2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案第54讲 参数方程.doc

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1、第54讲 参数方程与 曲线系1参数方程是联系多个变量之间关系的桥梁，在解题过程中引入参数或参数方程，使多个变量单一化，达到简化计算，解决问题的目的几种常见的参数方程的形式如下：(1)直线的参数方程（t为参数）其中是直线的倾斜角，参数t表示有向线段的数量（其中点A、P的坐标为A(x0，y0)，P(x，y)），如图1所示(2)圆的参数方程（为参数）其中r是半径，圆心是(x0，y0)，参数表示圆心角，如图2所示(3)椭圆参数方程（为参数）其中椭圆中心是(x0，y0)，长半轴长为a，短半轴长为b(ab)，参数表示离心角，如图3所示(4)双曲线参数方程（为参数）其中双曲线中心是(x0，y0)，实半轴长为

2、a，虚半轴长为b，是参数(5)抛物线的参数方程为（t为参数）其中焦点为（，0），准线为x参数或参数方程在求轨迹方程，求极值，求变量取值范围，简化计算或证明方面具有突出的作用2常用的直线系方程：(1)过定点(x0，y0)的直线系为：1(yy0)2(xx0)0，其中1、2为参数(2)与直线AxByC0平行的直线系为：AxBy0，其中C，为参数(3)与直线AxByC0垂直的直线系为：BxAy0，其中为参数(4)当直线l1与l2的一般式分别为f1(x，y)0，f2(x，y)0时，曲线系1f1(x，y)2f2(x，y)0，其中1、2为参数当l1与l2相交时表示通过l1与l2交点的所有直线；当l1l2时，

3、表示与l1平行的一组平行直线(5)在两坐标轴上截距和为a的直线系为：1，其中为参数(6)与原点距离等于r(r0)的直线系为：xcosysinr，其中为参数3曲线系与圆系：(1)方程f1(x，y)lf2(x，y)0表示的曲线一定经过两条曲线f1(x，y)0与f2(x，y)0的交点(反过来，经过它们交点的曲线不一定能用此方程表示)当需要解决“求过两条曲线的交点作的一条曲线”时，常用此曲线系来解题，可以避免解方程组求交点而直接得出结果(2)圆系：圆系是求圆的方程的一个重要的方法，同时也是证明四点共圆的简捷途径对于不同圆心的两个圆Cix2y2DixEiyFi0(i1，2)，则 C1C20，(为参数)表

4、示共轴圆系当1时，表示圆；当1时，退化为一条直线(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0，此直线叫两圆的根轴对于已知圆C1及圆上一点（m，n），则C1(xm)2(yn)20，(为参数)表示与C1相切于点（m，n）的圆系4二次曲线系：一般二次曲线的方程由6个参数确定：Ax2BxyCy2DxEyF0(A2B2C20)但只要5个独立参数即可确定唯一的二次曲线给定5个点，如果其中有三点共线，另两点不在此直线上，则经过此5点的二次曲线是唯一的，是二条直线(退化二次曲线)；给定5个点，无三点共线，则经过此5点的二次曲线是唯一的若有两个二次曲线C1：F1(x，y)0；C2：F2(x，y)0，且C1与C2交

5、于不共线4点则F1(x，y)F2(x，y)0表示所有经过此4个交点的二次曲线5用直线方程构成二次曲线系：如果两条直线li：li(x，y)AixBiyCi0(i1，2)与一条二次曲线：F(x，y)0有交点，那么，曲线系Fl1l20经过这些交点，若它们有四个不共线的交点，则此曲线系包含所有的过此四点的二次曲线若有不共线4点Pi(i1，2，3，4)，记直线PiPi1(P5P1)为li(x，y)则曲线系l1l3l2l40包括了所有过此4点的二次曲线系若有不共线3点Pi(i1，2，3)，记直线PiPi1(P4P1)为li(x，y)则曲线系l1l2l2l3l3l10包括了所有过此3点的二次曲线系与两条直线

6、li(x，y)AixBiyCi0(i1，2)交于两点M1、M2的二次曲线系为l1l2l320(其中l3为经过M1、M2的直线方程)6部分常用的二次曲线系：(1)共焦二次曲线系：1；(2)共顶点二次曲线系：1；(3)共离心率二次曲线系：(0)； (4)共渐近线的双曲线系：7极线方程：从二次曲线外一点引二次曲线的切线，过两个切点的直线利用曲线系解题实质上是取曲线方程中的特征量(如直线方程中的斜率k、截距b，圆的半径R，二次曲线中的a、b等)作为变量，得到曲线系，根据所给的已知量，采用待定系数法，达到解决问题的目的常常体现的是参数变换的数学观点和整体处理的解题策略通常的题型有求点的坐标，求曲线的方程

