北省高考题理科 20与双曲线(1)求实数k线段 AB 为直径的圆经过曲线 C 的右焦点 F？若存在，求出k的值依题曲线 C 的右1222yx的右支交于不同的两点 A、B。的取值范围；:C(2)是否存在实数k，使得以；若不存在，说明理由。解：(1)将直线1kxy代入双曲线方程，并整理得022)2(22kxxk 意，直线l与双支交于不同两点，故 022k0220220)2(8)2(2222kkkkk22k(2)答案是存在566k满足题设。用心 爱心

9、专心4说明：问题(1)涉及到直线与双曲线右支相交的问题，转化为方程有不等 的两正根，由方程根的分布的充要条件建立不等式组即可。某个变量的范围，然后找出这个变量与欲求的参变量之间的关系，进而求解。背景之四：已知变量的范围 利用题中给出的某个已知变量的范围，或由已知条件求出1、双参数中知道其中一个参数的范围；例 7：（2004 年浙江省高考题理科 21题 文科 22 题）已知双曲线的中心在原点，右顶点为A(1,0)到直线 AP 的距离为 1。(1)若直线 AP 的斜率为k，且 0)，点 P、Q 在双曲线的右支上，点 M(m,3,33|k，求实数m的取值范围；(2)当12 m时，的内心恰好是点 M，

10、求此双曲线的方程 解：(1)由条件知直线 AP 的方程为APQ0),1(kykxxky即，因为点 M 到直线 AP 的距离为 1，所以2211|kk21kk1|1|1|kmmk。3,3|k 333211313322|1|332mmm或 3,3321 3321,1m 故1)122(22yx(2)答案是（解答略）例 8：（2004 年全国高考卷理科 21 题）给定抛物线，F 是 C 的焦点，过点F 的相交于 A、B 两点。xyC4:2直线l与 C(1)设l的斜率为 1，求OBOA与的夹角的大小；(2)设9,4,若AFFB，求l在 y 轴上截距m的变化范围。解：(1)答案为41143arccos（解

11、答略）。(2)F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y),由题设2AFFB,得 用心 爱心 专心5),1(),1(1122yxyx，即21)1(11212yyxx 由得得 21222yy2214xy2214,yx122xx联立、解得2x，依题意有0),2),2,(FB又或得0,1(,(B直线l方程为：)1(x 2)1(),1(2)1yxy或当时，方程l在 y 轴上的截距1212mm9,4或。由1212)1)(1(2)1(212，可知在上是递减的。9,49,4 43343443mm或。l在 y 轴上截距m的变化范围是34,4343,34故直线。和已知一个变量的范围求另一变量的范围，可先利用

12、题设条件建立变量说明：例 7例 8 都是的关系式，将所求变量和另一已知变量分离，得到函数关系，再由已知变量的范围求出函数的值域，即为所求变量的范围。这类背景也可归结为背景一。2、双参数中的范围均未知)0(1:222ayaxC与直线1:yxl例 9：（2004 年全国卷文 2 理 21）设双曲线相交率 e 的取值范围；于不同的点 A、B。(1)求双曲线 C 的离心PBPA(2)设直线l与 y 轴的交点为 P，且125，求a的值。解：(1)由 C 与l相交于两个不同的点，故知方程2x1122yxya有两个不同的实数解，消去 y 并整理得：022)1(2222axaxa用心 爱心 专心61200)2

13、)(1(4)2(012 a由2222aaaaa且 双曲线的离心11122aaae率 120aa且 226ee且 故),2()2,26(e(2)略 a的范围，再建立 e 与a的函数关系式，即可求出 e 的范围。和 ABl在b 的取值范围。设说明：先求出例 10：直线1与双曲线1的左支交于 A、B 两点，直线l经过点kxy22 yx)0,2(的中点，求直线y 轴上的截距解：由方程组22，消去 y 得：)1(22xk11yxkxy022 kx，AB 中点，则有：),(00yxM0,0),(),(212211xxyxByxA210120120)1(8422122122kkxxkkxxkk)11,1(,

14、111,12222002210kkkMkkxykkxxx即 20022120,2),(kkxymmbbxmy而则设直线l的方程为，则有817)41(222122kkkm，它在)2,1(上单调递减。1122m),2()22,(2mb 用心 爱心 专心7说明围：这类问题可先求出一个变量的范，另一个变量范围就相应可求出来了。线的内域，同时坐标平面被圆锥曲线所划椭圆背景之五：点在圆锥曲线内域或外域的充要条件 如果我们规定圆锥曲线包含焦点的区域称为圆锥曲分的另一部分称为圆锥曲线的外域，则点),(00yxP，在)1(1220220 xbya；点在双曲线1222yx2ba内（外）域的充要条件是),(00yx

15、P12222byax内（外）域的充要条件是)1(1220220byax；点的内（外）域的充要条件是。以这些充要条件为背景的范围问题利),00yx在抛物线)0px(P2)0(22ppxy(220020ypxy 用上述不等式可获解。例 11：（1986 年全国高考题）已知椭圆134:22yxC，试确定m的取 值范围，使得对于直线，椭圆 C 上有不同的两点 P，Q 关于该直线对称。mxyl4:解：设QyxP),(11中点),(00yxM，则：PQyx),(221342121yx 1342222yx 得，)(30)(4)(32121212121xxyyyyxxxx=000021212132)41(42

