大规模电力系统快速潮流计算方法研究.pdf

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1、第40 卷 第9 期 电力系统保护与控制 Vol.40 No.9 2012 年 5 月 1 日 Power System Protection and Control May 1,2012 大规模电力系统快速潮流计算方法研究 夏 沛，汪芳宗 （三峡大学电气与新能源学院，湖北 宜昌 443002）摘要：直接法和迭代法是求解线性方程组的两类常见方法，比较了多波前算法（MA）、GMRES 算法、FGMRES 算法在大规模电力系统潮流计算中的求解效率。经 IEEE 118 节点、300 节点和 Poland 共 7 个算例仿真测试表明，基于 ILU 分解法预条件子的 FGMRES 算法的内迭代次数较

2、GMRES 算法明显减少，但整体求解时间较 GMRES 算法长；多波前算法的求解速度较二者快。基于 PQ 分解法预条件子，提出一种 GMRES-MA 混合算法，在 GMRES 算法每步迭代过程生成 Krylov 子空间后，利用多波前算法（MA）直接求解辅助预处理方程组。算例测试结果表明，随着系统规模的增长，该方法的内迭代次数较 GMRES 算法有所减少，并且计算时间较 GMRES 算法和多波前算法（MA）均有所降低，适合于大规模电力系统潮流计算的快速求解。关键词：大规模电力系统；潮流计算；多波前算法(MA)；GMRES 算法；FGMRES 算法；GMRES-MA 混合算法 Study on f

3、ast power flow calculation methods of large-scale power systems XIA Pei,WANG Fang-zong (School of Electrical Engineering&Renewable Energy,China Three Gorges University,Yichang 443002,China)Abstract:Direct and iterative methods are two common solution methods for linear equations.Three methods for po

4、wer flow calculation in large-scale power systems are compared,namely multifrontal algorithm(MA),GMRES method and FGMRES method.Numerical simulation tests on seven systems including IEEE 118,300 buses and five Poland test systems indicate that the FGMRES method obviously has fewer inner iterative nu

5、mbers than the GMRES method with ILU preconditioner,but it takes more computing time on the whole.Overall,MA is the fastest.Based on PQ preconditioning,this paper presents a combined GMRES-MA method.MA is used to solve the assisted preconditioning equations,after the Krylov subspace is generated by

6、the GMRES method for each step in the outer-iterations.The results show that,with the scale expanding,this new method has fewer inner iterative numbers than the GMRES method.Furthermore,compared with both MA and GMRES method,the computing time of the new method is decreased.Therefore,this new method

7、 is applicable to the fast power flow calculation in large-scale power systems.Key words：large-scale power systems；power flow calculation；multifrontal algorithm(MA)；GMRES method；FGMRES method；combined GMRES-MA method 中图分类号：TM74 文献标识码：A 文章编号：1674-3415(2012)09-0038-050 引言 基于牛顿法的电力系统潮流计算，其中 80%的时间用于求解形

8、如=Axb的稀疏线性修正方程组，随着方程组阶数的不断增长，这一点是非常不利的。针对大规模电网的快速潮流计算方法，目前的研究主要分为两个方向：一是移植到高性能并行计算机求解1或应用集群系统并行处理的技术2及其他并行算法3；二是结合大型稀疏矩阵特点寻找计算量少、收敛性好、数值稳定性高的算法，这些方法主要分为两类：直接法和迭代法。直接法通过对雅可比矩阵分块处理的基础上进行三角分解、求逆等达到求解目的。对于稀疏线性方程组的直接解法，目前备受关注的是多波前算法（Multifrontal Algorithm，MA）4-6。文献7将其应用于电力系统动态时域仿真计算。文献8将其应用于电力系统潮流计算，研究发现

9、，电力系统的规模越大，多波前算法相对于稀疏三角分解法的加速比也越明显。文献9结合 AMD 排序，应用多波前方法提高大规模稀疏线性修正方程组的求解效率，实现快速求解最优协调电压控制问题。以广义极小残余算法（Generalized Minimal 夏 沛，等 大规模电力系统快速潮流计算方法研究 -39-Residual Algorithm，GMRES）为代表的 Krylov 子空间算法结合适当的预处理技术，已广泛应用于高维稀疏线性方程组的求解10-14。近年来，基于可变预处理技术的灵活广义极小残余算法（Flexible Generalized Minimal Residual Algorithm，

