新人教版九年级数学下册第27章相似辅导教程(2).doc

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1、新人教版九年级数学下册第27章相似辅导教程（相似-2）教学目标:熟悉相似的运用教学重难点:重点：运用相似求边，角，比例式以及判定相似难点：相似是一种有力解题工具的思想教学过程：一、知识点分析与例题讲解一、相似多边形的性质知识点1：相似多边形边、角的性质 根据相似多边形的定义，可知当两个多边形相似时，它们的对应角相等，对应边对应成比例，其比叫做相似多边形的相似比。知识点2：相似多边形的周长、面积的性质相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。由于从多边形的一个顶点出发，可引出（n3）条对角线，这（n3）条对角线将多边形分成了（n2）个三角形，所以相似多边形具有与相似三角形相类似的性质

2、，诸如相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。例1、已知图中的两个四边形相似，找出图中的成比例线段，并用比例式表示。例2、如图，在平行四边形ABCD中，延长AB到E，使，延长CD到F，使交BC于G，交AD于H，则的周长与的周长的比为_。例3、如图，将的高AD三等分，这样把三角形分成三部分，设三部分的面积为，则。例4、如图，在梯形ABCD中，是AB上一点，并且EF将梯形ABCD分成的两个梯形AEFD、EBCF相似，若，求。二、位似图形知识点1位似三角形与为似多边形如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么两个三角形叫做位似三角形，它们的相似比又称为

3、位似比，这个点叫做位似中心。同样，如果两个多边形不仅是相似多边形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么两个多边形叫做位似多边形，它们的相似比又称为位似比，这个点叫做位似中心。利用多边形的位似可以将一个三角形或多边形缩小或放大。知识点2位似变换与位似图形若两个几何图形F与F相似，而且对应点连线交于同一点O，则称F与F关于点O位似，O叫做位似中心。 把一个几何图形变换成与之位似的图形,叫做位似变换。知识点3位似多边形的画法1、连接位似中心与多边形各顶点；2、延长各连线，使得延长线与连线之比为位似比；3、按顺序连接所得各点。DCBA例1、如图所示的是幻灯机的工作情况，幻灯片与屏幕平行，光源到

4、幻灯片的距离是40厘米，幻灯片到屏幕的距离是2米，幻灯片中的图象的高度是10厘米，请你算出屏幕上的图象的高度是多少？例2、在如图的方格纸中（每个小方格的边长都是1个单位）有一点O和ABC，请以点O为位似中心，把ABC缩小为原来的一半（不改变方向），得到ABC。例3、如图，画一个三角形，使它与已知相似，且原三角形与所画三角形的相似比为2：1。（至少用三种方法）例3、一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm3.5cm，放映的荧屏的规格为2m2m，若放映机的光源距胶片20cm时，如图所示，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？例1、如图，已知ABC的三个顶点坐标如

5、下表：（1）将下表补充完整，并在直角坐标系中，画出；（，） （，）A （2，1）（ 4 ，2 ）B （4，3）（ ， ）C （5，1）（ ， ）（2）观察ABC与，写出有关这两个三角形关系的一个正确结论。例2、如图,已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为(3，-1)、(2,1)。(1)以0点为位似中心在y轴的左侧将OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2)，画出图形；(2)分别写出B、C两点的对应点B、C的坐标；(3)如果OBC内部一点M的坐标为(x，y),写出M的对应点M的坐标。易错点、考虑问题不全面。易错点导析：在解决问题时要注意问题中要注意位似中心可位于两个位似图形的中间或一边。例、

6、三角形的顶点坐标分别是A（2,2）,B（4,2）,C（6,4）,试将ABC以O点为位似中心缩小,使缩小后的DEF与ABC对应边比为12。1、如图中的“A”字形图形是由O、A、B、C、D用线段顺次连接而成的，现将“A”的点的横坐标、纵坐标都扩大2倍，得到另一个“A”字形图形，按下列的坐标，画出图形。2、如图，在水平桌面上的两个“”，当点，在一条直线上时，在点处用号“”测得的视力与用号“”测得的视力相同（1）图中，满足怎样的关系式？（2）若cm，cm，号“E”的测试距离m，要使测得的视力相同，则号“E”的测试距离应为多少？3、如图（a），ABBD，CDBD，垂足分别为B，D，AD，BC相交于E，过

7、E作EFBD，则可以得到,若将图（a）中的垂直改为斜交，如图（b），ABCD，AD，BC相交于E，过E作EFAB交BD于F，试问：（1）还成立吗？请说明理由（2）试找出、间的关系式，并说明理由。三、本章总结1、知识结构：2、解题方法：1、已知，求。2、等积式或比例式的证明。等积式的证明往往利用等式的性质转换为比例式，而比例式的证明则常常利用相似三角形的性质来证明，要证明某个比例式，只要证明了比例式中的线段所在的两个三角形相似，即可达到证明目的。例1、如图，直线EF交AB、AC于点F、E，交BC延长线于点D，ACBC，已知：ABCD=DEAC。求证：AECEDEEF。例2、如图，直角三角形ABC

