拉氏变换是研究线性定常连续系统的基本数学工具.pdf

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1、6.36.3 z变换 变换 拉氏变换是研究线性定常连续系统的基本数学工具，而变换则是研究线性定常离散系统的基本数学工具。z变换是在离散信号拉氏变换基础上，经过变量代换引申出来的一种变换方法。z6.3.1 z变换定义 对式(6-2)进行拉氏变换，有*00()()()()()nsTnnEsL e te nT LtnTe nT e=(6-15)式中，是的超越函数，直接运算不方便，为此引入变量 Tses Tsze=（6-16）式中，T 为采样周期。将式(6-16)代入式(6-15)，就得到以 z 为自变量的函数=0ln1*)()()(nnzTsznTesEzE (6-17)定义()E z为采样信号的变

2、换。)(*tezz变换定义式（6-17）有明确的物理意义，即变量的系数代表连续时间函数在采样时刻上的采样值。有时也将记为 nz()e tnT)(zE)()()()(*sEZteZteZzE=(6-18)这些都表示对离散信号的变换。)(*tez6.3.2 z变换方法 常用的变换方法有级数求和法、部分分式法和留数法。z1.级数求和法 根据变换的定义，将连续信号按周期T进行采样，将采样点处的值代入式（6-17），可得的级数展开式 z)(te)(zELL+=nznTezTezTeezE)()2()()0()(21 这种级数展开式是开放式的，若不能写成闭合形式，实际应用就不太方便。例 6-1 对连续时间

3、函数=)0(0)0()(ttatet 按周期进行采样，可得 1=T 242，则无穷级数是收敛的，利用等比级数求和公式，可得其闭合形式为()11()1=nzE zZ azaazza 2 部分分式法（查表法）已知连续信号的拉氏变换，将展开成部分分式之和，即)(te)(sE)(sE)()()()(21sEsEsEsEn+=L 且每一个部分分式，都是变换表中所对应的标准函数，其变换即可查表得出 nisEiL,2,1,)(=zz)()()()(21zEzEzEzEn+=L 例 6-2 已知连续函数的拉氏变换为)1(2)(2+=ssssE 试求相应的变换。z)(zE解 将展成部分分式，得)(sE11122

4、+=ssssE)(对上式逐项查变换表，可得 z)()1()12(1)12(1)1(2)(222TTTTezzzTezeTezzzzzTzzE+=+=常用函数的变换表见附录中的附表 A-2。由该表可见，这些函数的变换都是的有理分式。zzz3.留数法（反演积分法）若已知连续信号的拉氏变换()e t()E s和它的全部极点，is1,2,=Lil，可用下列留数计算公式求的采样序列的 变换()e t*()e tz*()Ez 2431()Res()ilTsisszE zE sze=(6-19)若为单极点时，则有 isRes()lim()()iiiTsTssssszzE sss E szeze=(6-20)

5、若为重极点时，则 ism111Res()lim()()(1)!iimmiTsmTssssszdE sssE szzemdsz=e (6-21)例 6-3 已知2(23)()(1)(2)ssE sss+=+，试求相应的变换。z)(zE解 的极点为（二重极点），)(sE1,21s=32s=，则 2 122 12122221d(23)()lim(1)(2 1)!d(1)(2)(23)lim(2)(1)(2)2()+=+=+TssTssTTTsszE zsssszsszssszeTzez zezee 6.3.3 z变换基本定理 应用变换的基本定理，可以使变换的应用变得简单方便。下面介绍常用的变换定理。

6、zzz1.线性定理 若,)()(teZzE11=)()(22teZzE=,b为常数，则 a )()()()(zbEzaEtbetaeZ2121=(6-22)证明 由变换定义，有 z)()()()()()()()(21020102121zbEzaEznTebznTeaznTbenTaetbetaeZnnnnnn=式(6-22)表明，变换是一种线性变换，其变换过程满足齐次性与均匀性。z2.实数位移定理 244实数位移是指整个采样序列在时间轴上左右平移若干采样周期，其中向左平移为超前，向右平移)(nTe)(kTnTe+)(kTnTe为滞后。实数位移定理表示如下：如果函数是可 z 变换的，其变换为，则

