控制系统的稳定性分析.pdf

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1、1Course自动控制原理 IInstructor:李世华School of AutomationSoutheast universityAny comments,please feel free to contact me(中心楼608,E-mail:,Tel.:83793785(o)稳定性分析的意义稳定性分析的意义Chap 4 控制系统的稳定性分析稳定性是控制系统能够正常工作的首要条件。只有稳定的情况下，性能分析和改进才有意义。负反馈只是使系统稳定的一种手段，并不一定能够保证闭环系统的稳定。例子：带大惯性和时滞的系统稳定压倒一切。4.1 稳定性(stability)的概念和定义4.1 稳定

2、性(stability)的概念和定义Chap 4 控制系统的稳定性分析abcabcdf平衡点单/多平衡点系统干扰，偏差稳定的物理意义稳定范围/区域维持平衡的能力若控制系统在任何足够小的初始偏差作用下，随着时间的推移，偏差会逐渐衰减并趋于零，具有恢复原平衡状态的性能，则称该系统是稳定(stable)的；否则，称该系统是不稳定(unstable)的。若控制系统在任何足够小的初始偏差作用下，随着时间的推移，偏差会逐渐衰减并趋于零，具有恢复原平衡状态的性能，则称该系统是稳定(stable)的；否则，称该系统是不稳定(unstable)的。可通过研究描述系统的微分或差分方程的解得到系统稳定性。4.1 稳

3、定性的概念和定义4.1 稳定性的概念和定义4.1 稳定性的概念和定义4.1 稳定性的概念和定义李亚普诺夫(Lyapunov,1892)稳定性()()ttxFtx,=&ccxtxthenxxif)(,0,00()()0,=ttxFtxcc&Lyapunov stabilityLyapunov asymptotic stability0)(lim=ctxtxIf in addition,()00txx=()=niicicxxxx124.2 线性系统稳定的充分必要条件4.2.1 状态空间模型4.2.2 输入输出模型4.2 线性系统稳定的充分必要条件4.2.1 状态空间模型4.2.2 输入输出模型Ch

4、ap 4 控制系统的稳定性分析若讨论稳定性是基于I/O模型的，则只关心输出值在输入消失后是否收敛到有限值输入输出稳定性(I/O stability)输入输出稳定性(I/O stability)不同于：状态空间模型/Lyapunov stability如果特征方程在复平面的右半部没有根，但在虚轴上有根且该根非重根，则称系统是I/O临界稳定的。(Note:工程上不存在！)(Note:工程上不存在！)一个连续LTI系统I/O稳定的充要条件它的微分方程描述的特征方程的根全都具有负实部或：它的传递函数的极点都位于复平面的左半部24.2.3 离散控制系统4.2 线性系统稳定的充分必要条件4.2.3 离散控

5、制系统4.2 线性系统稳定的充分必要条件一个离散LTI系统I/O稳定的充要条件：它的脉冲传递函数的特征根(即脉冲传递函数的极点)全部在Z平面以原点为中心的单位圆内脉冲传递函数的极点除了在单位圆内，还有在单位圆上的极点且该根非重根，则称系统是I/O临界稳定的。s平面0z平面01左/右平面，虚轴?jsezTs+=,TzezT=,0),()2(6)1(5)(=+kkukykyky0,35.125.0)(1+=+kkykk4.3 系统稳定性的代数判据4.3 系统稳定性的代数判据Chap 4 控制系统的稳定性分析对象：微分/差分方程描述对象(I/O模型)I/O稳定性意义：定量求解(难)定性求解(判据)特

6、点：根据特征方程各项系数确定特征根的(复平面)位置4.3.1 连续系统稳定性的代数判据及其应用劳斯（Routh，1877）判据霍尔维茨（Hurwitz，1895）判据通常合称为劳斯霍尔维茨判据一、Routh判据线性系统稳定特征方程的全部系数均为正数，并且由特征方程系数组成的Routh阵的第一列的元素全为正数.)0(,00111=+nnnnnaasasasaL4.3 系统稳定性的代数判据4.3 系统稳定性的代数判据021121321321321531420124321 aegfeedddcccbbbaaaaaassssssssnnn-nnnnnnnn=MLLLLLM不稳定根的个数Routh第一列