8、（A90）中，B的平分线与AC相交于点D，过点A、D分别向BC引垂线，垂足分别为H、K。求证：BKBHBC例3、如图，在ABC中，A90，ADBC于D，E为边AC的中点，过点D、E作直线交AB的延长线于点F。求证：ACDFAFAB。3、高度的测量。根据相似形的知识，利用一些有限的工具，就可以测量出我们身边的常见物体，例如大树、高楼、旗杆等的高度。 （1）小明同学在学习了相似三角形的知识后，就想利用树影测量树高，但这棵树离楼房太近，影子不全落在地上，有一部分影子落在墙上，如图，在某时刻测留在墙上的影长为1.2m，测得地面影长2.7m，巧的是他拿的竹竿的长也是1.2m，竹竿的影长1.08m，你知道

9、小明是怎样求树高AB的吗？你知道结果是多少吗？（2）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走2米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度等于（ ）。A4.5米 B6米 C7.2米 D8米答案相似多边形的性质例1、解答：四边形ABCD四边形EFGH，且AE、BF，。例2、：在 ABCD中，ABCD，所以CBE与CFG相似，要求的周长与的周长的比，即是求这两个三角形的相似比。解答：1：4。例3、点拨：利用相似三角形的面积比等于相似比的性质，先求出ADE、AFG、ABC这三个三角形面积之间的关系，进而求出之间的关系。解答：平行

10、线段DEFGBC将三角形的高三等分，。例4、点拨：根据相似多边形的定义，对应边成比例，可得AD、EF、BC之间的关系式，解得EF，从而得解。解答：EF将梯形ABCD分成的两个梯形AEFD、EBCF相似，即，解得EF6，。2、经典考题1、点拨：根据相似梯形的定义，若梯形相似，则对应角相等，对应边成比例，由于梯形的上底和下底平行，且所作线段与上下底平行，只要考虑对应边成比例即可。解答：问题一（1）不相似，（2）不相似。问题二（1）相似性无法确定，（2）能找到与梯形底边平行的直线PQ, 使得梯形APQD与梯形PBCQ相似。(3) 存在，。2、点拨：解题中要充分利用相似多边形的特征和梯形的性质。解答：

11、由于对应边成比例，所以。所以。由于对应角相等， ，。例1错解：A。错解点拨：相似多边形的面积比是相似比的平方，而周长之比就是相似比，误把面积比看作相似比是这道题的错误之处。正解：D例2错解：，。错解点拨：此处的错误在于把相似多边形的周长比和面积比都看作相似比，混同了面积比与相似比的关系。正解：5、20。1.点拨：根据相似多边形的定义，对应边对应成比例，且对应角相等，由于两个四边形都是矩形，所以只要考虑对应边成比例。解答：矩形ABCD与矩形ABCD相似，即，解得。2、点拨：寻找到这几个图形之间的内在规律，按规律计算，经计算发现，每挖去一个阴影部分，面积就缩小为原来的。解答：3、解答：只有正方形才

12、能做到，设矩形的一边为a，另一边为b，等宽的纸边宽c，按照“内外两个矩形相似”的要求，有，化简得ab。 位似图形例1点拨：利用位似形的性质可得比例式，从而求得CD的长。解答：幻灯片上图像与屏幕上的投影成位似形，解得。例2、点拨：按照位似图形的画法画出ABC，注意“不改变方向”。例3点拨：全面利用所学知识解题，注意方法的多样性，尝试从不同角度考虑。解答：解答一、如图1（位似图形法）任取一点O；连结OA、OB、OC；取OA、OB、OC的中点，连结得，即为所求。解答二、如图2（平行截取法）取AB中点D，过D作交AC于E，即为所求。解答三、如图3（反向延长法）延长AC到，使，延长BC到，使，就是所求的

13、三角形。解答四、如图4（平行线法）作线段，使，且，过作BA的平行线，过作CA的平行线与交于，则即为所求。解答五、如图5（格点法）作法略。解答六、（度量法）用刻度尺量出BC的长，取其为线段画出；量出的大小，在同侧作，两角的另一边相交于，即为所求。例4点拨：胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的，镜头就相当于位似中心，因此本题可以转化为位似问题解答；位似图形是特殊位置上的相似图形，因此位似图形具有相似图形的所有性质。解答：m。 经典考题1、解答：（1）表中数据及图形如（，） （，）B （4，3）（ 8 ，6 ）C （5，1）（10 ，2 ）（2）ABC、周长比、相似比、位似比相等。例2解答：（1） （