7、有滞后定理)(tez)(zE()()kZ e tkTzE z=(6-23)以及超前定理)()()(10=+knnkznTezEzkTteZ （6-24）其中为正整数。k证明式(6-23)。由变换定义可知 z=0)(0)()()(nknknnzTknezzkTnTekTteZ 令，则有 knm=kmmkzmTezkTteZ)()(由于变换的单边性，当时，有z0m0)(=mTe，所以上式可写为=0)()(mmkzmTezkTteZ 再令，式(6-23)得证。nm=证明(6-24)式。由变换定义可知 z=+=+=+=+0)(0)()()(nknknnzkTnTezzkTnTekTteZ 令，则有 k

8、nm+=+100)()()()(kmmkmmkkmmkzmTezzmTezzmTezkTteZ 再令，可以得到 nm=)()()()()(=+10100knnkknnknnkznTezEzznTezznTezkTteZ 式(6-24)得证。由位移定理可见，算子有明确的物理意义：代表时域中的延迟算子，它将采样信号滞后个采样周期。zkzk实数位移定理的作用相当于拉氏变换中的微分或积分定理。应用实数位移定理，可将描 245述离散系统的差分方程转换为域的代数方程。z例 6-4 试用实数位移定理计算滞后函数的变换。3)5(Tt z解 由式(6-23)可知 4523423535353)1()14()1(6

9、)14(6!3!3)5(+=+=zzzzTzzzTztZztZzTtZ 3.复数位移定理 如果函数是可变换的，其变换为，则有)(tezz)(zE)()(bTbtzaEteaZ=m (6-25)证明 由变换定义，有 znbTnnnbnTbtzanTeznTeateaZ=)()()(00mm 令，代入上式，则有 bTzaz=1)()()()(bTnnbtzaEzEznTeteaZ=101m 式（6-25）得证。例 6-5 试用复数位移定理计算函数的变换。2att ez 解 令，查表可得 2)(tte=32221122)()()(+=zzzTtZtZzE 根据复数位移定理式(6-25)，有 2223

10、3(1)()(1)()aTaTaTaTataTaTaTT zezeT zezeZ t eE zezeze+=)4.初值定理 设的 z 变换为()e t()E z，并存在极限lim()zE z，则*0lim()lim()tze tE z=（6-26）证明 根据 z 变换定义，有 120()()(0)()(2)nnE ze nT zee T zeT z=+L+所以 *0lim()(0)lim()ztE zee t=246 5.终值定理 如果信号的 z 变换为()e t()E z，信号序列为有限值(n0，1，2，)，且极限(e nT)(limnTen存在，则信号序列的终值)()1(lim)(lim1

11、zEznTezn=(6-27)证明 根据 z 变换线性定理，有 nnznTeTneteZTteZ=+=+)()1()()(0 由实数位移定理)0()()(zezzETteZ=+于是 nnznTeTnezezEz=+=)()()()()(0101 上式两边取时的极限，得 1z)()1()()1(lim)0()()1(lim0011nTeTneznTeTneezEznnnzz+=+=当取为有限项时，上式右端可写为 Nn=)()()()(0110eTNenTeTnen+=+=令，上式为 N)()(lim)()(lim)()(00110enTeeTNenTeTnenNn=+=+=所以 )()1(lim

12、)(lim1zEznTezn=得证。在离散系统分析中，常采用终值定理求取系统输出序列的稳态值和系统的稳态误差。例 6-6 设变换函数 z)57)(1()(23+=zzzzzE 试求的初值和终值。)(nTe解 分别由初值定理式(6-26)和终值定理式(6-27)，得 24732(0)lim()lim1(1)(75)zzzeE zzzz=+=32111()lim(1)()lim(75)1zzzezE zzz=+3 应当注意，变换只能反映信号在采样点上的信息，而不能描述采样点间信号的状态。因此变换与采样序列对应，而不对应唯一的连续信号。不论怎样的连续信号，只要采样序列一样，其变换就一样。zzz6.3