7、元素变符号次数要求：判稳，不稳根数目，虚轴根情况Routh判据0012233=+asasasa023021021301230 aaaaaaaaaassss0,0123aaaa3021aaaa二、特殊情况4.3 系统稳定性的代数判据4.3 系统稳定性的代数判据1、劳斯阵某一行第一个元素为零，而其余元素不全为零方法a：方法a：则可以用一个很小的正数代替它，而继续按上述公式计算下一行的项。计算结果如果是第一列（即）的上项和下项符号相反，则计作一次符号变化。0233=+ss 22323-10123ssss2次符号变化,在右半s平面有2个不稳定的根直接分析是否稳定？二、特殊情况4.3 系统稳定性的代数判

8、据4.3 系统稳定性的代数判据1、劳斯阵某一行第一个元素为零，而其余元素不全为零方法b：方法b：用(s+a),a0去乘D(s)得E(s)，Routh判据求E(s)。06733)3)(23(2343=+=+sssssss 62062/3-07-363-101234sssss2次符号变化,在右半s平面有2个不稳定的根3二、特殊情况4.3 系统稳定性的代数判据4.3 系统稳定性的代数判据2、劳斯阵某一行元素全为零（存在大小相等关于原点对称的根）方法：可将不为全零的最后一行的各项组成一个辅助多项式,并用这个多项式各项对s求导所得的系数代替全为零行的各项，则可以继续计算劳斯阵的以下各行.而那些大小相等而

9、关于原点对称的根也可以通过求解这个辅助多项式而得出。辅助多项式P（s）6s224ssP12)(=02420105234=+ssss2412024620524101 01234sssss这表明系统有一对纯虚根存在。系统是临界稳定的。3,2,2j二、特殊情况4.3 系统稳定性的代数判据4.3 系统稳定性的代数判据2、劳斯阵某一行元素全为零05025482422345=+sssss005048225241 s345ss辅助多项式P（s）2s448s250 sssP968)(3+=二、特殊情况4.3 系统稳定性的代数判据4.3 系统稳定性的代数判据05025482422345=+sssss507.11

10、250249685048225241 012345一次变号ssssss表明原系统方程有一个正实根。通过求解辅助多项式，得到关于原点对称的根2s448s250=01,j5系统有一个不稳定正实根,有一对虚根(j5)Note:上述两种特殊情况，即使计算所得劳斯阵第一列元素大于零，也只能确定系统是临界稳定的,即原系统至少有一对特征根在虚轴上。？二、特殊情况4.3 系统稳定性的代数判据4.3 系统稳定性的代数判据2个右半s平面根，有一对特征根i在虚轴上。01233323456=+ssssss例4.9(p.140)书上方法自学1214241)(1131421213110231133102212223456

11、ssssPsssss+=+0三、Hurwitz判据)0(,00111=+nnnnnaasasasaL4.3 系统稳定性的代数判据4.3 系统稳定性的代数判据线性系统稳定由特征方程系数组成的Hurwitz行列式的各阶主子式均大于0nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaD=02112314253100000000LLLLLMLLLLMMLLMMLLMLLMLLLL,011=naD,02312=nnnnaaaaD0=DDnLHurwitz判据Routh判据的等价关系4.3 系统稳定性的代数判据4.3 系统稳定性的代数判据11Dan=M121/DDb=011/aDDgnn=Note：H