10、FGMRES）也逐渐引起了国内外研究人员的注意。传统直接法在求解过程中需要前推回代的特点，使其难以实现向量化并行求解，迭代法较直接法更适合并行处理。文献15将预处理共轭梯度法与传统直接法进行了详细比较。数值结果表明，对于大型系统（几百个节点以上），此类迭代法结合适当的预处理明显优于传统直接法。但是，共轭梯度法只适用于雅可比矩阵为对称正定矩阵的情况，GMRES 类方法适合非对称问题的求解，为潮流计算雅可比矩阵选择合适的预条件子能提高算法的收敛性能并加快迭代收敛的速度。1 理论基础 1.1 多波前算法 多波前算法（MA）于上世纪80年代提出，在波前法的基础上发展而来，最初用来求解有限元问题。Duf

11、f随后引进了并行多波前法4，随着并行计算理论和并行计算机的发展，已扩展该算法实现有限元并行数值分析16。多波前法的基本思路是找出、构造稀疏矩阵中的密集子块（即波前，指连续的相同结构的列所构成的子矩阵）。波前的构造相当于滤掉矩阵中大量的零元素，使得大规模的稀疏矩阵集成为多个小规模的密集阵，波前的分解直接调用高效的BLAS库。相互独立的波前可以被同时分解，具有并行特性。波前更新矩阵由一系列特定的外积组成，这些外积的结构用树状结构来表达。相对于传统的稀疏三角分解法直接求解大规模稀疏线性方程组，多波前算法的一个优点是可以采用分阶段的求解模式：即符号分析、数值分解和回代求解。线性方程组系数矩阵的结构一旦

12、确定并且在以后的迭代求解过程中保持不变，那么通常只需对该矩阵做一次符号分析，避免重复分析占用求解时间。文献8的潮流计算结果表明，分阶段求解模式较直接求解模式更快更灵活。分阶段求解模式的基本过程是首先根据给定的稀疏矩阵结构，确定填入元，然后生成相应的消去树（或集成树），完成符号分析。在树的指导下不断由子节点的更新阵集成形成父节点的波前阵，接着通过对波前阵进行矩阵分解而得到相应的分解因子阵及更新阵，直到完成对整个稀疏矩阵的分解（消元），即数值分解。最后，对分解因子阵进行回代求解。1.2 GMRES 算法 Krylov子空间法是上世纪 90 年代提出的一类迭代法。考虑方程组x=b，式中：n nAR为

13、大型稀疏非奇异矩阵；nbR为给定的向量，取0nxR为任一向量，令0=+xxz，设00=rbAx为初始残量。记Km和mL为两个m维空间（mn）。1000,Kr ArArmmspan=?，并称这个空间为由A和0r生成的Krylov子空间，mm=LAK。利用Galerkin原理，在子空间mK中寻找近似解mz，使得残余向量0mrAz和mL中的所有向量正交。通过 Arnoldi迭代过程求出mK的一组标准正交基12,v vvm?和Hessenberg 矩阵mH，记mV是由12,v vvm?组成的nm矩 阵，满 足1mmm+=AVVH，mmm=zV y，mmyR。GMRES算法原理是通过使残量mAzb最小的

14、矢量mmzK来逼近=Axb的精确解，从而将问题转化为求1mmm=rH ye范数最小的问题，其中0=Axb，11(1,0,0)eRm+=?。GMRES 算法是求解大规模非对称线性方程组的常用算法，具有收敛速度快、稳定性好等优点。关于 GMRES 算法实施的具体细节可参考文献17，本文不再赘述。GMRES 算法广泛应用于工程计算，在电力系统分析计算中，主要应用于潮流计算10-11、暂态稳定计算12、无功优化13、工频电磁场计算14等。GMRES 算法实施过程中涉及到大量的矩阵-向量乘积运算，适合于并行处理，算法的并行实现成为目前研究的重点。1.3 迭代法的预处理技术 Krylov 子空间方法求解大

