第二章 实时参数估计—1.pdf

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1、11/192-1.引言2-1.引言2-2.随机过程概论2-2.随机过程概论2-3.相关辨识法2-3.相关辨识法2-4.控制系统的数学描述2-4.控制系统的数学描述2-5.线性参数模型最小二乘辨识2-5.线性参数模型最小二乘辨识2-6.线性参数模型极大似然估计2-6.线性参数模型极大似然估计2-7.离散动态模型结构辨识2-7.离散动态模型结构辨识2-8.闭环参数估计2-8.闭环参数估计2/192-1 引言2-1 引言为了降低不定性，自适应控制需要在线积累过程信息，系统辨识是达到这一目的的重要方法为了降低不定性，自适应控制需要在线积累过程信息，系统辨识是达到这一目的的重要方法。自适应控制系统含有不

2、定性对象干扰会含有不定性认识降低不定性实时参数辨识自适应控制系统含有不定性对象干扰会含有不定性认识降低不定性实时参数辨识系统的数学模型是指人们对所研究的客观系统所作的数学描述。对系统进行分析、综合与控制前提是建立系统数学模型系统的数学模型是指人们对所研究的客观系统所作的数学描述。对系统进行分析、综合与控制前提是建立系统数学模型3/19建立系统数学模型的方法:分析法试验法统计数据推演法系统辨识方法认为，系统的动态特性，必然表现在它的输入输出数据之中，因此可以利用输入输出数据提供的信息来建立系统的数学模型。试验分析法:根据系统运行试验的输入输出数据，估计出系统的数学模型。建立系统数学模型的方法:分

3、析法试验法统计数据推演法系统辨识方法认为，系统的动态特性，必然表现在它的输入输出数据之中，因此可以利用输入输出数据提供的信息来建立系统的数学模型。试验分析法:根据系统运行试验的输入输出数据，估计出系统的数学模型。系统辨识系统辨识2-1 引言2-1 引言4/19系统辨识是指人们利用试验的办法，根据系统的输入输出数据，对系统的内在结构和参数作出相应的判断和估计，以构造一个相对真实地反应客观对象的数学模型的建模方法。一、系统辨识定义1962年美国科学家扎得(zadenLA)的定义：系统辨识是在对输入输出观测的基础上，从指定的一类系统中确定一个与被测系统系统辨识是指人们利用试验的办法，根据系统的输入输

4、出数据，对系统的内在结构和参数作出相应的判断和估计，以构造一个相对真实地反应客观对象的数学模型的建模方法。一、系统辨识定义1962年美国科学家扎得(zadenLA)的定义：系统辨识是在对输入输出观测的基础上，从指定的一类系统中确定一个与被测系统等价等价的系统。的系统。2-1 引言2-1 引言5/19 规定估计与推断所用的规定估计与推断所用的优良性准则优良性准则（等价准则（等价准则）2-1 引言2-1 引言从这个定义可以看出，系统辨识包含三个问题：从这个定义可以看出，系统辨识包含三个问题：在某种意义上在某种意义上输入输出数据输入输出数据模型类模型类 指定被测系统所属的指定被测系统所属的模型类模型

5、类(确定系统结构和类型)(确定系统结构和类型)获得被测系统的获得被测系统的输入输出数据输入输出数据(能够测到的输入输出)优良性准则(能够测到的输入输出)优良性准则与被测系统等价的模型与被测系统等价的模型6/191978年，L.Ljung给辨识下的定义：辨识有三个要素：数据、模型类和准则。辨识就是按照一个准则在一组模型类中选择一个与数据拟合得最好的模型。1978年，L.Ljung给辨识下的定义：辨识有三个要素：数据、模型类和准则。辨识就是按照一个准则在一组模型类中选择一个与数据拟合得最好的模型。被控系统（待测系统）模型类被控系统（待测系统）模型类输入输出数据等价输入输出数据等价2-1 引言2-1

