参数依赖股票价格情形下的回望期权定价_李志广.pdf

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1、Vol.32(2012)No.6数 学 杂 志J.of Math.(PRC)参数依赖股票价格情形下的回望期权定价李志广(大同大学数学与计算机科学学院,山西 大同 037009)摘 要:本文研究了非线性模型下回望期权定价问题.利用泰勒近似处理,构造了回望期权的形式渐进解,推广了 Black-Scholes 模型有关回望期权的结论.关键词:布朗运动;期权定价;修正的 Black-Scholes 模型;回望期权MR(2010)主题分类号:60H10;90A06中图分类号:O211.6文献标识码:A文章编号:0255-7797(2012)06-1091-091 引言回望期权就是期权到期日持有人可以“回

2、望”期权的有效期内原生资产价格的整个历程,选取最低(高)的原生资产价格作为执行价格,购进(出售)原生资产,回望看涨期权和回望看跌期权在到期日 T 的收益分别为:ST min0tTSt和 max0tTSt ST.亦称它为“买进按低价,卖出按高价”期权或标准回望期权.回望期权又是强路径有关期权,它的敲定价格依赖于整个“回望期”内的原生资产的价格,讨论的是具有浮动敲定价格的回望看跌期权,由于该期权收益高,价格十分昂贵,所以更准确地对该期权进行定价,具有十分重要的意义.1973 年,Black 和 Scholes 假定股票的价格服从几何布朗运动,用无套利复制的方法得出了著名的 B-S 公式.在此模型假

3、设的基础上,回望期权的研究已经相当的全面.文献 1 得出了回望期权的定价公式,文献 25 将这一公式加以推广.到现在为止,大部分的理论研究还停留在基于这种 Black-Scholes 模型下的结论之上.1975 年,Cox 提出了期权定价的 CEV 模型6,Cox 指出“波动率微笑”的缘由便是股票价格变动与波动之间的变化是负相关的,Cox 提出的 CEV 期权定价模型恰好分离出了这种负相关关系,因此将 CEV 模型用于期权定价,尤其是路径依赖期权是一种十分明智的做法.但是,目前有关于 CEV 模型下期权定价的结论都集中在了标准的欧式期权,例如:Cox 证明了当 =0.5 时的结论68,Hsu、

4、Lin 和 Lee 应用 Fokker-planck 方程证明了当 1 时的结论910,而当 1 时的结论早已被 Campbell 和 Glosten11、Brandt 和 Kang12等人分别解出.而由于该模型相对比较复杂,传统的方法还不能处理回望期权,因此在 CEV 模型下,回望期权定价的文献还没有出现.近些年来的发展,关于期权定价的经济模型不仅仅是这些.本文将这些模型更一般化,将股票的期望收益率描述为股票价格的连续函数,波动率描述为股票价格的 n 阶可导函数,这样一来,在这种假设之下 CEV 模型的缺陷就不存在了.运用求解偏微分方程的方法得到了回望期权的定价公式.文中所用的方法同样适用于

5、其他期权,比如欧式期权、障碍期权.收稿日期:2011-05-18接收日期:2011-09-29作者简介:李志广(1979),男,河北阳原,硕士，讲师，研究方向：分布参数控制理论.1092数学杂志Vol.322 改进的 B-S 偏微分方程本文考虑如下改进的 Black-Scholes 期权定价模型dSt=(St)Stdt+(St)StdWt,(2.1)dMt=rMtdt,(2.2)其中 Wt是定义在完备概率空间(,F,P)上的布朗运动.股票期望收益率(St)和波动率(St)都为股票价格的一般函数,并假定函数()在 R 上连续,()为 n 阶可导函数,常数 r为金融市场的无风险利率.当函数(St)

6、和(St)为常数时,该模型退化为经典的 Black-Scholes 期权定价模型,当函数(St)为常数,(x)=0 x1时(0和 为常数),模型(2.1)(2.2)退化为 Cox 和 Ross提出的 CEV 模型5.令 Jt表示回望期权的路径变量,因此对于回望看涨期权有 St Jt=max0tTSt,而对于回望看跌期权,有 St Jt=min0tTSt.考虑到期日为 T 的回望期权,并假设该期权的价格为 V=V(t,St,Jt),则有下面的引理成立.引理 2.1回望看涨期权的无套利价格 V(t,St,Jt)满足如下定解问题Vt+122(S)S22VS2+rSVS rV=0,0 S J +,0

