第七节 无穷小比较.ppt

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1、第七节第七节 第一章第一章 都是无穷小都是无穷小,引例引例.但但 可见无穷小趋于可见无穷小趋于 0 的速度是多样的的速度是多样的.无穷小的比较无穷小的比较（合肥工大（合肥工大P33P33）定义定义.若若则则称称 是比是比 高阶高阶的无穷小的无穷小,若若若若若若若若或或设设是自变量同一变化过程中的无穷小是自变量同一变化过程中的无穷小,记作记作则则称称 是比是比 低阶低阶的无穷小的无穷小;则则称称 是是 的的同阶同阶无穷小无穷小;则则称称 是关于是关于 的的 k 阶阶无穷小无穷小;则称则称 是是 的的等价等价无穷小无穷小,记作记作例如例如,当当时时又如又如，故故时时是是关于关于 x 的二阶无穷小的

2、二阶无穷小,且且例例1.证明证明:当当时时,证证:定理定理1.证证:即即即即例如例如,故故定理定理2.设设且且存在存在,则则证证:例如例如,设对同一变化过程设对同一变化过程,为无穷小为无穷小,说明说明:无穷小的性质无穷小的性质,(1)和差取大规则和差取大规则:由由等价等价可得简化某些极限运算的下述规则可得简化某些极限运算的下述规则.若若 =o(),(2)和差代替规则和差代替规则:例如例如,例如例如,(3)因式代替规则因式代替规则:界界,则则例如例如,例例2.求求解解:原原式式 无穷小量可以用其等价无穷小量替代无穷小量可以用其等价无穷小量替代.定理告诉我们定理告诉我们:在计算只含有乘、除法的极限

3、时在计算只含有乘、除法的极限时,例例3.求求解解:将常用的等阶无穷小列举如下:当 x 0 时其中求例例4解求例5解求例6解内容小结内容小结1.无穷小的比较无穷小的比较设设 ,对同一自变量的变化过程为无穷小对同一自变量的变化过程为无穷小,且且 是是 的的高阶高阶无穷小无穷小 是是 的的低阶低阶无穷小无穷小 是是 的的同阶同阶无穷小无穷小 是是 的的等价等价无穷小无穷小 是是 的的 k 阶阶无穷小无穷小2.等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理Th 2常用等价无穷小常用等价无穷小:求 和差化积例7解 此题也可先在此题也可先在分子处加分子处加 1 减减 1又解又解解例例8 8 函数的性质函数的性质 等价无穷小替代等价无穷小替代 重要极限重要极限 也可再用等价无穷小替代求求例例9解解例10