6、 引言27/19模型类的规定是根据人们对实际系统的了解以及建模的目的而定。模型结构的形式可分为：模型类的规定是根据人们对实际系统的了解以及建模的目的而定。模型结构的形式可分为：连续时间模型或离散时间模型、输入输出模型或状态空间模型、确定性模型或随机性模型、线性模型或非线性模型、时不变模型或时变模型、参数模型或非参数模型、频域模型或时域模型等。连续时间模型或离散时间模型、输入输出模型或状态空间模型、确定性模型或随机性模型、线性模型或非线性模型、时不变模型或时变模型、参数模型或非参数模型、频域模型或时域模型等。模型与受辨系统的重要区别是：二者在结构上不可能做到同构。模型与受辨系统的重要区别是：二者

7、在结构上不可能做到同构。2-1 引言2-1 引言因此由系统辨识方法得到的拟合模型一般都存在有未建模动力学特性。因此由系统辨识方法得到的拟合模型一般都存在有未建模动力学特性。8/19模型结构确定后，模型的未知部分绝大多数情况下以未知参数模型结构确定后，模型的未知部分绝大多数情况下以未知参数的形式出现；需要用获得的输入输出数据按一定的等价准则来估计的形式出现；需要用获得的输入输出数据按一定的等价准则来估计模型中的未知参数。模型中的未知参数。辨识的实质辨识的实质：从一组模型中选择一个模型，按照某种准则，使之能最好地：从一组模型中选择一个模型，按照某种准则，使之能最好地拟合所关心的实际过程动特性。辨识

8、建模所获得的模型只不过是与实际过程外特性等价的一个拟合所关心的实际过程动特性。辨识建模所获得的模型只不过是与实际过程外特性等价的一个近似描述近似描述。参数估计参数估计2-1 引言2-1 引言9/19y()、ym()分别表示与之相应的输出函数；设分别表示与之相应的输出函数；设 mM 表示被测系统表示被测系统S的一个模型，的一个模型，M是具有某些属性的模型类；是S的容许输入函数集，设是具有某些属性的模型类；是S的容许输入函数集，设U()uUi i是一个容许输入函数是一个容许输入函数()()()()()()()(),ttmmy th t uytht u=()():tuut=观测序列定义一个非负的损失

9、函数观测序列定义一个非负的损失函数()()()()()mJJ yy=ii=ii它表示当容许控制它表示当容许控制u()施加于系统施加于系统S和模型和模型m之后，输出误差之后，输出误差y()ym()产生的损失。如果对某个容许输入产生的损失。如果对某个容许输入()uUi i，能使得，能使得()()()()()()()()()()()00mmJ yyJ yymMiiiiiiii则称模型则称模型m0M与被测系统与被测系统S等价。等价。2-1 引言2-1 引言10/19如果模型类如果模型类M定义为一组模型参数的集合，即此时，系统辨识问题就简化为参数估计问题。定义为一组模型参数的集合，即此时，系统辨识问题就

10、简化为参数估计问题。Mm?=其中其中 是模型是模型m的参数，是模型参数空间；的参数，是模型参数空间；2-1 引言2-1 引言11/19二、系统辨识的内容和步骤1.离线辨识和在线辨识：离线辨识二、系统辨识的内容和步骤1.离线辨识和在线辨识：离线辨识：要求把被测对象从整个系统中分离出来然后按照一定的辨识方法进行辨识。从系统辨识的算法来分：要求把被测对象从整个系统中分离出来然后按照一定的辨识方法进行辨识。从系统辨识的算法来分2-1 引言2-1 引言 常用于系统设计、过程参数监视、故障检测等。常用于系统设计、过程参数监视、故障检测等。优点:对于计算时间没有苛刻的要求，可以达到较高的辨识精度。优点:对于