7、，求图形的性质等等A类例题例1椭圆1有两点P、QO是原点，若OP、OQ斜率之积为求证：|OP|2|OQ|2为定值证明 设P(4cos，2sin)，Q(4cos，2sin)，因为kOPkOQ，所以，即cos()0，则2k，kZ所以|OP|2|OQ|216cos24sin216cos24sin216cos2()4sin2()16cos24sin220cos220sin220为定值得证例2求经过两直线2x3y1，3x2y2的交点，且平行于直线y3x0的直线方程解 设所求的直线方程为(2x3y1)(3x2y2)0，整理得 (23)x(32)y(12)0 (1)由于已知直线y3x0的斜率为3，所以3解得

8、将代入(1)化简得39x13y250此即为所求的直线方程说明 本题还可以采用以下两种思路来求直线方程：思路一：设所求的直线方程为y3x0解出直线2x3y1，3x2y2的交点，代入到y3x0，解出即可思路二：过直线2x3y1，3x2y2的交点的直线系为(2x3y1)(3x2y2)0，即(23)x(32)y(12)0与直线y3x0平行的直线系为y3x0(0)比较系数，解出即可例3抛物线y22px(p0)的内接AOB的垂心为抛物线的焦点F，O为原点，求点A、B的坐标解 由题设条件可知AB与x轴垂直设A(2pt2，2pt)，则B的坐标为(2pt2，2pt)由于焦点F的坐标为F(，0)，则AF的斜率为k

9、1；而OB的斜率为k2因为AF与OB垂直，则k1k21，即()1，解得t所以A的坐标为A(p，p)、B的坐标为B(p，p)情景再现1已知有向线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别为(1，1)和(2，2)，若直线l：xmym0与PQ的延长线相交，则m的取值范围是 2椭圆x22y22与直线x2y10交于B、C两点，求经过B、C及A(2，2)的圆的方程3若动点P(x，y)以等角速度在单位圆上逆时针运动，则点Q(2xy，y2x2)的运动方式是（ ）A以角速度在单位圆上顺时针运动B以角速度在单位圆上逆时针运动C以角速度2在单位圆上顺时针运动D以角速度2在单位圆上逆时针运动 (1984年全国高中数学联赛)B类

10、例题例4斜率为的动直线l和两抛物线yx2，y2x23x3交于四个不同的点，设这四个点顺次为A、B、C、D(如图)求证：|AB|与|CD|之差为定值证明 设AD的中点为M(x0，y0)，因为直线l的斜率为，所以直线l的参数方程为(t为参数) 设MAt1，MDt2，MBt3，MCt4，则t1t2t3t4，因而|AB|CD|(t3t1)(t2t4)(t3t4)(t1t2) 将式代入yx2，整理得t24(x0)t4(xy0)0，由t1t20，得x0将式代入y2x23x3，整理得t2(4x03)t4(x6x02y06)0，所以t3t44x03，因为x0，所以t3t43，代入得：|AB|CD|3是定值例5

11、设直线axbyc0与抛物线y24px相交于A、B两点，F是抛物线的焦点，直线AF、BF交抛物线(异于A、B两点)于C、D两点(异于A、B两点)求直线CD的方程解 设A(pt，2pt1)、B(pt，2pt2)、C(pt，2pt3)、D(pt，2pt3)直线AC的方程为：y2pt1(xpt)，即2x(t1t3)y2pt1t30因为AC经过焦点F(p，0)，所以t3；同理，t4 因为点A、B在直线axbyc0上，则 apt2pbt1c0，apt2pbt2c0，即t1、t2是方程apt22pbtc0的两根根据根与系数关系，得t1t2，t1t2设CD的方程为exfyg0 同理有t3t4，t1t2所以()

