参数方程和极坐标.pdf

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1、参 数 方 程 和 极 坐 标黄 祥 雄(潜江中学,湖北 潜江 433100)练习选择题1 直线x=x0+aty=y0+bt(t为参数)上两点A,B的参数值为t1,t2,则|AB|的值为()(A)|t1+t2|.(B)|t1-t2|.(C)a2+b2|t1-t2|.(D)|t1-t2|a2+b2.2 在极坐标系中,过圆=6cos-23sin的圆心且与极轴重直的直线的极坐标方程是()(A)sin=3.(B)cos=4 3.(C)cos=3.(D)=3cos.3 已知曲线C的极坐标方程为=2cos2.给定两点P1(0,2),P2(-2,),则有()(A)P1|C,P2|C.(B)P1|C,P2C.

2、(C)P1C,P2|C.(B)P1C,P2C.4 下列以t为参数的参数方程所表示的曲线中,与方程xy=1所表示的曲线相同的是()(A)x=t.y=1t.(B)x=|t|.y=1|t|.(C)x=cost.y=sect.(D)x=tgt.y=ctgt.5P(x,y)是圆x2+(y-1)2=1上任意一点,欲使不等式x+y+c0恒成立,则常数c的取值范围是()(A)-1-2,2-1.(B)2-1,+.(C)(-,-2-1.(D)(-1-2,2-1.6 椭圆a2x2+y2=a2(0 a 1)上离顶点(0,a)最远的点恰好是一个顶点(0,-a)的充要条件是()(A)0 a 1.(B)22a 1.(C)2

3、2a 1.(D)0 ab 0),C2的离心率为22,如果C1与C2相交于A,B两点,且线段AB恰好为C1的直径,求直线AB的方程及C2的方程.18 过椭圆b2x2+a2y2=a2b2(ab 0)上的动点P引圆x2+y2=b2的两条切线PA,PB.切点分别为A,B,直线AB与x轴、y轴分别交于M和N.1)求 MON的面积的最小值.2)椭圆上若存在P点,使PAPB,则a,b应满足什么条件?19P是半圆y=16-x2上一动点,过P作PCx轴于C,B为线段OP上一点,且有|PB|+|PC|=4,求动点B的轨迹方程.20 以椭圆x2a2+y2=1(a 1)的短轴的一个端点B(0,1)为直角顶点,作椭圆的

4、内接等腰直角ABC,问这样的三角形是否存在?如果存在可以作出几个这样的三角形?本单元回顾本单元主要内容是:曲线的参数方程,参数方程与普通方程的互化;极坐标系,曲线的极坐标方程,极坐标与直角坐标的互化.1)把参数方程x=f(t)y=g(t)(t为参数)化为普通方程,一般有代入法、加减消元法、利用三角恒等式等消参方法,消参过程中一定要注意保持同解变形,对这一点只须注意函数x=f(t)及y=g(t)的值域即可.2)对直线的参数方程x=x0+tcos,y=y0+tsin,须明确参数t的几何意义.若A,B为直线上两点,它们对应参数为tA,tB,则|AB|=|tA-tB|,线段AB中点对应参数为tA+tB

5、2,分有向线段AB所成的比为的定比分点对应的参数为tA+tB1+,若P0(x0,y0)为AB的中点,则有tA+tB=0.3)圆锥曲线的参数方程,主要是用于设点化二元变量为一元变量,化代数式为三角式,然后利用三角函数的有关知识去解决问题.4)运用参数法求动点轨迹,难在“选参”上.选参的基本原则是:突出主要矛盾,计算要简便.常见的几种参数有:点、线段、角度、面积、时间、速度等.5)在极坐标系中,须注意点与坐标不是一一对应.对于一个点M(,),它的表达形式有无数多种,通式为(-1)k,k+),kZ,因此,若曲线C的方程为=f(),点P(0,0),若0=f(0),必有PC,若PC,但不一定有0=f(0

6、),但它的通式(-1)k,k+),kZ中必有一个满足方程.26数 学 通 讯 2001年第14,16期6)对于直线与圆的极坐标方程须对以下几种形式熟练掌握:=(R),cos=a,sin=a,cos(-)=a,sin(-)=a,=r,=2acos,=2asin,=2acos(-),=2asin(-)(为常数).7)对于圆锥曲线的极坐标方程,须了解特殊点、特殊线的求法;一般地:过焦点的弦的问题用极坐标做要简单些.8)求曲线的极坐标方程时,须把及化到某一三角形中,利用正弦、余弦定理,面积公式,勾股定理等方法寻求与的关系式.另外还可采用相关点法.解答11 解 aa2+b22+ba2+b22=1,令t=

7、a2+b2t,则|AB|=|t1-t2|,选(C).评注 一般地,x=x0+aty=y0+bt中的t 与标准式中的t有如下关系|t|=a2+b2|t|.21 解 原方程化为=43cos(+6),知圆心的坐标为(2 3,-6),则所求方程为cos=3,选(C).评注 1)=43cos(+6)只须将=43cos绕极点逆时针方向旋转-6得到,一般地,=f(-)由=f()绕极点向逆时针方向旋转可得.2)对于不熟悉的极坐标方程可化为直角坐标方程进行研究,然后再化到极坐标系中去.31 解 P2的坐标可写成(2,0),满足曲线C的方程,故选(D).评注 本题考查点与曲线的位置关系.因为在极坐标系中,点的坐标

8、与点并非一一对应,因而一般地,当点的坐标满足曲线的方程时,则点在曲线上;当点的某一坐标不满足曲线的方程时,须考查它的通式中是否有满足方程的坐标,若有,则此点在曲线上,若无,则此点不在曲线上.41 解 考查各方程参变量的范围知选(D).51 解 圆的参数方程为x=cos,y=1+sin,将P的坐标代入不等式,有cos+1+sin+c0,即c-(1+sin+cos)恒成立,故只须c-(1+sin+cos)max.知选(B).评注 本题主要考查圆的参数方程的应用.一般地,cf(x)恒成立,须且只须cf(x)max,而cf(x)恒成立,只须cf(x)min.61解 设P(cos,asin)是椭圆上任意

9、点,d2=cos2+(asin-a)2=(a2-1)sin2-2a2sin+a2+1=(a2-1)(sin-a2a2-1)2-1a2-1.当0 a 1时,a2a2-1 3时,a2=2sin2+1必有两个不同的值:1=12arcsin2a2-1及2=2-12arcsin2a2-1,加上=4共三值;当1 a23时,只有=4一个值.因此,当1 3时,满足条件的三角形有三个.评注 本题考查分析问题及解决问题的综合能力.此题亦可设AB的斜率为k,则BC的斜率为-1k,再由|BC|=|AB|得关于k的方程,则三角形个数与k的解的个数对应起来.则问题转化为关于k的方程的解的个数问题.(收稿日期:2001-03-23)562001年第14,16期 数 学 通 讯