11、计算时间没有苛刻的要求，可以达到较高的辨识精度。实验实验记录数据采集记录数据采集观测结果观测结果量测结束后对数据进行处理量测结束后对数据进行处理12/19在线辨识在线辨识：随着被辨识过程的进行，实时地对数据进行处理。：随着被辨识过程的进行，实时地对数据进行处理。常采用递推算法，因此也称递推辨识。常采用递推算法，因此也称递推辨识。直接利用实际运行条件下被测系统的输入输出数据，在某个初始估计下启动，然后按照递推算法，随着新数据的不断获得而不断修正模型参数的估计值。直接利用实际运行条件下被测系统的输入输出数据，在某个初始估计下启动，然后按照递推算法，随着新数据的不断获得而不断修正模型参数的估计值。要

12、求计算机有足够高的计算速度，在一个采样周期内，能够完成一次迭代计算；要求计算机有足够高的计算速度，在一个采样周期内，能够完成一次迭代计算；要求递推算法有足够快的收敛速度。要求递推算法有足够快的收敛速度。2-1 引言2-1 引言313/19装置、系统、过程装置、系统、过程u(k)计算机计算机记录仪记录仪控制对象控制对象输入信号发生器辨识结果输入信号发生器辨识结果u(k)u(k)y(k)y(k)干扰干扰u(k)控制对象控制对象过程计算机辨识结果过程计算机辨识结果y(k)离线辨识离线辨识在线辨识在线辨识2-1 引言2-1 引言14/192.辨识内容：试验设计，模型结构辨识，参数估计，模型检验。3.步

13、骤：2.辨识内容：试验设计，模型结构辨识，参数估计，模型检验。3.步骤：?根据辨识目的，利用先验知识，初步确定模型结构；根据辨识目的，利用先验知识，初步确定模型结构；?根据设计的试验，采集数据，进行模型参数和结构辨识；根据设计的试验，采集数据，进行模型参数和结构辨识；?最后经过验证获得最终模型。最后经过验证获得最终模型。2-1 引言2-1 引言15/19指标任务指标任务模型结构设定模型结构设定先验知识先验知识试验设计试验设计辨识目的根据产生方法、引点、幅度辨识目的根据产生方法、引点、幅度3)3)结构参数辨识参数辨识结构参数辨识参数辨识模型验证模型验证最终模型最终模型输入输出数据应用被辨识系统的

14、实际经验预试验操作条件输入输出数据应用被辨识系统的实际经验预试验操作条件2)1)2)1)灰箱灰箱?根据辨识目的，利用先验知识，初步确定模型结构；根据辨识目的，利用先验知识，初步确定模型结构；?根据设计的试验，采集数据，进行模型参数和结构辨识；根据设计的试验，采集数据，进行模型参数和结构辨识；?最后经过验证获得最终模型。2-1 引言最后经过验证获得最终模型。2-1 引言16/19?辨识目的辨识目的：模型应用的最终目的是决定模型的类型、精度、辨识方法。：模型应用的最终目的是决定模型的类型、精度、辨识方法。2-1 引言2-1 引言预报验证理论模型监视过程参数故障诊断预报验证理论模型监视过程参数故障诊

15、断?试验设计试验设计：选择和决定试验使数据有丰富的信息。：选择和决定试验使数据有丰富的信息。输入信号类型、产生方法、引点、幅度、频带等采样时间数据长度（辨识时间）辨识方式：离线、在线输入信号类型、产生方法、引点、幅度、频带等采样时间数据长度（辨识时间）辨识方式：离线、在线数字控制算法的CAD校正控制参数适应数字控制数字控制算法的CAD校正控制参数适应数字控制高高辨识精度辨识精度低低17/19?模型结构模型结构：模型结构设定（选择模型性质）：动态、静态、连续、离散、线性、非线性等。：模型结构设定（选择模型性质）：动态、静态、连续、离散、线性、非线性等。?模型结构参数辨识模型结构参数辨识：确定结构