12、urwitz判据没有直接给出非稳定根分布情况Hurwitz判据对高阶系统存在矩阵行列式计算问题计算机实现，数值稳定性问题4四、劳斯霍尔维茨判据的应用4.3 系统稳定性的代数判据4.3 系统稳定性的代数判据1判别反馈系统的稳定性014.02.005.0001.0234=+ssss12.0001.0004.005.00012.0001.0004.005.0=D05.01=DD20.050.20.0010.40D3 0.40.20.4 0.420.001 0.0520D41D30四、劳斯霍尔维茨判据的应用4.3 系统稳定性的代数判据4.3 系统稳定性的代数判据2分析系统参数变化对稳定性的影响)(sC

13、)2)(1(2+ssssK()()()()KssssKsRsC+=2120233234=+Kssss特征方程KKKKsssss792372331 0123414/9K0四、劳斯霍尔维茨判据的应用4.3 系统稳定性的代数判据4.3 系统稳定性的代数判据3确定系统的相对稳定性在时域分析中，常常以实部最大的特征根和虚轴之间的距离表示系统的相对稳定性和稳定裕度相对稳定性和稳定裕度。若系统的全部特征根都在垂线x=-的左边，则称该系统具有的稳定裕度。P平面s平面-0方法：s=p-物理意义？物理意义？四、劳斯霍尔维茨判据的应用4.3 系统稳定性的代数判据4.3 系统稳定性的代数判据)(sC)125.0)(1

14、1.0(+sssK+=KsssKsRsC)10)(4()()(KKKssss1456014401 01235600K140 K0)1(40)1(14)1(23=+Kppp0)27(151123=+Kppp2711)27(1652711151 0123KKKpppp8.4675.0 K4.3.2 离散系统稳定性的代数判据一、劳斯霍尔维茨判据的应用4.3 系统稳定性的代数判据4.3 系统稳定性的代数判据11+=ssz11+=zzs双线性变换s平面0z平面01原理：建立z平面单位圆和s平面左右平面，虚轴映射关系离散系统稳定的充要条件是其特征方程的根全部位于Z平面上以原点为圆心的单位圆内.左/右平面，

15、虚轴?z=esT？一、劳斯霍尔维茨判据的应用4.3.2 离散系统稳定性的代数判据(1)求出离散系统的特征方程 D(z)(2)z=(s+1)/(s-1),D(z)(3)利用Routh-Hurwitz判据判稳)(sD5一、劳斯霍尔维茨判据的应用4.3.2 离散系统稳定性的代数判据03911911745)(23=+=zzzzD039)11(119)11(117)11(4523=+ssssss0)12240(8)(23=+=ssssD118-12240 0123ssss有两个根在单位圆外,此离散系统不稳定一、劳斯霍尔维茨判据的应用4.3.2 离散系统稳定性的代数判据理想保持器)1(+ssKT=1sr(

16、t)c(t)111()1()(0+=+=ssKssKsG)(1()1()(0TTezzeKzzG=037.0)37.163.0()1()(1()(2=+=+=zKzeKzezzzDTT2()0.631.262.740.630D sKssK=+=35.40081201TTee405.00=+=nnnnnaazazazazDL2n-22m1m0m二、朱利(Jury)判据-直接判据4.3.2 离散系统稳定性的代数判据1011()0,0nnnnnD za zaza zaa=+=L离散线性定常系统稳定的充分必要条件是0)()1(1=zzDD0)()1()1()1(1=znnzDD203020100;mm

17、llccbbaannn+=aaazDDz0)368.0264.0()368.1386.0(1+KK0)()1()1()1(01212+=aaazDDzn0)368.0264.0()368.1386.0(1+KK31.26104.0736.2=KK0naa0394.2264.0368.01=+=zzDD02141072)()1()1()1(14=+=znzDD个约束条件31=n,2,140=aa40aa,11,3330=bb20cc,20,820=cc4.4 根轨迹图及系统稳定性分析4.4 根轨迹图及系统稳定性分析Chap 4 控制系统的稳定性分析定性分析LTI极点(稳定性)的方法代数判据Rou