15、规模稀疏线性方程组时，影响算法收敛性能的主要因素是系数矩阵A的谱分布情况（即特征值的分布情况）或条件数。通过构造适当的预条件子矩阵对系数矩阵进行预处理，使得系数矩阵的特征值分布变得集中或减少条件数。对于高维稀疏线性方程组=Axb，预条件子矩阵M的选取原则是寻找合适的1MA，使得预处理 后1=?AMAI并 且 辅 助 预 处 理 方 程 组1jj=zM v易于求解。式中，I为单位阵，即()1cond?A，()1?A。迄今为止，潮流计算常用的预处理方法主要包括 ILU 分解方法（Incomplete LU Factorization Method，ILU）18、不完全 Cholesky分解法（In

16、complete Cholesky Factorization Method，IC）19、分块对角矩阵法（Block Diagonal Method）20、-40-电力系统保护与控制 PQ 分解预处理方法21等。研究表明，这几种预处理矩阵没有绝对的好坏。目前，较为流行的带部分填充量的 ILU 分解法预处理效果较好，但在进行ILU 分解时必须处理好填充量和预处理效果的平衡。PQ 分解法预处理也是一种较好的方法，但随着系统规模的扩大，PQ分解法的雅可比矩阵完全求逆的计算代价也是很大的。1.4 FGMRES 算法 相对 GMRES 的预处理矩阵在整个迭代过程中保持不变，为了进一步提高预处理效果，Sa

17、ad22提出了基于内外迭代的 FGMRES 方法，是一种更具灵活性的 GMRES 算法。目前，主要应用于电力系统分析和计算电磁学23领域。在 GMRES 算法中，辅助预处理方程组为1jj=zM v，其中1M为一个不变的预处理子。并且在每次迭代中，该式都需要求解一次。FGMRES方法中辅助预处理方程组变为1jjj=zMv，也就是在每次迭代时，采用一系列的预处理子jM来处理，即内迭代过程，jM可用任何方法求解。相应地，保存jz以形成预处理之后的 Krylov 子空间kZ，即12,Zz zzkk=?，近似解0kkk=+xxZ y。基于 FGMRES 法的牛顿潮流算法的关键在于每步迭代过程中生成 Kr

18、ylov 子空间后，都要对预条件子进行更新。理论上，FGMRES 算法具有更好的收敛特性，且对运行在重负荷、B/X 比值较大等极限状态的系统容忍度更高。2 GMRES-MA 混合潮流计算方法 基 于 牛 顿 法 的 潮 流 计 算 方 程 组 为：()kk=J XF X，其中J为雅可比矩阵，是一个稀疏不对称矩阵。本文提出的混合方法是在考虑GMRES 迭代类方法和多波前方法求解的特点后，选用 PQ 分解法预条件子对J进行预处理，在GMRES 算法每步迭代过程生成 Krylov 子空间后，利用高效的多波前算法（MA）直接求解辅助预处理方程组1jj=zM v，达到快速求解的目的。PQ 分解法预处理矩

19、阵一旦形成，借助多波前算法灵活的分阶段求解模式，只需进行一次符号分析和数值分解运算，并记录分解因子阵，在求解辅助预处理方程组时，可直接进行调用。3 算例仿真和分析 本文基于 Visual Studio 2008 编译环境，利用 C语言设计实现了四种算法应用到大规模电力系统潮流计算的情形，它们分别是多波前算法（MA）、基于 ILU 预条件子的 GMRES 算法和 FGMRES 算法以及基于 PQ 分解法预条件子的 GMRES-MA 混合算法。潮流计算模型均采用极坐标模型，多波前算法收敛精度为 10-6；对于GMRES和 FGMRES算法，内迭代收敛精度设为 10-6，牛顿法外迭代收敛精度亦设为