16、参数，阶次和纯滞后，模型参数辨识结构确定后，未知部分是以未知参数形式出现的，估计参数。：确定结构参数，阶次和纯滞后，模型参数辨识结构确定后，未知部分是以未知参数形式出现的，估计参数。?模型检验模型检验：辨识出的模型和实际过程特性一致性的检验。比较实际测量的输出与模型的输出，使模型的结构和参数保证两个输出之间在选定的某个准则下为最优。：辨识出的模型和实际过程特性一致性的检验。比较实际测量的输出与模型的输出，使模型的结构和参数保证两个输出之间在选定的某个准则下为最优。2-1 引言2-1 引言18/19例：模型结构确定为差分方程其中：例：模型结构确定为差分方程其中：y(k)、u(k)：为系统输出和输

17、入：为系统输出和输入e(k)：为干扰：为干扰d、na、nb：为模型结构参数：为模型结构参数ai、bi：为参数：为参数()()()()()()dA zy kz B zu ke k=+=+11()aannA za za z=+=+1111?()bbnnB zb zb zb z=+=+11212?u(k)()()()()B zA z11y(k)e(k)2-1 引言2-1 引言419/19模型检验中注意：模型检验中注意：?数学模型只是近似地描述实际对象的特性；数学模型只是近似地描述实际对象的特性；?同一试验数据，用的辨识方法不同或辨识目的不同，所得数学模型不同；同一试验数据，用的辨识方法不同或辨识目的

18、不同，所得数学模型不同；?好的辨识结果有简单的数学模型。好的辨识结果有简单的数学模型。2-1 引言2-1 引言20/192-2 随机过程概论2-2 随机过程概论确定性时间函数确定性时间函数：可以准确地加以重现。：可以准确地加以重现。只要满足所要求的条件，现象的出现具有必然性自变量时间和函数值一一对应，且保持不变只要满足所要求的条件，现象的出现具有必然性自变量时间和函数值一一对应，且保持不变例：正弦函数例：正弦函数 y=Asintyt单位阶跃函数单位阶跃函数()()1000tx tt=x(t)t21/192-2 随机过程概论2-2 随机过程概论随机信号随机信号：不能用确定性的时间函数描述，也不能

19、准确地加以重现。对每一个自变量时间可取不同的函数值。即在相同条件下可能出现也可能不出现的现象。：不能用确定性的时间函数描述，也不能准确地加以重现。对每一个自变量时间可取不同的函数值。即在相同条件下可能出现也可能不出现的现象。噪声噪声t干扰干扰t22/19一、随机过程及其数字特征1.随机过程：一、随机过程及其数字特征1.随机过程：时间时间t连续取值时，随机量（测量值）连续取值时，随机量（测量值）xi(t)，i1，2，的集合的集合x(t)称为随机过程，简记为称为随机过程，简记为x(t)。x1(t)，x2(t)，称为随机过程的样本函数。，称为随机过程的样本函数。样本函数样本函数xi(t)，i1，2，

20、的集合称为随机过程的集合称为随机过程x(t)或或x(t)。随机过程的每一个样本函数随机过程的每一个样本函数x1(t)，x2(t)，称为随机过程的物理称为随机过程的物理“实现实现”，或称，或称“轨迹轨迹”。样本函数。样本函数xi(t)已经实现，是一个确定性函数。已经实现，是一个确定性函数。x2(t)txi(t)tx1(t)t均值均值相关函数相关函数2-2 随机过程概论2-2 随机过程概论方差方差23/192.均值函数（数学期望函数）：同一时间上的平均（集合平均）均值函数（数学期望函数）：同一时间上的平均（集合平均）1)定义：设随机过程定义：设随机过程x(t)，对于每一个固定时刻，对于每一个固定时

21、刻t1，有一个均值，有一个均值Ex(t1)，则在整个过程的时间域上就确定了一个时间函数，即，则在整个过程的时间域上就确定了一个时间函数，即(t)Ex(t)称为随机过程称为随机过程x(t)的均值函数的均值函数(t)。把随机过程的所有样本函数都绘在同一个时间坐标图上，则均值函数的图形就是所有样本特性的平均曲线。把随机过程的所有样本函数都绘在同一个时间坐标图上，则均值函数的图形就是所有样本特性的平均曲线。2-2 随机过程概论2-2 随机过程概论24/192)特点特点 均值是所有样本在均值是所有样本在t 时刻的理论平均。对不同时刻时刻的理论平均。对不同时刻t，(t)的值不一定相等，所以的值不一定相等，

