第1节 大数定律.ppt

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1、第五章 极限定理随机变量序列的两种收敛性随机变量序列的两种收敛性两种收敛性：两种收敛性：(1)(1)依概率收敛依概率收敛:用于大数定律；用于大数定律；(2)(2)按分布收敛按分布收敛:用于中心极限定理用于中心极限定理.第第5.15.1节节 大数定律大数定律“概率概率概率概率”的概念是如何产生的的概念是如何产生的的概念是如何产生的的概念是如何产生的?设设设设 次独立重复试次独立重复试次独立重复试次独立重复试验中事件验中事件验中事件验中事件 发生的发生的发生的发生的随机变量随机变量随机变量随机变量频率频率频率频率概率概率概率概率“频率稳定性频率稳定性频率稳定性频率稳定性”的严格数学描述是什么的严格

2、数学描述是什么的严格数学描述是什么的严格数学描述是什么?怎样定义极限怎样定义极限怎样定义极限怎样定义极限次数为次数为次数为次数为 则当则当则当则当时时时时,有有有有n n n n重伯努利试验重伯努利试验重伯努利试验重伯努利试验怎样理解怎样理解怎样理解怎样理解“越来越接近越来越接近越来越接近越来越接近”？则则A发生的频率为发生的频率为A=正面朝上正面朝上 实例实例:“抛硬币抛硬币”试试验验将一枚硬币连续抛将一枚硬币连续抛n次次,记记次试验中次试验中A发生的次数发生的次数频率稳定性频率稳定性是随机变量列是随机变量列(1)(1)正面朝上正面朝上正面朝上正面朝上反面朝上反面朝上反面朝上反面朝上蒲丰抛硬

3、币模拟试验蒲丰抛硬币模拟试验N=4048N=4048设想一下设想一下,会不会出现这样的实验结果会不会出现这样的实验结果:试验结果试验结果:则则A发生的频率为发生的频率为A=正面朝上正面朝上 实例实例:“抛硬币抛硬币”试试验验将一枚硬币连续抛将一枚硬币连续抛n次次,记记次试验中次试验中A发生的次数发生的次数是随机变量列是随机变量列频率稳定性频率稳定性(1)(1)是定义在样本空间是定义在样本空间 上的函数列上的函数列(2)(2)对于随机变量列对于随机变量列,是否有是否有不太现实不太现实不太现实不太现实,要求太严要求太严要求太严要求太严!定义定义大数定律讨论的就是依概率收敛大数定律讨论的就是依概率收

4、敛.若对任意的若对任意的 0,有有则称随机变量序列则称随机变量序列 Xn 依概率收敛于依概率收敛于X,记为记为(3)(3)抛硬币试验的频率稳定性抛硬币试验的频率稳定性几个常见的大数定律几个常见的大数定律定理定理1 1（切比雪夫大数定律）切比雪夫大数定律）设设 X1,X2,是相互独立的随机是相互独立的随机变量序列，它们都有有限的方差，并变量序列，它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即且方差有共同的上界，即 D(Xi)C，i=1,2,，切比雪夫切比雪夫则对任意的则对任意的 有有或或证证即得结论即得结论.定理定理2 2（伯（伯努努利利大数定律大数定律）或或伯努利伯努利 下面给出的伯努利大数定律

5、下面给出的伯努利大数定律,是是定理定理1的一种特例的一种特例.设设nA是是n重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件A发生发生的次数，的次数，p是事件是事件A发生的概率，则对任发生的概率，则对任给的给的 ,有有引入引入i=1,2,n则则 而而 由由切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律,是事件是事件A发生的频率，发生的频率，贝努里大数定律表明贝努里大数定律表明,当重复试验次数当重复试验次数n充分充分大时大时,事件事件A发生的频率发生的频率nA/n与事件与事件A的概率的概率p有较有较大偏差的概率很小大偏差的概率很小.这这就是就是频频率率稳稳定性的理定性的理论论解解释释.下面给出的独立同分布下的大数定下面给

6、出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在律，不要求随机变量的方差存在.设随机变量序列设随机变量序列X1,X2,独立同分布，独立同分布，具有有限的数学期具有有限的数学期E(Xi)=,i=1,2,，定理定理3 3（辛钦大数定律辛钦大数定律）辛钦辛钦 辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径了一条实际可行的途径.注注:辛钦定理具有广泛的适用性辛钦定理具有广泛的适用性.要估计某地区的平均亩产量要估计某地区的平均亩产量，要收割某些有代表性块，例如，要收割某些有代表性块，例如n 块地块地.计算其平均亩产量，则计算其平均亩产量，则当当n 较