12、，则f；，则g把f，g代入，并整理得CD的方程为：xbpyap20例6给定曲线族2(2sincos3)x2(8sincos1)y0，为参数，求该曲线在直线y2x上所截得的弦长的最大值(1995年全国高中数学联赛)解 显然，该曲线族恒过原点，而直线y2x也过原点，所以曲线族在y2x上所截得的弦长仅取决于曲线族与y2x的另一个交点的坐标把y2x代入曲线族方程得(2sincos3)x2(8sincos1)x0，又2sincos3sin(arctan)30，当x0时，就有x， (1)令sin，cos，则x，得2xu22(x4)u(x1)0由uR知，当x0时2(x4)28x(x1)4(x26x16)0，

13、即x26x160且x0，故8x2且x0，则|x|max8由y2x得|y|max16，所以所求弦长的最大值为8说明 对于式(1)还可以这样处理：整理得(2x8)sin(x1)cos13x，于是只有当(2x8)2(x1)2(13x)2时方程才有解，即x26x160以下同题中解法情景再现4在曲线y5(3x3)上取一点，使它到直线xy100的距离最远，并求出这个最远点5设a，b是两个已知正数，且ab，点P、Q在椭圆1上，若连结点A(a，0)与Q的直线平行于直线OP，且与y轴交于点R，则 ；(O为坐标原点)(上海市1992年高中数学竞赛)6已知MN是圆O的一条弦，R是MN的中点，过R作两弦AB和CD，过

14、A、B、C、D四点的二次曲线MN于P、Q求证：R是PQ的中点C类例题例7自点P1向椭圆引两条切线，切点为Q1、R1，又自点P2向这椭圆引两条切线，切点为Q2、R2证明：P1、Q1、R1、P2、Q2、R2六点在一条二次曲线上解 设椭圆方程为ax2by21(a0，b0)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)过切点Q1、R1的直线方程为ax1xby1y10，过切点Q2、R2的直线方程为ax2xby2y10，所以经过Q1、R1、Q2、R2的二次曲线方程可设为(ax1xby1y1)(ax2xby2y1)l(ax2by21)0令l(ax1x2by1y21)，得方程(ax1xby1y1)(ax2xby2y

15、1)(ax1x2by1y21)(ax2by21)0显然点P1、P2的坐标满足此方程，而此方程是二次方程，即：P1、Q1、R1、P2、Q2、R2六点在一条二次曲线上得证！例8已知椭圆E：1(ab0)，动圆：x2y2R2，其中bRa，若A是椭圆上的点，B是动圆上的点，且使直线AB与椭圆和动圆均相切，求A、B两点距离|AB|的最大值(四川省2004年全国高中数学联赛预赛题)解 设A(acos，bsin)，则直线AB方程为(b2acos)x(a2bsin)ya2b2，即l：(bcos)x(asin)yabl也是圆的切线，故OBl，故直线OB的方程为(asin)x(bcos)y0于是点B坐标为B(，)故

16、|AB|2(acos)2(bsin)2a2cos2b2sin2(ab)2而b2cos2a2sin2(a+b)2cos2sin2，等价于b2cos2b2cos2sin2+a2sin2a2sin2cos22abcos2sin2，即b2cos4+a2sin42abcos2sin2最后一式显然成立故|AB|2(ab)2，即|AB|ab当且仅当tan2时等号成立，此时R|OB|说明 本题也可以这样考虑：设AB的斜率为k，由直线AB是椭圆E的切线，则AB方程为ykx由AB是圆的切线，则AB方程为ykxR切点A的横坐标x1；B的横坐标x2由R，得k2，故|AB|2(a2R2)2(1k2)(a2R2)(R2b

17、2)a2b2R2(ab)2(R)2(ab)2从而可得上述结果情景再现7设P、Q为给定二次曲线ax2bxycy2dxeyf0上任二点，过P、Q任作一圆，该圆与所给二次曲线交于另外两点M、N，求证：直线MN有定向(1978年上海市赛题)8如图，过点A(2，m)作直线l交椭圆y21于B、C点Q在弦BC上，且满足(1)求m0时，点Q的轨迹方程；(2)若M变动，则证明不论m为何实数，点Q的轨迹恒过一个定点习题541设P是抛物线y22x上的点，Q是圆(x5)2y21上的点，则|PQ|的最小值是 ；(上海市2001高中数学竞赛)2与双曲线=1有共同的渐近线，且经过点(3，2)的双曲线方程是 (湖南省2001