22、所以(t)是随时间是随时间t而变化的函数。而变化的函数。样本曲线绕均值曲线波动。样本曲线绕均值曲线波动。均值曲线是一个固定的曲线。均值曲线是一个固定的曲线。3)求取对任意时刻求取对任意时刻t，当，当x(t)的概率密度函数的概率密度函数p(x,t)已知时，均值函数已知时，均值函数()()()(),Ex txp x t dx=有一个均值，则在整个过程的时间域上就确定了一个时间函数，即有一个均值，则在整个过程的时间域上就确定了一个时间函数，即(t)Ex(t)。2-2 随机过程概论2-2 随机过程概论525/193.方差函数：二阶中心矩方差函数：二阶中心矩1)定义：设随机过程定义：设随机过程x(t)，

23、其均值函数是，其均值函数是(t)，则，则x(t)的方差函数是的方差函数是x(t)-(t)的平方均值，记为的平方均值，记为Varx(t)，即意义，即意义：方差函数标志着随机过程所有样本曲线在均值函数曲线周围分布的统计概况。：方差函数标志着随机过程所有样本曲线在均值函数曲线周围分布的统计概况。(距均值的差的平方的平均距均值的差的平方的平均)它表示随机过程它表示随机过程x(t)在时刻在时刻 t 对于均值对于均值(t)的偏离程度。的偏离程度。()()()()()()()()()()()()()()2222xrttVar x tEx ttE x tt=2-2 随机过程概论2-2 随机过程概论26/19求

24、取方法：求取方法：()()()()()()()()22,Ex ttxtp x t dx=均值相同，形状不同左图方差小右图方差大均值相同，形状不同左图方差小右图方差大2-2 随机过程概论2-2 随机过程概论27/194.均方值函数：定义：均方值函数4.均方值函数：定义：均方值函数2(t)是二阶原点矩。求取方法方差和均方值的关系：是二阶原点矩。求取方法方差和均方值的关系：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()222222222222tEx ttE xxE x tE x tE x tE x tE x tE x tE x tE x tt

25、t=+=+=+=+=()()()()22tExt ()()()()22,Extx p x t dx=2-2 随机过程概论2-2 随机过程概论28/19随机过程的均值和方差只考虑随机过程在任一时刻的数字特征，只能刻划随机过程随机过程的均值和方差只考虑随机过程在任一时刻的数字特征，只能刻划随机过程x(t)在各个孤立时刻的统计特性，并没有反映在两个不同时刻的状态之间的联系。在各个孤立时刻的统计特性，并没有反映在两个不同时刻的状态之间的联系。x(t)ty(t)t()()0E x tE y t=()()()Varx tVary t=2-2 随机过程概论2-2 随机过程概论29/195相关函数相关函数1)

26、自相关函数：在时域上描述随机过程未来值对当前值依赖性的一个统计测度。定义：随机过程自相关函数：在时域上描述随机过程未来值对当前值依赖性的一个统计测度。定义：随机过程x(t)的自相关函数的自相关函数()()()()(),xxRtE x tx t +这是描述一个随机过程本身内在联系的数字特征。这是描述一个随机过程本身内在联系的数字特征。2-2 随机过程概论2-2 随机过程概论30/192)互相关函数：描述两个随机过程不同时刻互相依赖关系的条件测度。互相关函数：描述两个随机过程不同时刻互相依赖关系的条件测度。()()()(),xyRtE x ty t +2-2 随机过程概论2-2 随机过程概论定义：