18、th-Hurwitz判据反映不稳定闭环极点个数与参数之间关系时域图形方法根轨迹(Root Locus)分析方法更直观反映闭环极点位置/系统稳定性与参数之间关系伊文斯（W.R.Evans）,1948年4.4.1 基本概念某个系统参数例如开环增益K:0时闭环极点的变化轨迹4.4 根轨迹图及系统稳定性分析4.4 根轨迹图及系统稳定性分析)15.0(+ssKR(s)C(s)_KssKsRsC222)()(2+=Ks2112,1=K=0-2-11K=0K=0.5K=1K=0-2-11K=0K=0.5K=1K=11K=112K=2.5K=2.52K=2.5K=2.54.4.2 幅值条件和幅角条件4.4 根

19、轨迹图及系统稳定性分析4.4 根轨迹图及系统稳定性分析H(s)G(s)_R(s)C(s)(1)()()(1)()()()(sGsGsHsGsGsRsCsK+=+=开环传递函数=+=njjmiigKpszsKsG11)()()(开环系统的零点开环系统的极点根轨迹增益开环增益=njjmjigpzKK11不计零值极点和零点11?11KKTTssT+与)(1)()()(1)()()()(sGsGsHsGsGsRsCsK+=+=幅值条件(用处？)4.4.2 幅值条件和幅角条件闭环极点方程0)(1=+sGK?1)(=sGK1)()(11=+=mjjmiigpszsK1)(=sGKLo,2,1,0 ),12

20、(180)(=+=kksGK1)()(1111=+=+=njjmiignjjmiigpszsKpszsK幅角条件(充要条件!)Lo,2,1,0 ),12(180)()(11=+=+=kkpszsminjji4.4.2 幅值条件和幅角条件)()()()(321pspsszsKsHsGg+=Lo,2,1,0 ),12(180)()(32113211=+=+=+kkspspspsziiiiiiiiigszspspspK1321=ReIm01p2p3p1zis123174.4.3 绘制根轨迹的基本法则4.4 根轨迹图及系统稳定性分析4.4 根轨迹图及系统稳定性分析=+=njjmiigKpszsKsG1

21、1)()()(1.根轨迹的起点和终点0)()(10)()(1111=+=+=miinijgmiignijzspsKzsKps起点为n个开环极点，终点为m个开环零点和n-m个无穷远处零点无穷远处零点。)(01)(ssKsGmngK2.根轨迹的分支数-n条分支3.轨迹的对称性4.根轨迹的渐近线(nm)4.4.3 绘制根轨迹的基本法则gnnnmmmnjjmiiKasasasbsbsbspszs1)()(0111011111=+=+=LL=minjjnimpazb1111 ,gnmnmnmKsabs1)(111=+gnmnmKsabs1)1(11=+11111(1)()mnm nm ngbassK+=

22、nmgnmKsabnms=+111)1()11(mngKs+=1)(mnzpimijnj=11mnkjmngeKs+=1218011,2,1,0 )12(180=+=mnkmnkL4.4.3 绘制根轨迹的基本法则()()()51+=sssKsGgk()()31218012180203)5()1(031+=+=+=kmnkmnpjjooReIm0231-1-2-55.实轴上的根轨迹4.4.3 绘制根轨迹的基本法则实轴上的任意点，只要在它右方的开环零、极点数目的总和为奇数，则该点必为根轨迹上的点。ReIm03p1p2p3z2z1z)(1zs+)(1ps+)(2zs+)(2ps+s相角条件5.实轴上

23、的根轨迹4.4.3 绘制根轨迹的基本法则()()()()()205212+=sssssKsGgkReIm0-1-2-5-206实轴上根轨迹的分离点和汇合点4.4.3 绘制根轨迹的基本法则存在情况分离(汇合)角180/k分离(汇合)点位置()()()sDsNKsGgk=()()()()00=+=+sNKsDsNKsDgg()()()()0=sDsNsDsNdgdK(1)重根法ReIm0-20ABAB(2)幅角法(自学！)86实轴上根轨迹的分离点和汇合点4.4.3 绘制根轨迹的基本法则()()()()5.01.01+=sssKsGgk()()()()0=sDsNsDsN()()055.0206.0