13、.4 z反变换 已知变换表达式，求相应离散序列的过程,称为反变换，记为 z)(zE)(nTez (6-28)()(1zEZte=当时，0n0)(=nTe，信号序列是单边的，对单边序列常用的反变换法有三种，即幂级数法、部分分式法和留数法。)(nTez1.幂级数法（长除法）z变换函数的无穷项级数形式具有鲜明的物理意义。变量的系数代表连续时间函数在nznT时刻上的采样值。若是一个有理分式，则可以直接通过长除法，得到一个无穷项幂级数的展开式。根据的系数便可以得出时间序列的值。)(zEnz)(nTe例 6-7 设)2)(1(10)(=zzzzE 试用长除法求或。)(nTe)(te解 2310)2)(1(

14、10)(2+=zzzzzzzE 应用长除法，用分母去除分子，即 323212121010104321214015014021070)6070609030)2030203010)1507030101023+zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzL 248)(zE可写成 L+=432101507030100)(zzzzzzE 所以 L+=)4(150)3(70)2(30)(10)(*TtTtTtTtte长除法以序列的形式给出的数值，但不容易得出的封闭表达形式。L),3(),2(),(),0(TeTeTee)(nTe2.部分分式法（查表法）部分分式法又称查表法，根据已知的，通过查变换表找出相应

15、的，或者。考虑到变换表中，所有变换函数在其分子上都有因子，所以，通常先将)(zEz)(*te)(nTezz)(zEzzzE)(展成部分分式之和，然后将等号左边分母中的乘到等号右边各分式中，再逐项查表反变换。z 例 6-8 设)2)(1(10)(=zzzzE 试用部分分式法求。)(nTe解 首先将zzE)(展开成部分分式，即 210110)2)(1(10)(+=zzzzzzE 把部分分式中的每一项乘上因子后，得 z210110)(+=zzzzzE 查 z 变换表，得 111=zzZ，nzzZ221=最后可得()10(21ne nT)=()00()()()10(21)()0,1,2=Lnnne t

16、e nTtnTtnTn 3.留数法（反演积分法）在实际问题中遇到的变换函数，除了有理分式外，也可能是超越函数，无法应用幂级数法或部分分式法求反变换，此时采用留数法则比较方便。的幂级数展开形式为 z)(zEz)(zE=0)()(nnznTezE (6-29)设函数除有限个极点,，外，在 z 域上是解析的，则有反演积分公式 1)(nzzE1z2zkz 249111()()dRes()2=?iknzzie nTE z zzE z zj1n (6-30)式中，表示函数1Res()inzzE z z1()nE z z在极点处的留数。留数计算方法如下：iz若，为单极点，则 iz0,1,2,=Lik1n1R

17、es()lim()()iinzzizzE z zzz E z z=(6-31)若为m重极点，则 iz11111dRes()()()(1)!d=iimnmzzimz zE z zzzE z zmzn 例 6-9 设)2)(1(10)(=zzzzE 试用留数法求。)(nTe解 根据式（6-30），有()11210()Res(1)(2)1010(1)(1)(2)(1)(2)10 10 210(12)0,1,2,2)=+=+=+=Linzznnzznnze nTzzzzzzzzzzzn 例 6-10 设变换函数 z23)5)(1()(=zzzzE 试用留数法求其反变换。z解 因为函数 22151)()

18、(=+zzzzzEnn 有是单极点，是 2 重极点，极点处留数 11=z52=z12112111Res()lim(1)()lim(1)(1)(5)16nnnzzzzzE z zzE z zzzz+=2502111152 1222 12511dRes()5()(1)!d1d(5)(2 1)!d(1)(5)(43)516+=+=mnmzzmznznE z zzE z zmzzzzzznn 所以 112111(43)5(43)51()Res()161616innnzzinne nTE z z+=+=+=相应的采样函数 L+=+=+)2(86)1(11)()(1615)34()()()(001*tttnTtnnTtnTetennn 6.3.5 z变换的局限性 z变换法是研究线性定常离散系统的一种有效工具，但是变换法也有其本身的局限性，使用时应注意其适用的范围。z(1)输出变换函数只确定了时间函数在采样瞬时的数值，不能反映在采样点间的信息。z)(zC)(tc)(tc(2)用变换法分析离散系统时，系统连续部分传递函数的极点数至少应比其零点数多两个，即的脉冲响应在z)(0sG)(sG)(tk0=t时必须没有跳跃，或者满足 lim()0ssG s=否则，用变换法得到的系统采样输出与实际连续输出差别较大，甚至完全不符。z)(*tc)(tc 251