7、t ,初边值条件:V(T,S,J)=S J,J S ,VS|S=J=0.回望看跌期权的无套利价格 V(t,St,Jt)满足如下定解问题Vt+122(S)S22VS2+rSVS rV=0,J S +,0 t ,初边值条件:V(T,S,J)=J S,0 S J,VS|S=J=0.该引理的证明可以类推文献 3 中构造证券组合的办法,也可以类推文献 2 用自融资策略和Ito 公式给出证明的方法,这里不再赘述.为了方便求解回望期权所满足的拟线性偏微分方程,补充如下的预备知识.考虑抛物型方程(P)t=(axP)xx(bx+h)P)x,0 x 0.引理 2.2上述抛物型偏微分方程在边值条件 P(t,x)0,

8、t +0 下,存在唯一解：p(t,x)=bebt 1(b1 ebt)1haexpbxa(ebt 1).No.6李志广:参数依赖股票价格情形下的回望期权定价1093详细的证明见文献 13.3 未定权益定价由引理 2.1 可知,回望看涨期权在该模型下所满足的偏微分方程Vt+122(S)S22VS2+rSVS rV=0,(3.1)V(T,S,J)=S J,J S 0,(x),x 0,所以 2 1 0,因此有()=expsg(T s)ex12 1e(1)x ex,带入式(3.16)立得W(s,x)=Z+0(x ,s)(e(1)e)d 12 1Z0(x ,s)(e e(1)d+expsg(T s)Z0(

9、x ,s)exd=exp(1 )x+(1 )2(n+1)f(0)s2N(x+(1 )(n+1)f(0)sp(n+1)f(0)s)expx+2(n+1)f(0)s2N(x (n+1)f(0)sp(n+1)f(0)s)12 1exp22(n+1)f(0)s xN(x+(n+1)f(0)sp(n+1)f(0)s)+12 1exp(1)22(n+1)f(0)s+(1)xN(x (1)(n+1)f(0)sp(n+1)f(0)s)+expsg(T s)exp22(n+1)f(0)s xN(x+(n+1)f(0)sp(n+1)f(0)s),将 W(s,x)回代为 E(t,x)可得定理证明.定理 3.3回望看

10、涨期权的定价公式为 C(t,St)=nPk=0Ck(t,St),其中C0(t,x)=StN(a1)1N(a1)Jter(Tt)N(a2)1(StJt)1N(a3)+g(t)exp22(n+1)f(0)(T t)N(a4),No.6李志广:参数依赖股票价格情形下的回望期权定价1097f(x)=2(x),g(t)=nXi=1Eix|x=0,N(x)=xZ12expy22dy,=r(n+1)f(0)+12,a1=lnSt lnJt+r(T t)+12(n+1)f(0)(T t)p(n+1)f(0)(T t),a2=a1p(n+1)f(0)(T t),a3=a1+2rrT t(n+1)f(0),a4=

11、a1+p(n+1)f(0)(T t),=2r(n+1)f(0),Ci(t,St)=expir(T t)(n+1)2irn+1expir(Tt)(n+1)2 1(irn+11 expir(Tt)(n+1)2)i12exp2e1r(i 1)!Sti(n+1)f(i)(0)Jti(expir(Tt)(n+1)2 1),i=1,2,3,n,其中 n=1,2,3,n 取值越大结果精确度越高.证将定理 4.1 和定理 4.2 结论带入式(3.5),并对变换(3.2)求逆变换可得定理证明.由引理 2.1 可知,对于回望看跌期权通过上面的类似推到可得如下结论.定理 3.4回望看跌期权的定价公式为 P(t,St

12、)=nPk=0Pk(t,St),其中P0(t,x)=Jter(Tt)N(b1)1(StJt)1N(b3)StN(b2)1N(b2)+g(t)exp22(n+1)f(0)(T t)N(b4),b1=lnJt lnSt r(T t)+12(n+1)f(0)(T t)p(n+1)f(0)(T t),b2=b1p(n+1)f(0)(T t),b3=b1+2r(T t)p(n+1)f(0)(T t),=r(n+1)f(0)+12,b4=lnSt lnJt r(T t)+12(n+1)f(0)(T t)p(n+1)f(0)(T t),Pi(t,St)=expir(T t)(n+1)2irn+1expir(

13、Tt)(n+1)2 1(irn+11 expir(Tt)(n+1)2)i12exp2e1r(i 1)!Jti(n+1)f(i)(0)Sti(expir(Tt)(n+1)2 1),i=1,2,3,n,其中 f(x),g(t),N(x)见定理 3.3.4 数值结果与分析基于以上结论,我们不妨以回望看涨期权为例,以经典的 B-S 模型下回望看涨期权定价公式和定理 3.3 所获得的回望看涨期权定价公式进行比对.在定理 3.3 中令(St)为常数.1098数学杂志Vol.32则可以立得 f(0)=2,n=1,g(t)=0.假设当前时刻股票价格为 50,当前股票价格的路径因子为 10,股票的年平均波动率为

