一次函数与一次方程教学案例.doc

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1、 一次函数与一元一次方程教学设计教学目标:教学知识点1.用函数观点认识一元一次方程. 2.用函数的方法解一元一次方程. 3.加深理解数形结合思想.能力训练目标1.培养多元思维能力.2. 拓宽解题思路. 3. 加深数形结合思想的认识与应用.情感与价值观要求1.经过活动,会从不同方面认识事物本质的方法. 2.培养学生实事求是,一分为二的分析思维习惯.重点: 1.函数观点认识一元一次方程. 2.应用函数求解一元一次方程.难点: 利用用函数图象解一元一次方程.教学过程一、引入课题登高望远，让人心旷神怡。古人云：“白日依山尽，黄河入海流。欲穷千里目，更上一层楼。”如果说，函数是数学王国中的一座高楼，那么

2、登上这座高楼，俯身看看曾经熟悉的一元一次方程，我们会不会有更新的发现，会不会领悟到更美的意境，会不会看到更广阔的天地呢？今天，老师就和同学们一起登高望远-用函数的观点看看一元一次方程。复习回顾什么叫函数？在一个变化过程中，有两个变量x和y，并且对于x 的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么我们就说 是x自变量， y是x的函数。提问：函数有两个变量x和y，而一元一次方程只有一个未知数x，且x的值是确定的。它们两者之间怎么会有联系呢？我们又如何透过函数看一元一次方程？带着问题，我们一起走进下一个环节。二、探讨新知有一个蓄水池，池中有水12，现在打开排水管，排水管每小时排水2，问几小时可

3、将蓄水池中的水排完？解：设x小时可将水池中的水排完。依题意可得：12-2x=0 解得x=6（小时）（如果我们单纯的看它，它就是一个方程，含有一个未知数，未知数的次数为一，它就是一个简单的一元一次方程嘛，没有什么特殊的。）现在我们登上函数的高楼，变换一个角度去观察去思考：水池排水是一个变化的过程，在这个变化过程中，水池的剩水量y,会随着时间x的流逝而减少。（动画，水流动，水发出哗哗声，时钟滴答滴答声，）提出问题：写出蓄水池中剩余水量y,随时间x(h)变化的函数关系式。 y=12-2x蓄水池中水流出的过程，我们可以把它看成由无数个镜头组合而成的变化过程。我们从中摄取几个镜头进行研究。水中哗啦啦的流

4、动，随着时间的流逝，水池中的水在慢慢减少，停，当水池中剩余的水量为8立方米时，即y=8,我们可以根据函数关系式得到方程12-2x=8，水继续在流出，停，当水池中剩余的水量为5立方米时，即y=5,我们可以得到方程12-2x=5,水还在流，停，当水池中剩余水量为2.3立方米时，即y=2.3,我们可以得到方程12-2x=2.3，水继续流出，当水全部流完了，（电脑闪现y=0）即函数y=12-2x 当y=0时，我们得到方程12-2x=0，水流动的过程中，y在不断的变化，y可以取到无数个值，每确定一个y的值，我们就可以得到一个关于一个关于x的方程，因而我们可以得到无数个关于x的一元一次方程。现在我们再回到

5、前面提出的问题，从函数的角度我们怎样理解方程12-2x=0？（让学生思考回答）可以把它看成已知函数y=12-2x中y=0求x的过程。所以我们发现解方程12-2x=0与x为何值时一次函数y=12-2x的函数值为0是同一个问题。我们现在再次变换角度，从函数图像上来理解方程12-2x=0的解。抛开实际情况，我们单纯的来看函数y=12-2x的图像，它是一条直线。同学们几点可以确定一条直线呢？（两点）同学们你们一般情况会寻找哪两点画一次函数的图像呢？（与x轴y轴的交点）（电脑动画：用尺子铅笔画出数轴，描点，画直线）再次提出问题x轴上点特征？（y为0）要从函数图像上看出方程12-2x=0的解，实际上是要函

6、数图像上找到y为0时x的值，直线上的点有无数个点，哪个点表示y为0呢？（与x轴的交点）我们看一次函数的图像与x轴交于（6，0）实际上是方程12-2x=0的解为x=6（电脑上闪现这个点）所以从函数图像上求12-2x =0的解与求直线y= 12-2x与 x 轴交点的横坐标 是同一个问题。刚才我们分别从函数值的角度和函数图象的角度理解了方程12-2x =0的解。下面我们来看一下方程2x+20=0我们从两方面来理解它。从函数值的角度：它表示x为何值时，函数y=2x+20的值为0从函数图像的角度：求函数y=2x+20与x轴交点的横坐标。（画出图像，比较笔算的和图像上看到的结果是否一致？）让学生理解方程3

7、x-6=0（从函数值的角度，从函数图像的角度）提出问题：是否可以推广？刚才我们对三个方程（12-2x=0，2x+20=0，3x-6=0大家观察方程的右边都为0方程的左边都是关于x一次两项式）都从数和形两方面进行了理解和描述。从函数值的角度看，它们都可以看成某个函数当y=0时求x的过程，从函数图像的角度看，它们的解都是相应的函数和x轴的交点的横坐标。是不是解任意的方程我们都可以转化成某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值？是不是任意方程的解，我们都是某函数图像与x轴交点的横坐标？（让学生思考，鼓励学生提出不同的想法）（有些同学可能会提出）刚才分析的方程的右边都为0，如果给出的方程等号的右边

8、不为0比如：2x+3=5那怎么办？其实这很好办，把3从右边移项到左边得到2x-2=0同学们可能会想，如果5不移项到左边，我们可以怎样从数和形两方面进行理解阐述呢？那种理解更便于我们从图像上直观的看出方程的解呢。我们对它进行一个比较。（分别画出y= 2x+3与 y=2x-2的函数图像）提出问题，我们能从函数y=2x+3的图像上直观的看出y=5时x的值吗？不能，我们只能用尺子比划得到一个近似的值。从y=2x-2的函数图像上我们可以一目了然的看出当y=0时x=1,它的解恰好是函数图象与x轴交点的横坐标。所以从刚才的比较我们可以看出，将方程的右边变为0后，从函数图像上可以更直观，明了的理解方程的解。而

9、对于任意的一元一次方程我们都可以通过移项化成ax+b=0的形式。所以任何方程我们都可以从以下两方面来理解它。从数的角度求ax+b=0(a, b是 X为何值y= ax+b的值常数，a0)的解为0从形的角度求ax+b=0(a, b是 确定直线y= ax+b常数，a0)的解 与X轴交点的横坐标一元一次方程问题 一次函数问题解方程3x2=0当x为何值时,y=3x2的值为0解方程8x+3=0当x为何值时, y=8x+3的值为0解方程-7x+2=0当x为何值时,y=-7x+2的值为0解方程3x-2=8x+3当x为何值时, y=-5x-5的值为0练习2.根据下列图象你能直接写出下列一元一次方程的解吗？-2y=3x+63x+6=0的解为（ ）2y=-2.5x+5-2.5x+5=0的解为（ ）练习3利用函数图象解出x，并笔算检验。（1）5x-1=2x+5 (2)2x+3=1小结本节课有何收获？让学生回答。用一首诗结束本节课：横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识方程真面目，只缘我们在其中。作业：p45，复习巩固第二小题。