24、2105.06.022=+=+ssssss33.0,67.167.012,1=sKgd1=0.06，Kgd2=2.67根轨迹的出射角和入射角4.4.3 绘制根轨迹的基本法则()()()12180)(121+=+=kpSpSzSminjjAAiAo()()()()=+=+minjjixAppzpkpS1211112180om()()()()=+=+njmiijyBzzpzkzS1211112180oReIm01p1zxxyyAsBs()()()12180)(12111+=+=kpppSzpminjjAio1pSA7根轨迹的出射角和入射角4.4.3 绘制根轨迹的基本法则oooooom5.185.3

25、41901355.63180=+=xReIm03p1p2p1z1-1-1-2o135o90o5.638.根轨迹和虚轴的交点及临界根轨迹增益值4.4.3 绘制根轨迹的基本法则求法(1)：由劳斯判据求得交点坐标值以及相应的Kg对应的根轨迹增益Kg称为临界根轨迹增益，用Kgp表示。对应的开环增益K称为临界开环增益，用Kp表示。求法(2)：在特征方程H(s)=0中令s=j，然后使特征方程的实部和虚部分别为零求得。8.根轨迹和虚轴的交点及临界根轨迹增益值4.4.3 绘制根轨迹的基本法则()()()21+=sssKsGgk02323=+gKsss020332=gpK0236310123gpgpgpKK K

26、 ssss6,2=gpK j若存在交点，有全零行32116121=ppKKgpp9.闭环系统极点之和与闭环系统极点之积4.4.3 绘制根轨迹的基本法则01110111)(asasasbsbsbsKsGnnnmmmgk+=LLinjnjjnimimiimpapazbzb=10111011 ,0)(01110111=+bsbsbsKasasasmmmgnnnLL()()()()nnnnnssssssssssssssLLLL2112121+=+(1)n-m=2时闭环系统极点之和等于开环系统极点之和且为常数常数111=nnjjnjjaps()()3(3210223210)(2233+=+=+=+=+s

27、sjjsjj94.4.4 根轨迹图的绘制及系统稳定性分析4.4.4 根轨迹图的绘制及系统稳定性分析Chap 4 控制系统的稳定性分析1根轨迹共有两支，起点在开环数点s=0.1,0.5，一支根轨迹的终点在s=1，另一支沿负实轴趋于无穷远处()5.0)(1.0()1(+=sssKsGgk2实轴上的根轨迹在区间(1.0,5.0,1,ReIm0-0.1-0.5-15系统稳定范围：Kg04.4.4 根轨迹图的绘制及系统稳定性分析4.4.4 根轨迹图的绘制及系统稳定性分析3根轨迹在实轴上的分离点和汇合点-d10.33,Kgd1=0.06，-d2=-1.67,Kgd2=2.64在复平面上系统的根轨迹是圆o1

28、80)5.0()1.0()1(=+jjj()22267.01=+ReIm0-0.1-0.5-1-1.67Kgd1=0.06Kgd2=2.61.根轨迹共有四支。起点在开环极点0，3，-1j，一支根轨迹的终点在开环零点2，其余三支终点在无穷远处。4.4.4 根轨迹图的绘制及系统稳定性分析4.4.4 根轨迹图的绘制及系统稳定性分析()()()()22322+=sssssKsGgk2趋于无穷远处的根轨迹的渐近线()()()()31218012180 12301131111+=+=+=kmnkjjzpmnnjmiijoo60，180，3003实轴上的根轨迹为(023,，和4实轴上无分离点和汇合点。5根轨

29、迹离开复数极点-1+j的出射角为4.4.4 根轨迹图的绘制及系统稳定性分析4.4.4 根轨迹图的绘制及系统稳定性分析()()()()22322+=sssssKsGgkoooooooommm6.262180 )6.2613590(45)12(180 )()()()()12(18041312111=+=+=kkppppppzpkx6.计算根轨迹与虚轴的交点02()22)(3(2=+）sKssssg()ggggggggKKKKKKKKsssss234506256406528101234+711135034506340+ggggggKKKKKK034506=+gggKKK0.7gpK277(1)(1)