16、3)()(yy 4xyyxyyxx 又 、解得在椭圆内部 mxy004由mym3,0 x0 又点,(00yxM)1342020 xy，即1313213132m13)3(4)(2m2 m。背景之六：三角形两边之和大于第三边 椭圆或双曲线上一点与它们的两个焦点的构成一个三角形，具有这一背景的问题往往可用心 爱心 专心8以利例 12：已知双曲线用三角形两边之和大于第三边产生的不等式来确定参数的范围。),(1222Rbayx2ba的左、右两个焦点分别为F1、F2，左准线为l，在双曲线的左支上存在点P，使|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项，求12离心率e的取值范围。解：由|PF|2=d|P

17、F|ePFPFdPF|1212|1|112edPFPFePF 又|PF2|=2a|PF1|,1ePF2a|2|由、得|PF1|12eea 在PF)1(1121212eeeeceeaea12F1|PF21F2|，即F 中，|P|F 12 e。1说明：因为P点还可能在双曲线顶点上，所以|PF1|PF2|F1F2|。学科，其中许|背景之七：参数的几何意义 解析几何是一门数与形相结合的多的变量都有十分明显的几何意义，以此为背过这条抛物 线的景的范围问题只要抓住了参数的几何意义都可以达到目的。例 13：椭圆 C 的上准线是抛物线yx42的准线，且 C 经21e，求椭圆的长半轴a的范围。焦点，椭圆的离心率

18、212)1(2|22x解：设椭圆的上焦点为 F(x,y)，由定义知，eyFA。故椭圆上焦点 F 的轨变是以 A(0,1)为圆心，半径为 1 的圆。由此易知焦点1)1(22yx到准线y=1 的距离p的范围是31 p。F 又aaeacap322aec2 2323231aa 背景之八：平均值不等式 解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质。利用代数基本不等式是求范围的又一方法。用心 爱心 专心9例 14：已知直线l过定点 A(3,0)，倾斜角为，试求的范围，使得曲线的所有时，符合题意。，则 BC 中点 P2:xyC弦都不能被直线l垂直平分。解：当直线的斜率为 0 或不存在设直线l的方程为)3(x

19、ky，被它垂直平分的弦的两端点为),(211ttB),(222ttC212122()2ttt2121),ttkttt2(BC。当线段 BC 被l垂直平分时，有2121222121)32(21ttttkttktt)161(212kk2141)2(2221kktt。符合题意的直线斜率2tan,21即k1。),21arc,0tan2。：本题的求解利用补集法，即弦能被l垂直平分的直线l的斜率，取其补集就是满足题设的斜率，再利用斜率和倾斜角的关系，就可以求出说明先求的范围。背景之九：目标函数的值域)(tfk 要确定变量k的范围，可先建立以k为函数的目标函数，从而使这种具有函数背景的范围问题迎刃而解。例

20、15：),(yxP是椭圆)0(12222babyax上任一点，F1、F2是两个焦点，求|PF12a 2a|PF1|)=(|PF1|a)2a2 时,有b2;当|PF2|的取值范围。解：|PF1|PF2|=|PF1|PF2|=|PF1|(又ca1 PFca|当最小值caPF|1aPF|1时,|PF1|PF2|有最大值a2。1|PF2|的取值范22如图，P 是抛物线故|PF围是ab。,22例 16：（2004 年福建省高考题理科题）221:xyC上一点，直线l用心 爱心 专心10过点，求线段 PQ 中点 M 的轨变方程；P 且与抛物线 C 交于另一点 Q。(1)若直线l与过点 P 的切线垂直|ST(

21、2)若直线l不过原点且x轴交于点 S，与 y 轴交于点 T，试求SQSP,0,21ST的取值范围。解：(1)设),(),(),(002211yxMyxQyx，依题意有001Pyyx。由xyxy 2得,21 P 的切线的斜率为线l斜率过点1x 01x不合题意 01x直的11xk 直线l的方程为)(1211121xxxxy 022112xxxx 联立直线l和抛物线方程，消去 y，得M 是 PQ 的中点 210 xxx)(121121012101xxxxyx 消去x1，得)0(121020200 xxxy PQ 中点 M 的轨迹方程为)0(12122xxxy。(2)设直线l的方程为ybkx，依题意)

22、,0(,0,0bTk则b，分别过 P、Q 作x轴，yQ轴，垂PPP Q足分别为、Q，则|bOTT|21yybQQPPOSQSTSPST由0)(2212222bybkybkxyxy 用心 爱心 专心11 221221),(2byybkyy方法 1：21|21|2)11(|22121bbyybyybSQSTSPST y1、y2可取一切不相等的正数|SQSTSPST的取值范围是),2(方法 2：222121)(2|bbkbyyyybSQSTSPST 当时，0b222)(2)(2|2222bkbbkbbkbSQSTSPST 当时，0bbbkbbkbSQSTSPST)(2)(2|222 又由方程有两个相异实根，得 0)2(44)(422222bkkbbk，于是，即 022 bkbk22所以2)2(2|bbbSQSTSPST 当时，0bkk22可取一切正数|SQSTSPST的取值范围是),2(说明：利用图形找到|SQSTSPST与 P、Q 两点纵坐标之间的关系，是快速求解第(2)个问题的关键。用心 爱心 专心12