积分变换1-4.ppt

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1、第四节第四节第四节第四节 卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换第四节第四节 卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数一一卷积定理卷积定理二二 相关函数相关函数三三 傅氏变换性质的推广傅氏变换性质的推广1 1第四节第四节第四节第四节 卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换一一 卷积定理卷积定理1 1）卷积的概念卷积的概念设已知函数设已知函数称积分称积分为函数为函数和和的的卷积卷积，即即记作记作卷积有如

2、下的性质卷积有如下的性质（1 1）（交换律）（交换律）2 2第四节第四节第四节第四节 卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换（2 2）（分配律）（分配律）（3 3）（结合律）（结合律）（4 4）例例1 1已知已知求求3 3第四节第四节第四节第四节 卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换解解当当时，时，当当时，时，当当时，时，4 4第四节第四节第四节第四节 卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数卷积定

3、理与相关函数卷积定理与相关函数第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换2 2）卷积定理卷积定理设设满足傅立叶收敛定理的条件，满足傅立叶收敛定理的条件，像原函数的卷积定理像原函数的卷积定理：且且 则则 或或 5 5第四节第四节第四节第四节 卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换 证证 6 6第四节第四节第四节第四节 卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换同理可得同理可得像函

4、数的卷积定理像函数的卷积定理：例例2 2已知已知解解 或或 求求 7 7第四节第四节第四节第四节 卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换由由得得8 8第四节第四节第四节第四节 卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换二二 相关函数相关函数称积分称积分为函数为函数的的互相关函数互相关函数，记为记为即即特别，当特别，当时，时，称积分称积分为函数为函数的的自相关函数自相关函数，记为记为即即9 9第四节第四

5、节第四节第四节 卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换可以看出可以看出的能量谱密度为的能量谱密度为由乘积定理与位移性质由乘积定理与位移性质所以所以设设1010第四节第四节第四节第四节 卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换同理设同理设称称为为互能量谱密度互能量谱密度，例例3 3求矩形脉冲函数求矩形脉冲函数的自相关的自相关函数和能量谱密度。函数和能量谱密度。解解由于由于则则 1111第四节第四节第四

6、节第四节 卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换所以所以当当时时,当当时，时，当当时时,1212第四节第四节第四节第四节 卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换即即所以所以由于由于1313第四节第四节第四节第四节 卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换三三 傅氏变换性质的推广傅氏变换性质的推广必须指

7、出，必须指出，除了积分性质外，除了积分性质外，傅氏变换的性质可以傅氏变换的性质可以平行地推广到广义傅氏变换中，平行地推广到广义傅氏变换中，不同的是傅氏变换中不同的是傅氏变换中的广义积分是按的广义积分是按定义的。定义的。例例4 4利用傅立叶变换的性质，求函数利用傅立叶变换的性质，求函数傅立叶变换。傅立叶变换。解解由于由于 1414第四节第四节第四节第四节 卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换所以所以由于由于所以所以1515第四节第四节第四节第四节 卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换例例5 5利用傅立叶变换的性质，求函数利用傅立叶变换的性质，求函数傅立叶变换。傅立叶变换。例例 1616第四节第四节第四节第四节 卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数卷积定理与相关函数第第第第一一一一章章章章 傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换例例6 6设设证明证明 证证 令令 由于由于 所以所以 1717