14、 0.3,我们将定理 3.3 退化的结论同差分法所得结论进行比对,所得数据如下表格表 1 当 r=0.1、T=1,时间迭代步长为 0.1 时的回望看涨期权价格表Smax105210.50.110037.953038.233738.313938.325338.328238.329115040.829540.874640.887340.889140.889640.889720040.945740.949240.950040.950140.950125040.951240.951540.951640.9516在表 1 情形下,定理 3.3 所得回望看涨期权的价格为 41.5211,随着股票价格迭代步

15、长dS 逐渐变小,Crank-Nicolson 格式差分法所得数值结果逐渐靠近我们通过公式求解所得结论.表中空出的三个空格是因为随着迭代步长变小,迭代次数增多,数据无法存储,Matlab直接提示数据溢出而没能运行出结果.在表 2 情形下,定理 3.3 所得回望看涨期权的价格为41.8199,可以看出表 2 所述数值结论更接近定理 3.3 的数值结果.表 2 当 r=0.2、T=1,时间迭代步长为 0.1 时的回望看涨期权价格表Smax105210.50.110036.543936.927137.034137.049237.053037.054215041.485241.591241.62184

16、1.626241.627341.627620041.788841.800641.803541.803841.803941.804025041.810541.811841.812141.8121综上所述,本文所得结论是可靠的,而且本文所得结论数值计算时,十分简便,只须将近似结果编入 matlab 直接计算.而有限差分法提供的 Crank-Nicolson 格式需要将股票价格的取值范围(0,)截断为(0,Smax),这本身就会产生误差,如果让 Smax 增大,则会出现表 1和表 2 中那样的数据溢出.而本文提供的解法并不会出现这种问题.5 结论本文在波动率为股票价格的一般函数假设之下,研究了回望期

17、权定价问题,并给出了回望期权的定价公式.遗憾的是文中必须假定波动率函数()的平方 f()提出的要求过于严苛,要求 f()满足 n 阶可导.但是忽略这些不足,当波动率为常数时,只需令 n=0 即可得经典的 B-S 模型下的障碍期权定价公式.No.6李志广:参数依赖股票价格情形下的回望期权定价1099参 考 文 献1 Lesigne E,Volny D.Large deviations for martingalesJ.Stoch.Proc.Appl.,2001,96(1):143159.2 王志明,朱芳芳.连续支付红利的 Black-Scholes 期权定价模型的新解法 J.数学杂志,2008,

18、28(1):105108.3 Li Y L.A martingale in equality and large deviationsJ.Statistic Probably Letter,2003,62(5):317321.4 李顺.高利率借贷市场中未定权益的定价 J.数学杂志,1999,19(2):190194.5 姜礼尚.期权定价的数学模型和方法(第二版)M.北京:高等教育出版社.2008.6 Hu S H,Wang X J.Large deviations for some dependent sequencesJ.Acta Mathematical Sciatica,2008,28(

19、1):295300.7 Cox J,Ross S A.The valuation of options for alternative stochastic processesJ.Financial Eco-nomics,1976,3(1):145166.8 Cox J C,Ross S A,Rubinstein M.Option pricing:a simplified approachJ.Finance Economics,1979,7(3):229263.9 Su Y L,Lin T I,Lee C F.Constant elasticity of variance(CEV)option

20、 pricing model:integrationand detailed derivationJ.Mathematics and Coputers in Simulation,2008,79(1):6070.10 Chen R R,Lee C F.A constant elasticity of variance(CEV)family of stock price distributions inoption pricing:review and integrationJ.Financial Study,1993,1(1):2951.11 Emanuel D,MacBeth J.Furth

21、er results on the constant elasticity of variance call option pricingformulaJ.Financial and Quantitative Analysis,1982,17(1):533554.12 Brandt M W,Kang Q.On the relationship between the conditional mean and volatility of stockreturns:a latent VAR approachJ.Financial Economics,2004,72(2):217257.13 Fel

22、ler W.Two singular diffusion problems J.Ann.of Mathematics,1979,7(3):229263.LOOKBACK OPTIONS PRICING WHEN PARAMETERS DEPENDON STOCK PRICELI Zhi-guang(School of Mathematics and Computer Science,Datong University,Datong 037009,China)Abstract:In this paper,we mainly deal with the option pricing problem

23、 of lookback optionsunder the assumption that underlying assets are non-linear.By using Taylor approximate method,the formal asymptotic solution of the lookback call and put options are constructed,whichgeneralizes the Black-Scholes model about lookback options.Keywords:Brownian motion;option pricing;modified Black-Scholes model;lookbackoption2010 MR Subject Classification:60H10;90A06