18、年高中数学竞赛)3已知：双曲线的两条渐近线的方程为xy0和xy0，两顶点间的距离为2，试求此双曲线方程(1979年全国高中数学竞赛)4当s和t取遍所有实数时，则(s53|cost|)2(s2|sint|)2所能达到的最小值为 (1989年全国高中数学联赛)5求证：若轴垂直的两条抛物线如果有4个交点，则此四个交点共圆(1979年河北省赛题)6设AB、CD是椭圆1的两条弦，若它们的倾斜角互补，求证：A、B、C、D四点共圆7已知二次曲线C：Ax2BxyCy2DxEyF0与两条直线l1xm1yn10，l2xm2yn20有4个不同的交点求证：Ax2BxyCy2DxEyF(l1xm1yn1)(l2xm2y

19、n2)0 （*）是过四个交点的曲线系8过不在圆锥圆锥上的一定点一定点P引已知圆锥曲线的任意相互垂直的两弦AB与CD求证：是定值本节“情景再现”解答：13m2圆的方程为6x26y29x14y203C 4dmax，最远点为（3，0）52 6以R为原点，MN为x轴，建立平面直角坐标系设圆心O的坐标为(0，a)，圆半径为r，则原方程为x2(ya)2r2 设AB、CD的方程分别为yk1x和yk2x将它们合成为(yk1x)(yk2x)0 于是，过与的四个交点A、B、C、D的曲线系方程为(yk1x)(yk2x)x2(ya)2r20 令中y0得，(k1k2)x2(a2r2)0 的两个根是二次曲线与MN交点P、

20、Q的横坐标因为xPxQ0，即R是PQ的中点7以P为原点，PQ方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，且设Q(l，0)，则所给二次曲线在此坐标系内的方程可以写为x2bxycy2lxey0而过PQ两点的圆方程为x2y2lxky0于是曲线x2bxycy2lxeyl(x2y2lxky)0过此二曲线交点故必过另两个交点M、N取l1代入得，bxy(c1)y2(ek)y0，即y0表示直线PQ方程bx(c1)y(ek)0表示直线MN，由于b、c1为定值，故直线MN有定向8设直线l的参数方程为（t为参数）代入椭圆方程，并整理得，(2sin2cos2)t24(msincos)t2(m21)0所以，t1t2，t1t2

21、设ABt1，ACt2，AQt，则由，得，整理得，t(t1t2)2t1t2 ，代入，得t(msincos)m21t 将代入，得点Q的轨迹的参数方程为(为参数)消去，得ym(x1)0(1)当m0时，所求轨迹是x1(过左焦点)被椭圆截下的弦；(2)当m变动时，点Q的轨迹恒过定点F1(1，0)本节“习题4”解答：12 2 3双曲线方程为x2y21425设两条抛物线的方程分别为y22p(xm)及x22q(yn)则曲线y22p(xm)lx22q(yn)0必经过两条抛物线的交点，取l1，即得一圆方程，由已知，此圆经过两条抛物线的四个交点即此四个交点共圆6设AB、CD的倾斜角分别为q与pq，直线AB、CD的交

22、点坐标为P(x0，y0)，则AB方程可写为(q为参数)代入方程得：(b2cos2qa2sin2q)t22(b2x0cosqa2y0sinq)tb2x02a2y02a2b20由韦达定理知|PA|PB|t1t2|以pq代替q，即可得|PC|PD|，即|PA|PB|PC|PD|，故A、B、C、D共圆7设Pi(xi，yi)（i1，2，3，4）为二次曲线C与两条直线的四个交点，则Axi2BxiyiCyi2DxiEyiF0（i1，2，3，4），同时也有，l1xim1yin10，或l2xim2yin20因此，这四个点的坐标满足（*），即（*）表示的曲线过曲线C与直线的四个交点；在过已知四点P1，P2，P3，

23、P4的任意一条二次曲线上取一点Q(x0，y0)，Q与已知四点不同（它不在两已知直线上）令0，方程（*）变形为Ax2BxyCy2DxEyF0(l1xm1yn1)(l2xm2yn2)0这个方程表示过P1，P2，P3，P4，Q五个点的曲线，故可用方程（*）表示已知二次曲线和两条直线交点的二次曲线系8以P为原点建立直角坐标系，在此坐标系内圆锥曲线的方程为Ax2BxyCy2DxEyF0 (1)PAB的方程(q为参数)，代入得：t2(Asin2qBsinqcosqCcos2q)t(DsinqEcosq)F0，由于P不在圆锥曲线上，故F0则PCD的方程(q为参数)，代入(1)得：t2(Acos2qBsinqcosqCsin2q)t(DcosqEsinq)F0，同理，得，从而可得为定值