圆锥曲线中的参数范围问题.pdf

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1、圆锥曲线中的参数范围问题西安市第四十八中学 焦 宇(本讲适合高中)圆锥曲线中求参数范围问题,是解析几何与函数、不等式、方程、三角等知识交叉、渗透的综合性问题,具有考查综合能力的功能,因而成为竞赛命题的热点.1 基础知识探求圆锥曲线中的参数范围有以下常用方法:(1)数形结合法根据含参数方程表示曲线的几何特征,数形结合确定参数范围.(2)方程法根据直线与圆锥曲线的位置关系,构造含参数的方程,转化为根的分布问题求解.(3)不等式法根据圆锥曲线的几何性质及直线与圆锥曲线的位置关系构造含参数的不等式(如定比分点性质,圆、椭圆、双曲线的范围,判别式,已知参数的范围,三角函数的有界性等),将问题转化为求解不

2、等式.(4)函数法根据圆锥曲线的几何性质及直线与圆锥曲线的位置关系构造关于参数的函数关系,将问题转化为求函数的值域.(5)几何法圆锥曲线的两焦点或顶点与曲线上的点可以构成三角形,因而可以利用三角形两边之和大于第三边及正、余弦定理等建立不等关系.例1 椭圆x29+y24=1的焦点为F1、F2,点P为其上的动点,当 F1PF2为钝角时,点P的横坐标的取值范围是.导析1:考察当P点运动时 F1PF2的变化:0 90 0,抓住特殊角90,容易联想到直径所对的圆周角为直角,从而构造以|F1F2|为直径的圆,则P点应在该圆内部(如图1).由x2+y2=5,4x2+9y2=36,得x=35.所求P点横坐标的

3、取值范围是-35x35.导析2:由 F1PF2为钝角知tanF1PF2 0的情形.由tanF1PF2=kPF2-kPF11+kPF2kPF1 0,即25y0 x02+y02-5 0,得x02+y025.结合x029+y024=1可得-35x035.导析3:该题与焦半径有关,欲求P点横坐标取值范围,而焦点在x轴上的椭圆焦半径恰好是用点P横坐标来表示的,故可用焦半径公式解决,设P(x0,y0),|PF1|=3+53x0,|PF2|=3-53x0.F1PF2为钝角,|PF1|2+|PF2|2|F1F2|2.即(3+53x0)2+(3-53x0)2(25)2.-35x035.说明:求点P横坐标x的取值

4、范围,关键是建立关于x的不等式.建立不等式的方法是多样的,从不同角度看待“钝角”,就会得到不同的解法,这正是解析几何的特征.例2 在平面直角坐标系中,若方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲线是椭圆,则m的取值范围是().A.(0,1)B.(1,+)C.(0,5)D.(5,+)(1997年全国高中数学联赛题)导析:若将方程设法变为标准形式,运算太麻烦,而且容易出错.已知方程可化为x2+(y+1)2|x-2y+312+(-2)2|=5m,竞赛园地中学数学教学参考2003年第3期23 1995-2007 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co.,Lt

5、d.All rights reserved.上式表示动点(x,y)到定点(0,1)的距离与到定直线x-2y+3=0的距离的比为常数5m.由椭圆第二定义,得5m 5.故选D.说明:巧妙利用曲线定义求参数的取值范围,不但避免了复杂运算而且优化了解题过程.例3 若椭圆x2+4(y-a)2=4与抛物线x2=2y有公共点,则实数a的取值范围是.(1998年全国高中数学联赛题)导析:可考虑将两曲线有公共点转化为它们的方程组成的方程组有实数解.根据问题的特点,可选用椭圆的参数方程x=2cos,y=a+sin(为参数).代入x2=2y,得4cos2=2(a+sin).分离 出a=2cos2-sin=2-2si

6、n2-sin=-2(sin+14)2+178.-1sin1,-1a178.说明:本题将椭圆的参数方程代入抛物线的方程,分离出a,问题转化为求三角函数的值域.例4 已知点A(0,2)和抛物线y2=x+4上两点B、C,使得ABBC,求点C纵坐标的取值范围.(2002年全国高中数学联赛题)导析:由于B、C是抛物线上两个相关的点,所以可通过B点纵坐标的范围建立关于C点纵坐标的不等式来解.设B(y21-4,y1),C(y22-4,y2).显然y12,则kAB=y1-2y12-4=1y1+2,kBC=y1-y2(y12-4)-(y22-4)=1y1+y2.ABBC,1y1+21y1+y2=-1.即y12+