27、随机过程定义：随机过程x(t)和和y(t)的互相关函数的互相关函数线性系统线性系统随机信号随机信号x(t)y(t)随机过程随机过程631/19二、常用的随机过程的一种平稳随机过程和各态历经特性二、常用的随机过程的一种平稳随机过程和各态历经特性1.平稳随机过程：统计特性不随时间变化设随机过程平稳随机过程：统计特性不随时间变化设随机过程x(t)，若其统计（概率）特性（如概率密度函数及各数字特征量）不随时间，若其统计（概率）特性（如概率密度函数及各数字特征量）不随时间t的原点移动而改变，即对任意时间值的原点移动而改变，即对任意时间值（），随机过程），随机过程x(t)和和x(t)的统计（概率）特性是一

28、样的，则说的统计（概率）特性是一样的，则说x(t)是平稳随机过程。是平稳随机过程。2-2 随机过程概论2-2 随机过程概论32/19平稳随机过程的：平稳随机过程的：数学期望是常数数学期望是常数 方差是常数方差是常数 相关函数仅与时间间隔相关函数仅与时间间隔t2t1有关有关()()()()12,xxxRtRtR=协方差函数与协方差函数与t无关无关2-2 随机过程概论2-2 随机过程概论33/19若随机过程若随机过程x(t)，其均值为常量，方差有界且相关函数仅是时间差的函数，即，其均值为常量，方差有界且相关函数仅是时间差的函数，即()()(E x tM=常量）=常量）()()2Ext ()()()

29、()()xE x t x tR +=+=则称则称x(t)为弱平稳随机过程。过程领域包括自动控制领域中遇到的随机过程基本上都可以认为是（弱）平稳随机过程。为弱平稳随机过程。过程领域包括自动控制领域中遇到的随机过程基本上都可以认为是（弱）平稳随机过程。2-2 随机过程概论2-2 随机过程概论34/192.白噪声过程：设均值为白噪声过程：设均值为0，自相关函数为，自相关函数为函数的随机过程，且该过程在函数的随机过程，且该过程在t1t2时，时，x(t1)和和x(t2)是互不相关的。是互不相关的。()()()()0100d =且且其中则称随机过程其中则称随机过程x(t)为白噪声过程。为白噪声过程。()(

30、)xRK =随机过程随机过程x(t)的自相关函数)的自相关函数K为常数：平稳白噪声为常数：平稳白噪声K(t)：非平稳白噪声：非平稳白噪声2-2 随机过程概论2-2 随机过程概论白噪声强度白噪声强度35/193.各态历经特性：各态历经特性：()()()()()()1lim2TiTTAx tx txt dtT=?()()()()()()()()()()()()1lim2TiiTTA x t x tx t x tx t x tdtT+=+=+?其中其中xi(t)是是x(t)的一个样本。时间均值：时间自相关函数：的一个样本。时间均值：时间自相关函数：2-2 随机过程概论2-2 随机过程概论随机过程随机

31、过程x(t)的任一个样本的任一个样本xi(t)，它在不同时刻的取值也是一个随机量。从很长的一段时间看，它也具有统计特性，表现为，它在不同时刻的取值也是一个随机量。从很长的一段时间看，它也具有统计特性，表现为“时间平均值时间平均值”。时间均值，用。时间均值，用A 表示一个函数表示一个函数 的时间平均。将统计特性和时间特性联系起来的时间平均。将统计特性和时间特性联系起来36/19依概率依概率1成立，即对成立，即对x(t)的所有样本函数而言，和的所有样本函数而言，和i无关，可以将无关，可以将xi(t)写成写成x(t)。时间平均时间平均x(t)txi(t)集合平均集合平均t10如果平稳随机过程如果平稳

32、随机过程x(t)的各集合平均值的各集合平均值等于相对应的时间平均值，即等于相对应的时间平均值，即()()()()()()1lim2TiTTxtExtxt dtT =()()()()()()()()()()()()()()()()1lim2TxxiiTTRx t x tRE x t x tx t x tdtT=+=+=+=+=+=+则称则称x(t)是各态历经的随机过程是各态历经的随机过程2-2 随机过程概论2-2 随机过程概论737/19对于各态历经的随机过程，它的两个基本数字特征可以只根据一个很长的样本对于各态历经的随机过程，它的两个基本数字特征可以只根据一个很长的样本x(t)按下式计算（样本