14、2）B（6，2）、C（4，2）（3）M（2x，2y）错解：将A（2,2），B（4,2），C（6,4）三点的横坐标、纵坐标都缩小为原来的得D（1，1）， E（2，1），F（3，2）后，顺次连结D，E，F，D，即可得到缩小后的DEF，如图所示。错解点拨：没有注意到题目中的以O点为位似中心这个要求，混淆了相似形与位似形的概念。正解：1、解答：2、解答：（1）， ，即。（2）且cm，cm，m， 。（注：可不进行单位换算）m。 3、解答：（1）+=还能成立。由EFABCD，故DEFDAB，BEFBCD，故, 得1，故+；（2）过A,E,C分别作BD垂线，垂足为B,F,D,故SABDBDAA，SBEDBD

15、EE，SBCDBDCC，所以,，又由前面结论可知，1，从而。本章总结2、解题方法：1、点拨：这类比例式的求解题，往往有两种解法，由已知，可令，从而，。将化成，。例1分析：把结论的等积式化为比例式：，纵看，构成AED与FEC，图中没有现成的三角形，若连结AD与CF构造这两个三角形，这一想法可以放到第二步再考虑；再横看，构成AEF与DEC，证相似的条件较明显，故选择证AEFDEC。解答：ACBC，ACBDCE=90又ABCDDEAC ABCDEC AD，又12AEFDEC ，即AECEDEEF。例2、分析：由结论发现所证等积式中的三条线段在同一直线上，直接证是不可能的，需找相等的线段替换。而条件中

16、的角平分线是一很好的条件，可利用角的轴对称性实现线段的转移，从而构造三角形相似。解答：BD平分ABC，易证：BKAB，又AHBC，AHBBAC90，又ABH为公共角，ABHCBA，即BABHBC，BKBHBC。例3、分析：把等积式改写为比例式：，纵看可得ACB与FAD，ACB为直角三角形，FAD为钝角三角形，不可能相似。必须找一中间比过渡，条件中有直角三角形斜边上的高，很自然想到母子相似，故引出中间比，从而希望，引出证BFD与DFA相似。解答：A90，ADBC，RtABDRtCAD，又E为AC中点，ADBC，2134，又F为公共角，BFDDFA ，ACDFAFAB。3、分析：在同一时刻，光线可

17、以看作一组平行线，所以每一个物体和它的影子所组成的三角形都是相似三角形，利用相似三角形的性质，可以求出所求物体的高度。解答：竹竿的长是1.2m，竹竿的影长1.08m，所以物体的高度与影长之比为，又大树留在墙上的影长为1.2m，测得地面影长2.7m，大树落在地面上的影子长应为2.71.23.9m，设大树的高度为x，则有，解得m。（2）解答：设路灯A的高度为x米，则由图可得：，解得x4.5米，选A。二、练习设计1.两个相似多边形面积之比为1：2，其周长之差为6，则两个多边形的周长分别为（ ）A6和12 B和 C2和8 D和2.已知两个相似多边形的周长比为1：2，它们的面积和为25，则这两个多边形的

18、面积分别是_和_。3.如图，将的高AD三等分，这样把三角形分成三部分，设三部分的面积为，则。4.当矩形的宽与长的比为_时，我们称它为黄金矩形；当等腰三角形的底角为_ 时，我们称它为黄金三角形。5.已知线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，则AC的长度为_。6.已知C是线段AB的黄金分割点（ABBC），如果AB=12cm，那么AC=_cm,BC=_cm。7.如图，在梯形ABCD中，是AB上一点，并且EF将梯形ABCD分成的两个梯形AEFD、EBCF相似，若，求。8.在一矩形ABCD的花坛与花坛四周修筑小路，使得相对两条小路的宽均相等，如果花坛AB20米，AD30米，试问小路的宽x与y的比值为多

19、少时，能使小路四周所围成的矩形ABCD与矩形ABCD相似？请说明理由。9.如图，已知ABC的三个顶点坐标如下表：（1）将下表补充完整，并在直角坐标系中，画出；（，） （，）A （2，1）（ 4 ，2 ）B （4，3）（ ， ）C （5，1）（ ， ）（2）观察ABC与，写出有关这两个三角形关系的一个正确结论。10.如图,已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为(3，-1)、(2,1)。(1)以0点为位似中心在y轴的左侧将OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2)，画出图形；(2)分别写出B、C两点的对应点B、C的坐标；(3)如果OBC内部一点M的坐标为(x，y),写出M的对应点M的坐标。11.如图，矩形ABCD中，CHBD，垂足为H，P点是AD上的一个动点（P与A、D不重合），CP与BD交于E点。已知CH，DHCD513，设AP，四边形ABEP的面积为。（1）求BD的长；（2）用含的代数式表示。三、教学小结1.相似多边形要注意角全相等，边对应成比例，从定义入手2.位似的要注意多种情况3.位似的画法要看位似中心的位子以及题目的要求4.相似与函数的结合运用本质上就是利用相似对应边成比例四、教学反馈