20、10-6，对两类经典的算法进行了仿真比较。考虑到牛顿法迭代过程中第 1 步、第 2 步求解结果往往距精确解较远，进行 GMRES-MA 混合算法的算例仿真时，第 1 步、第 2 步的内迭代收敛精度设为 10-2，外迭代精度仍设为10-6。所采用的算例模型为 IEEE 118、IEEE 300 及 5 个 Poland 互联大规模电力系统模型，测试时间均为平均值。表1 给出了7个算例系统的网络规模和雅可比矩阵J条件数。由表 1 可以看出，随着网络规模的扩大，其初次形成的雅可比矩阵J的条件数往往是很大的（()103conde+J），接近极限运行状态。表 1 测试系统的规模及其条件数 Table 1

21、 Scales of test systems and condition numbers 测试系统 节点数 支路数 J条件数 118 118 186 5.71e+03 300 300 411 2.55e+05 2 383 2 383 2 896 1.09e+06 2 746wp 2 746 3 514 4.61e+06 2 746wop 2 746 3 514 4.48e+06 2 736 2 736 3 504 1.41e+06 2 737 2 737 3 506 1.27e+06 表 2 为基于 ILU 分解法预处理的 GMRES 及FGMRES 算法进行潮流计算的结果。同样的收敛精度下

22、，FGMRES 算法的内迭代次数较 GMRES 算法明显减少，但由于 FGMRES 算法每次外迭代开始前对预处理矩阵进行的更新及其ILU分解占用了一定的计算机时，导致整体求解时间并没有明显下降。由表 3 可知，采用多波前算法的潮流计算时间较GMRES 类方法明显减少。表 2 测试系统的迭代次数 Table 2 Iteration numbers of test systems 外/内迭代次数 测试 系统 MA GMRES FGMRES 118 5 5/4;7;7;6;6 5/4;4;4;4;4 300 5 5/7;9;8;9;9 5/7;7;7;7;7 2 383 3 3/20;20;20 3

23、/20;19;19 2 746wp 5 5/16;23;23;24;23 5/16;15;17;18;18 2 746wop5 5/16;22;22;21;21 5/16;16;17;18;17 2 736 5 5/16;22;23;23;21 5/16;16;18;18;17 2 737 6 6/16;21;24;23;22;21 6/16;15;17;17;17;16 夏 沛，等 大规模电力系统快速潮流计算方法研究 -41-表 3 测试系统的计算时间 Table 3 Computing time of test systems 计算时间/ms 测试 系统 MA GMRES FGMRES 1

24、18 56 57 63 300 603 593 733 2 383 12 866 14 162 14 342 2 746wp 28 388 27 948 29 105 2 746wop 28 839 28 869 29 782 2 736 27 586 29 072 29 920 2 737 36 647 37 521 37 842 基于以上仿真分析结果，本文提出的 GMRES-MA 混合算法选用定常的 PQ 分解法预条件子，利用多波前算法灵活的分阶段求解模式加速预处理矩阵的完全求逆。仿真结果见表 4，结果表明，随着系统规模的增长，该方法的内迭代次数较 GMRES算法有所减少，并且计算时间较

25、GMRES 算法和多波前算法均有所降低。表 4 GMRES-MA 混合算法潮流计算结果 Table 4 Power flow calculations with combined GMRES-MA method 测试系统 外/内迭代次数 计算时间/ms 118 5/4;5;10;10;10 62 300 5/5;4;18;18;19 676 2 383 3/3;11;13 13 647 2 746wp 5/6;6;19;19;19 27 892 2 746wop 5/5;5;21;21;22 28 346 2 736 5/5;5;18;17;18 28 694 2 737 6/5;6;17;1

26、7;16;15 36 222 4 结论 多波前算法、GMRES算法、FGMRES算法是进行大规模电力系统潮流计算的有效方法。在同样的收敛精度下，基于ILU预条件子的FGMRES算法的内迭代次数较GMRES算法明显减少，但整体求解时间较采用同一预处理矩阵的GMRES算法长；多波前算法的求解速度较基于ILU预条件子的GMRES类算法要快。随着系统规模的增长，本文提出的GMRES-MA混合算法内迭代次数较GMRES算法有所减少，并且计算时间较GMRES算法和多波前算法均有所降低，适合于大规模电力系统潮流计算的快速求解。参考文献 1 夏俊峰,杨帆,李静,等.基于 GPU 的电力系统并行潮流计算的实现J

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