30、33pKjj=+6.1=6.当0Kg7.0时(开环增益0K7/3）系统是稳定的4.4.4 根轨迹图的绘制及系统稳定性分析4.4.4 根轨迹图的绘制及系统稳定性分析()()()()22322+=sssssKsGgkReIm0-2-3Kgp=7-1o6.26-1+jj1.64.4.4 根轨迹图的绘制及系统稳定性分析4.4.4 根轨迹图的绘制及系统稳定性分析()()()()411+=ssssKSGgk11)1()4(10131=+=ReIm0-4-11草图10QuestionQuestionQ1:反馈闭环系统，已知开环传递函数为：反馈闭环系统，已知开环传递函数为：Gk(s)=K/(S3+10s2+K

31、s)，系统的根轨迹怎么画？，系统的根轨迹怎么画？P 171 例例4.28:开环传递函数为：开环传递函数为：Gk(s)=10(Ts+1)/(s2+2s)，系统的根轨迹怎么画？，系统的根轨迹怎么画？Q2:离散系统根轨迹与连续情况相比有无本质区别？离散系统根轨迹与连续情况相比有无本质区别？Q3:离散系统根轨迹如何画？离散系统根轨迹如何画？(P.172 ex4.29)4.5 奈奎斯特4.5 奈奎斯特(Nyquist)稳定性判据稳定性判据Chap 4 控制系统的稳定性分析定性分析LTI极点(稳定性)的方法 代数判据Routh-Hurwitz判据反映不稳定闭环极点个数与参数之间关系 时域图形方法根轨迹(R

32、oot Locus)分析方法直观反映闭环极点位置/系统稳定性与参数之间关系（H.Nyquist）,1933年 频域图形方法Nyquist稳定性判据直观反映闭环极点位置/系统稳定性与参数之间关系甚至不需知道开环传递函数4.5.1 幅角定理4.5 奈奎斯特4.5 奈奎斯特(Nyquist)稳定性判据稳定性判据柯西（Cauchy）幅角原理/围线性质ssF21)(+=)2(21)(2222+=jsFReImReIm0 0A(-1,j1)s平面A(-1,j1)s平面ReImReIm0 0A(0,-j1)F(s)平面A(0,-j1)F(s)平面4.5.1 幅角定理10)(11jSFjSAA=+=12)(1

33、1jSFjSCC=+=12)(11jSFjSEE+=+=10)(11jSFjSGG+=)2(21)(2222+=jsFsssF2)(+=Case 1:只包围极点F(s)平面F(s)平面ReImReIm0As平面0As平面BCGFEHDBCGFEHD-2-2-2B-2BReImReIm0A0A12-1C12-1CD DE EF FG GH H4.5.1 幅角定理sssF2)(+=Case 2:只包围零点ReImReIm0A1s平面0A1s平面C2G1E2H1D2C2G1E2H1D2-2-2ReImReIm0A”F(s)平面0A”F(s)平面C2”D”E”G”H”C2”D”E”G”H”4.5.1

34、幅角定理sssF2)(+=Case 3:包围极零点ReImReIm0A1s平面0A1s平面CG1E-3DCG1E-3D-2-2FBFBImIm0F(s)平面0F(s)平面BCDEFG”A”H”BCDEFG”A”H”ReRe114.5.1 幅角定理Cauchy幅角原理/围线性质:WHY?=+=njjmiipszssF11)()()(=+=njjimipszssF11)()()(N=围线内零点数极点数=2-1=1相角变化-360任何封闭曲线ReImReIm0F(s)平面0F(s)平面4.5.1 幅角定理N=围线内零点数极点数=3-1=2相角变化-3602s平面s平面ImIm0 0ReReReImR