7、大时，可用它作为整个地较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计区平均亩产量的一个估计.第第5.25.2节节 中心极限定理中心极限定理 中心极限定理中心极限定理,正是从理正是从理论论上上证证明明,对对于大量的独于大量的独立随机立随机变变量来量来说说,只要每个随机只要每个随机变变量在量在总总和中所占比重和中所占比重很小很小,那么不那么不论论其中各个随机其中各个随机变变量的分布函数是什么形量的分布函数是什么形状状,也不也不论论它它们们是已知是已知还还是未知是未知,而它而它们们的和的分布函的和的分布函数必然和正数必然和正态态分布函数很近似分布函数很近似.这这就是就是为为什么什么实际实际中遇中遇到

8、的随机到的随机变变量很多都服从正量很多都服从正态态分布的原因分布的原因,也正因如此也正因如此,正正态态分布在概率分布在概率论论和数理和数理统计统计中占有极其重要的地位中占有极其重要的地位.下面介下面介绍绍几个常用的中心极限定理几个常用的中心极限定理.在概率论中在概率论中,习惯于把和的分布收敛于正态分布这一习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做类定理都叫做中心极限定理中心极限定理.由于无穷个随机变量之和可能趋于由于无穷个随机变量之和可能趋于,故我故我们不研究们不研究n个随机变量之和本身个随机变量之和本身,而考虑它的而考虑它的标标准化准化的随机变量的随机变量的分布函数的极限的分布函数的极限

9、.定理定理4 4(独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理)(证证略略)上述定理也称上述定理也称列维一林德伯格列维一林德伯格(Levy-Lindberg)(Levy-Lindberg)定理定理.此定理此定理说说明明,当当n充分充分大大时时,有有 或或定理定理5 5(De Moivre-Laplace定理定理)证证则则由定理由定理4 4可知可知,而而则则或或因此有近似因此有近似计计算公式算公式 解解由由德莫弗德莫弗-拉普拉斯拉普拉斯中心极限定理中心极限定理,有有 次品数次品数例例1 1 某产品次品率某产品次品率 ,试估计在试估计在10001000件产品中次件产品中次品数在品数在 之间的概

10、率之间的概率.次品数次品数注注:由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式,显然这是过于显然这是过于保守的估保守的估计计.例例2 2 设设在某保在某保险险公司有公司有1 1万万个人参加投保个人参加投保,每人每年每人每年付付120120元保元保险费险费.在一年内一个人死亡的概率在一年内一个人死亡的概率为为0.006,0.006,死亡死亡时时其家属可向保其家属可向保险险公司公司领领得得1 1万万元元,问问:(1):(1)该该保保险险公司公司亏亏本的概率本的概率为为多少多少?(2)?(2)该该保保险险公司一年的利公司一年的利润润不不少于少于4040和和8080万元的概率各是多少万元的概率各是多少?解解 设设一

11、年内死亡的人数一年内死亡的人数为为X,则则 由由D-L中心极限定理中心极限定理,即即该该保保险险公司公司亏亏本的概率本的概率几乎几乎为为0.0.(2)(2)该保险公司一年的利润不少于该保险公司一年的利润不少于4040和和8080万元的概率万元的概率各是多少各是多少?例例3 3 假假设设生生产线组产线组装每件成品的装每件成品的时间时间服从指数分布服从指数分布,统统计资计资料表明每件成品的料表明每件成品的组组装装时间时间平均平均为为1010分分钟钟.设设各件各件产产品的品的组组装装时间时间相互独立相互独立.(1)(1)试试求求组组装装100100件成品需要件成品需要1515到到2020小小时时的概

12、率；的概率；(2)(2)以以95%95%的概率在的概率在1616小小时时内最多可以内最多可以组组装多少件成品装多少件成品?解解设设第第i件件组组装的装的时间为时间为Xi分分钟钟,i=1,=1,100.,100.利用独立同分布中心极限定理利用独立同分布中心极限定理.(1)(1)(2(2)查表得查表得 解得解得故故最多可最多可组组装装8181件成品件成品.概率论中的关键词概率论中的关键词 随机试验随机试验,样本空间样本空间,事件事件,频率频率,概率概率,等可等可能概型能概型,条件概率条件概率,全概率公式全概率公式,贝叶斯公式贝叶斯公式,独立独立性性,伯努利概型伯努利概型;随机变量随机变量,分布函数分布函数,分布律分布律,概率密度概率密度,边缘边缘概率密度概率密度,条件概率密度条件概率密度,独立性独立性;数学期望数学期望,方差方差,协方差协方差,相关系数相关系数;0-1 0-1分布分布,二项分布二项分布,泊松分布泊松分布,均匀分布均匀分布,指数指数分布分布,正态分布正态分布;切比雪夫不等式切比雪夫不等式,中心极限定理中心极限定理.