7、(y2+2)y1+(2y2+1)=0.y1R,=(y2+2)2-4(2y2+1)0.解得y20,或y24.说明:注意由一个变量的范围来确定另一个变量的范围.2 综合应用圆锥曲线中参数范围问题涉及知识面广、综合性强、条件又较隐蔽,所以更有利于培养学生分析问题和解决问题的能力.例5 设双曲线C1:x2a2+y2=1(a为正常数)与C2:y2=2(x+m)在x轴上方仅有一个公共点,求实数m的取值范围(用a表示).(2001年全国高中数学联赛题)导析:可将曲线C1与C2的公共点的个数问题转化为研究它们的方程组成的方程组解的个数问题.由x2a2+y2=1,y2=2(x+m),得x2+2a2x+2a2m-

8、a2=0.问题转化为方程 在区间(-a,a)上有惟一解或两个相等的实根.设f(x)=x2+2a2x+2a2m-a2.当=0,即m=a2+12时,xP=-a2.由-a-a2a,得0 a 1,这时方程 有等根.当f(-a)f(a)0,即-ama时,方程 在区间(-a,a)内有一个根(另一根在区间外).当f(-a)=0,即m=a时,xP=a-2a2,由-aa-2a2a,得0 a 1,这时方程 在区间(-a,a)内有惟一解.当f(a)=0,即m=-a时,xP=-a-2a2,由-a-a-2a2a,得a,故m-a.综上所述,当0 a 1时,m=a2+12或-ama;当a1时,-amb 0)的两焦点为F1、

9、F2,斜率为k的直线l过右焦点F2,与椭圆交于A、B,与y轴交于C,B为CF2的中点.若|k|2 55,求椭圆离心率e的取值范围.导析:先写出直线l方程:y=k(x-c).则可求出C(0,-kc)、B(c2,-kc2).又点B在椭圆上,(c2)2a2+(-kc2)2b2=1,即e2+k2e21-e2=4.解得k2=e2+4e2-5.|k|255,e2+4e2-545.解得2 55e 1.24竞赛园地中学数学教学参考2003年第3期 1995-2007 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co.,Ltd.All rights reserved.说明:设法将|k|255转

10、化为关于e的不等关系来解.例7 若双曲线C:x2-y2=1上存在关于直线l:y=k(x+4)对称的两点,求k的取值范围.导析:设A(x1,y1)、B(x2,y2)是双曲线上关于直线l对称的两点,AB中点为M(x0,y0),则x12-y12=1,x22-y22=1.-得(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0.kAB=y1-y2x1-x2(x1x2),x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,上式变形为2x0-2y0kAB=0.若k=0,双曲线上显然存在关于直线l对称的两点.若k0,式变形为2x0+2y01k=0.又M(x0,y0)在直线l上,有y0=k(x0+4).解由、组

11、成的方程组,得M(-2,2k).设直线AB的参数方程为x=-2+tcos,y=2k+tsin.(t为参数,tan=-1k)代入双曲线C的方程,得(cos2-sin2)t2-(4cos+4ksin)t+3-4k2=0.由tan=-1k知cos=-ksin.代入,得t2(k2-1)sin2+3-4k2=0.因tAtB 0,sin20,故3-4k2k2-1 0,k0.于是k(-,-1)(-32,0)(0,32)(1,+).综合以上讨论,k的取值范围是k(-,-1)(-32,32)(1,+).说明:利用直线的参数方程解决此类问题有其独到之处.3 强化训练(1)已知抛物线C:x2=2y,点A(0,a),

12、如果抛物线C上到点A距离最近的是抛物线的顶点,那么a的取值范围是.(2)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的半焦距长为c,若b2-4acb 0)的长轴的两端点为A、B,如果C上存在一点P,使 A PB=120,则椭圆C的离心率的取值范围为.(5)已知椭圆C的方程为x24+y23=1,试确定m的取值范围,使得对于直线y=4x+m,椭圆C上有不同的两点关于该直线对称.(6)已知A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(ab 0)上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0).求证:-a2-b2ax0a2-b2a.(7)如图2,已知梯形ABCD中,|AB|=2|CD|,点E分A

13、C所成的比为,双曲线过C、D、E三点,且以A、B为焦点,当23 34时,求双曲线离心率e的取值范围.参考答案与提示(1)x2=2y,x2+(y-a)2=a2只有一组解x=0,y=0,转化为y2+(2-2a)y=0在0,+)上只有一个解,故2a-20,得a1.(2)b2-4ac 0c2-a2-4ac 0(ca)2-4(ca)-1 0e2-4e-1 01 e 2+5.(3)85.(4)63e 1.(5)-21313m21313.(6)略.(7)7,10.竞赛园地中学数学教学参考2003年第3期25 1995-2007 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co.,Ltd.All rights reserved.