35、eIm0F(s)平面0F(s)平面4.5.1 幅角定理N=围线内零点数极点数=0-1=-1相角变化360s平面s平面ImIm0 0ReReReImReIm0F(s)平面0F(s)平面4.5.1 幅角定理Assumption 1:Assumption 1:F(s)在上及内除有限个数的极点外是处处解析的Assumption 2:Assumption 2:F(s)在上既无极点也无零点则当围线走向为顺时针时，有N=Z-P其中，Z为F(s)在内的零点个数；P为F(s)在内的极点个数；N为映射围线包围F(s)原点的圈数/次数，以顺时针为正，逆时针为负。4.5.2 奈奎斯特稳定性判据如何利用Cauchy幅角

36、原理/围线性质？找封闭曲线包围S右半平面函数F(s)零点对应系统闭环极点函数F(s)极点对应系统开环极点F(s)顺时针变化圈数N=不稳定闭环极点数Z 开环不稳定极点数P?不稳定闭环极点数Z开环不稳定极点数P F(s)顺时针变化圈数N 0?=0?4.5.2 奈奎斯特稳定性判据)()()()()(sAsBsHsGsGK=)()()()(1)()(sBsAsBsGsGsKK+=+=)(1)()()()(sGsAsBsAsFK+=+=假定F(s)在虚轴上没有零、极点(否则)F(s)=A(s)+B(s)/A(s)满足解析条件 F(s)绕原点的次数=Gk(s)绕(-1,j0)点的次数Nyquist图?第I

37、I段Nyquist图?第II段 D型围线:第 I 段正虚轴s=j(:0)；第II 段-半径无限大的右半圆半径无限大的右半圆s=Rej,R=,:/2-/2第III段-负虚轴s=j(:0)D型围线D型围线ImImReReR-RR-R+R(I)(III)(II)(I)(III)(II)124.5.2 奈奎斯特稳定性判据Nyquist判据：Nyquist判据：若系统开环传递函数在右半S平面上有P个极点，且Nyquist曲线对(-1,j0)点的包围次数为N（N0为顺时针，N0为逆时针），则系统闭环特征方程在右半S平面上根的个数为Z=N+PZ=N+P若Z=0，则系统稳定；否则不稳定。4.5.2 奈奎斯特稳

38、定性判据Z=N+P=0+0=0,Z=N+P=0+0=0,系统稳定。1)(+=TsKsGkReReK0K/2K0K/2=0=T/1=ImIm)(jGK4.5.2 奈奎斯特稳定性判据Z=N+P=2+0=2Z=N+P=2+0=2系统不稳定，有两个右半平面根。)52)(2(52)(2+=ssssGKReRe5.20 0=0=ImIm)(jGK-2-1-j5.064.5.2 奈奎斯特稳定性判据K1,Z=N+P=-1+1=0,K1,Z=N+P=-1+1=0,系统稳定K1系统不稳定，Z=N+P=0+1=1Z=N+P=0+1=1有1个右半平面根。K=1?1)(=sKsGkReRe0 0=0=ImIm)(jGK

39、-K-K-1K1K1K10=S+K-1=04.5.2 奈奎斯特稳定性判据N0,Z=N+00N0,Z=N+00系统不稳定。ReRe10051005=0=12=)(jGK25.0233-1-1110)(5.0+=sesGsKZ=?Z=?系统不稳定根的数目？2)arctan5.0(110)(+=+jKejG4.5.3 开环系统含有积分环节时判据的应用1 )1()1()(11+=vsTSsKsGvnjjvmiiK1110lim()()jKjvvsKGsK eR e=22:,0,=ReRsj围线第部分D型围线D型围线ImImReReR-RR-R+R(I)(III)(II)(I)(III)(II)0R(I