33、按下式计算（样本xi(t)和和i无关，任一样本无关，任一样本x(t)）()()1lim2TTTxtd tT =()()()()()()1lim2TxTTRx t x tdtT =+=+实际上，只能取实际上，只能取T尽可能大的有限值。尽可能大的有限值。2-2 随机过程概论2-2 随机过程概论38/19证明一个平稳随机过程是否具有各态历经特性是困难的，实践中，为方便，先假定所研究的平稳随机过程具有各态历经特性，求出均值后，再看假定是否符合实际情况。只有平稳随机过程才可能有各态历经特性，但并不是所有平稳随机过程都具有各态历经特性。证明一个平稳随机过程是否具有各态历经特性是困难的，实践中，为方便，先假

34、定所研究的平稳随机过程具有各态历经特性，求出均值后，再看假定是否符合实际情况。只有平稳随机过程才可能有各态历经特性，但并不是所有平稳随机过程都具有各态历经特性。2-2 随机过程概论2-2 随机过程概论39/19三、相关函数的性质三、相关函数的性质1自相关函数：随机过程自相关函数：随机过程x(t)的自相关函数的自相关函数()()()()(),xRtEx t x t +?+?平稳随机过程：仅与时间间隔平稳随机过程：仅与时间间隔有关，与时刻有关，与时刻t无关，即无关，即()()()()()()12,xxxRtRtR=2-2 随机过程概论2-2 随机过程概论40/19平稳且具有各态历经特性的随机过程：

35、时间平均集合平均平稳且具有各态历经特性的随机过程：时间平均集合平均()()()()()()()()1lim2TTTxtxtxt xtdtT +?()()()xREx tx t =+二者相等，所以二者相等，所以()()()()()()1lim2TxTTRx t x tdtT =+=+2-2 随机过程概论2-2 随机过程概论41/19自相关函数在原点取得最大值证：自相关函数在原点取得最大值证：()()()0 xxxxRR ()()()()20 x tx t+()()()()()()()222xtxtx t x t +()()()()()()()()222E xtE xtE x t x t +E X

36、YE XE Y+=+=+()()()()()()()()()()0 xxRE x t x tE x tx t =+=+()()()()202xxxxRR()()()()0 xxxxRR 时间差为0，所以是时间差为0，所以是()0 xxR2-2 随机过程概论2-2 随机过程概论42/19自相关函数为偶函数，证：自相关函数为偶函数，证：()()()()xxxxRR =()()()xxRE x t x t =+=+()()()()()()()xxRE x t x tE x tx t=对于平稳随机过程，统计图形和时间无关，对于平稳随机过程，统计图形和时间无关，()()xxxxRR =或或()()()x

37、xRE x t x t =+=+()()()()E x tx t=+=+()()E x tx t =+=+()()xxR=2-2 随机过程概论2-2 随机过程概论843/19()()()()()()22000 xxxxxRR=均方值，当 时，=均方值，当 时，证：证：()()()()()()()()2200 xxRE x t x tE xt=+=+=()200 xxR =当 时，=当 时，22 2 22-2 随机过程概论2-2 随机过程概论44/19其中：其中：y(t)是均值为零的随机过程此时若是均值为零的随机过程此时若x(t)均值)均值0 x ，则可分解成，则可分解成，()()()xx ty

38、 t=+=+()()()()xxxxREy ty t=+=+即，即，x(t)中的直流成分，使其自相关函数向上平移)中的直流成分，使其自相关函数向上平移2x。()()()()()()2xxxE y t y ty ty t =+=+()2yyxR =+2-2 随机过程概论2-2 随机过程概论45/19若若x(t)均值为0，且不含周期成分，则当)均值为0，且不含周期成分，则当很大时，很大时，()()lim0 xxR =即即x(t)相隔充分远的两个时刻的值相隔充分远的两个时刻的值x(t)，x(t)互不相关。互不相关。时间间隔充分大时，随机量之间可以看作是互不相关的。在实际中，各种具有零均值的非周期噪声