40、V)134.5.3 开环系统含有积分环节时判据的应用110lim()()jKjvsKGsK eR e=22:,0,=ReRsj围线第部分I型系统Nyquist曲线对应修正部分：22:,11K4.5.3 开环系统含有积分环节时判据的应用ReRe0 0=0ImIm)(jGK-1=+=0P=04.5.3 开环系统含有积分环节时判据的应用ReRe0 0=0ImIm)(jGK-1=+=0P=04.5.3 开环系统含有积分环节时判据的应用2202)()(limjvjKsveKeRKsG=22:,0,=ReRsj围线第部分II型系统Nyquist曲线对应修正部分：:,22KReRe0 0=0ImIm)(jG

41、K-1=+=04.5.3 开环系统含有积分环节时判据的应用推广：(1)开环系统在虚轴上有极点或零点。应将奈奎斯特围线在虚轴上的极点处作半径为无穷小的右半圆，使奈奎斯特围线不通过虚轴上的极点但仍包围整个右半S平面。Nyquist曲线对应修正部分怎么求？(2)开环频率特性曲线穿过(-1,j0)点。这说明闭环系统临界稳定的。(3)另一种Nyquist判据形式：(3)另一种Nyquist判据形式：若Nyquist曲线(:0部分)对(-1,j0)点的包围次数为N，则闭环系统在右半S平面上根的个数为 Z=2NZ=2N+P+PD型围线D型围线ImImReReR-RR-R+R(I)(III)(II)(I)(I

42、II)(II)0R(IV)(V)(VI)4.5.4 Nyquist判据在Bode图中的表示形式意义：Bode绘制相对简单，可以将设计和分析问题统一描述方法：建立两者对应关系（1）Nyquist图上的单位圆对应于Bode图上的零分贝线；（2）Nyquist图上的负实轴对应于Bode图上的180相位线。ReRe0 0=0=ImIm)(jGK-1gcReRe0 0=0=ImIm)(jGK-1gc144.5.4 Nyquist判据在Bode图中的表示形式方法：建立两者对应关系（3）在|Gk(j)|1的频段内，随着的增加，开环频率特性曲线由第三象限经过负实轴进入第二二象限（或者相反，由第二二象限经负实轴

43、进入第三象限），则表示奈奎斯特图顺时针（或逆时针）包围(-1,j0)点一圈。040(dB)(L1800cggReRe0 0=0=ImIm)(jGK-1gc4.5.4 Nyquist判据在Bode图中的表示形式若系统开环传函在右半S平面上有P个极点，在Bode图上L()0的频段内，随着的增加相频特性曲线对相位线180的正、负穿越正、负穿越次数之差为P/2，则闭环系统稳定；否则，闭环系统不稳定，其在右半S平面上的极点数为Z=2N+P 其中，N为负穿越次数减去正穿越次数之差。Nyquist判据之Bode版在波德图上 L(L()0)0 的频段内，随着的增加对数相频特性曲线从大于180区域经180线进入

44、小于180区域，称为负穿越；负穿越；反之则称为正穿越正穿越。4.5.4 Nyquist判据在Bode图中的表示形式开环传函包含积分环节时，在相频曲线0的地方补画一条从相角(Gk(j0)+90v到(Gk(j0)的虚线。将补上的虚线看成对数相频曲线的一部分。)1()(2+=TssKsGKZ=2N+P=2(1-0)+0=20 0(dB)(dB)(L1800270-40dB/DEC-60dB/DEC-40dB/DEC-60dB/DEC4.5.5 稳定裕度稳定裕度包括相位稳定裕度和幅值稳定裕度ReRe0 0=ImIm)(jGK-1gc)(gA0 0(dB)(dB)(L1800cg)(gLgL)(c闭环稳定的最小相位系统闭环稳定的最小相位系统4.5.5 稳定裕度稳定裕度包括相位稳定裕度和幅值稳定裕度)(180cKjG+=o)(1gKgjGK=)(lg20lg20gKggjGKL=稳定最小相位系统的相位裕度和对幅值裕度都是正的。Discussions 最小相位系统的Nyquist判据？非最小相位/开环不稳定系统的Nyquist判据？