39、和干扰，一般当值适当增大时，时间间隔充分大时，随机量之间可以看作是互不相关的。在实际中，各种具有零均值的非周期噪声和干扰，一般当值适当增大时，x(t)和和x(t)即呈现独立或不相关，即有即呈现独立或不相关，即有()()lim0 xR =2-2 随机过程概论2-2 随机过程概论46/192互相关函数2互相关函数()()()(),xyRtE x t y t +?+?()()()()(),yxRtEy tx t +?+?或平稳随机过程：或平稳随机过程：()()()()()12,xyxyxyRtRtR=平稳且具有各态历经特性的随机过程：平稳且具有各态历经特性的随机过程：()()()()()()1lim

40、2TxyTTRx t y tdtT+?2-2 随机过程概论2-2 随机过程概论47/19()()()()xyxyRR xyR通常不是的偶函数，互相关函数不具有对称性，既不是的偶函数，也不是奇函数。将通常不是的偶函数，互相关函数不具有对称性，既不是的偶函数，也不是奇函数。将y(t)前推和将前推和将x(t)后移，二者等价证：后移，二者等价证：()()()()xyyxRR =()()()()()()xyRE x t y t =+=+()()()()()xyRE x t y t =+=+()()()()()yxRE y t x t =()()()()E y tx t=+=+()()()()E y tx

41、 t=+=+()()yxR=2-2 随机过程概论2-2 随机过程概论48/19一般不是最大值。在0时一般不是最大值。在0时()0 xyR若若()0 xyR=，则随机过程，则随机过程x(t)，y(t)为互不相关。为互不相关。2-2 随机过程概论2-2 随机过程概论949/19四、（功率）谱密度频率域描述随机过程四、（功率）谱密度频率域描述随机过程1Wiener-Khintchine公式公式(维纳辛钦维纳辛钦)已知函数已知函数f(t)满足一定条件时，其傅氏变换满足一定条件时，其傅氏变换()()()()()()jtftFjft edt =F()()()()()()112jtFjftFjed =F傅氏

42、反变换随机过程傅氏反变换随机过程x(t)自相关函数的傅氏变换自相关函数的傅氏变换()()()()()()jxxxxxxRSjRed =F2-2 随机过程概论2-2 随机过程概论50/19复习：复习：f(t)在对称区间为奇函数，为奇函数；在对称区间为奇函数，为奇函数；()().cosf tntf(t)在对称区间为奇函数，为偶函数；在对称区间为奇函数，为偶函数；()().sinf tntf(t)在对称区间为偶函数，为偶函数；在对称区间为偶函数，为偶函数；()().cosf tntf(t)在对称区间为偶函数，为奇函数；在对称区间为偶函数，为奇函数；()().sinf tnt()()cossinjej

43、=欧拉公式=欧拉公式2-2 随机过程概论2-2 随机过程概论51/19因为是偶函数，所以式中虚部为0，因为是偶函数，所以式中虚部为0，()()xxR()()()()()()cosxxxxxxRSjRd =F的功率谱密度。又是实函数，故写成的功率谱密度。又是实函数，故写成()()xxSj()()xxS 称之为平稳随机过程称之为平稳随机过程x(t)自相关函数自相关函数()()xxR 随机过程随机过程x(t)自相关函数的傅氏变换自相关函数的傅氏变换()()()()()()jxxxxxxRSjRed =F()()()()()()cossinxxRjd =2-2 随机过程概论2-2 随机过程概论代表平均功率在不同代表平均功率在不同下的分布密度，是随机过程的重要特征下的分布密度，是随机过程的重要特征52/19又又()()()()()()112jxxxxxxSRSed =F()()()()()()()()cos1cos2xxxxxxxxSRdRSd =Wiener-Khintchine公式公式2-2 随机过程概论2-2 随机过程概论功率谱密度和相关函数间的关系功率谱密度和相关函数间的关系