2019八年级数学下册 专题突破讲练 巧用三角形中位线试题 （新版）青岛版.doc

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1、1巧用三角形中位线巧用三角形中位线1.1. 三角形中位线定义三角形中位线定义连结三角形两边中点的线段叫中位线。注意：注意：（1）要把三角形的中位线与三角形的中线区分开。（2）三角形有三条中位线。2.2. 定理定理三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。如果EF为ABC的中位线，则EFBC且EF=BC。1 2 注意：注意：位置关系平行数量关系等于第三边的一半3.3. 三角形中位线定理的应用：三角形中位线定理的应用：（1）证明角相等关系；（2）证明线段的倍分以及相等关系；（3）证明线段平行关系。例题例题 1 1 如图，自ABC的顶点A，向B和C的平分线作垂线，垂足分别为D、E。 求证：D

2、EBC。2解析：解析：欲证ED/BC我们可想到有关平行的判定，但要找到有关角的关系很难，这时只要通过延长AD、AE，交BC与CB的延长线于G与H，通过证明三线合一易证D是AG的中点，同理E为AH的中点，故，ED是AHG的中位线，当然有DEBC。答案：答案：证明：延长AD、AE交BC、CB的延长线于G、H，BD平分ABC，1=2，又BDAD，ADB=BDG=90 ABG为等腰三角形AD=DG，同理可证，AE=GE，D，E分别为AG，AH的中点， EDBC 点拨：点拨：本题巧妙地应用了等腰三角形的三线合一，但最终还是利用中位线的性质得出结论。例题例题 2 2 如图，已知平行四边形ABCD中，BD为

3、对角线，点E、F分别是AB、BC的中点，连结EF，交BD于M点。求证：（1）BM=BD；（2）ME=MF。1 4解析：解析：（1）由E、F分别为AB、BC的中点想到连结AC，由平行线等分线段定理可证得BM=MO。又因为平行四边形的对角线互相平分，可得BO=OD，即BM=BD。 （2）由问题(1)中1 4的辅助线，即连结AC，由三角形中位线定理可得，又由平行四11,22EMAO MFOC边形对角线互相平分即可得到问题（2）的结论。答案：答案：证明：（1）连结AC，交BD于O点，3E、F分别为AB、BC中点，EFAC，BM=MO= BO1 2 又四边形ABCD是平行四边形BO=OD=BD，AO=O

4、C=AC，1 21 2BM=BO=BD；1 21 4 （2）M是BO的中点，E、F分别是AB、BC的中点。ME=AO，MF=OC，又AOOC，MEMF。1 21 2 点拨：点拨：问题（1）运用了三角形中位线的位置关系，即三角形的中位线平行于底边，而问题（2）直接运用了三角形中位线的数量关系。三角形中位线定理及其应用，在初中数学中占有很重要的地位，如何正确添加辅助线构造三角形中位线是一个重点也是一个难点。要善于觉察图形中的有关定理的基本图形，涉及到中点问题时要及时联想到有关定理。例题例题 如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是CD、AB的中点，直线EF分别交BC、AD的延长线于S、T

5、两点，求证：ATF=BSF。解析：解析：连结AC，取AC的中点H，连结EH、FH，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EHAD，EH=AD，FHBC，FH=BC，然后求出EH=FH，根据等1 21 24边对等角可得EFH=FEH，再根据两直线平行，同位角相等可得ATF=FEH，两直线平行，内错角相等可得BSF=EFH，然后等量代换即可得证。 答案：答案：证明：如图，连结AC，取AC的中点H，连结EH、FH，E、F分别是CD、AB的中点，EH、FH分别是ACD和ABC的中位线，EHAD，EH=AD，FHBC，FH=BC1 21 2 AD=BC，EH=FH，EFH=FEH，又EH

6、AD，FHBC，ATF=FEH，BSF=EFH，ATF=BSF。点拨：点拨：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行线的性质，等边对等角的性质，熟记各性质并作辅助线，考虑利用三角形的中位线定理是解题的关键。（答题时间：（答题时间：3030 分钟）分钟）一、选择题一、选择题1.（宜昌）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为 12m，由此他就知道了A、B间的距离。有关他这次探究活动的描述错误的是（ ）A. AB=24mB. MNABC. CMNCABD. CM：MA=1：22.（

7、泸州）如图，等边ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则DEC的度数为（ ）5A. 30B. 60C. 120D. 1503.（泰安）如图，ACB=90，D为AB的中点，连结DC并延长到E，使CE=CD，过点1 3 B作BFDE，与AE的延长线交于点F。若AB=6，则BF的长为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 10 4. （福州模拟）如图，ABC的中线BD、CE交于点O，连结OA，点G、F分别为OC、OB的中点，BC=4，AO=3，则四边形DEFG的周长为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 12 5.（邢台二模）如图，四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直，A1B1C1D1是四边

8、形ABCD的中点四边形，如果AC=8，BD=10，那么四边形A1B1C1D1的面积为（ ）A. 20B. 40C. 36D. 10二、填空题二、填空题6. （怀化）如图，D、E分别是ABC的边AB、AC上的中点，则SADE：SABC= _ 。67.（邵阳）如图，在RtABC中，C=90，D为AB的中点，DEAC于点E。A=30，AB=8，则DE的长度是_。8.（沈阳）如图，ABC三边的中点D，E，F组成DEF，DEF三边的中点M，N，P组成MNP，将FPM与ECD涂成阴影。假设可以随意在ABC中取点，那么这个点取在阴影部分的概率为_。9.（天桥区一模）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，

9、AC的中点，如果EF=2，那么菱形的周长为_。10.（海门市模拟）如图，在ABC中，ACB=52，点D，E分别是AB，AC的中点。若点F在线段DE上，且AFC=90，则FAE的度数为_。三、解答题三、解答题11.（南京）如图，在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EFAB，交BC于点F。（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；7（2）当ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？12.（鞍山一模） （1）如图 1 所示，在四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，连接FE并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则BME=CNE，求证：AB=CD。 （提示取BD的

10、中点H，连结FH，HE作辅助线）（2）如图 2 所示，在ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，若AB=DC=5，OEC=60，求OE的长度。8一、选择题一、选择题1. D 解析：M、N分别是AC，BC的中点，MNAB，MN=AB，21AB=2MN=212=24m，CMNCAB，M是AC的中点，CM=MA，CM：MA=1：1，故描述错误的是D选项。2. C 解析：由等边ABC得C=60，由三角形中位线的性质得DEBC，DEC=180C=18060=120，3. C 解析：如图，ACB=90，D为AB的中点，AB=6，CD=AB=3。21又C

11、E=CD，31CE=1，ED=CE+CD=4。又BFDE，点D是AB的中点，ED是AFB的中位线，BF=2ED=8。4.B 解析：BD，CE是ABC的中线，EDBC且ED=BC，21F是BO的中点，G是CO的中点，FGBC且FG=BC，21ED=FG=BC=2，21同理GD=EF=AO=1.5，21四边形DEFG的周长为 1.5+1.5+2+2=7。5. A 解：A1B1C1D1是四边形ABCD的中点四边形，AC=8，BD=10，A1D1=B1C1=BD=5，A1B1=C1D1=AC=4，A1D1BDB1C1，A1B1ACC1D1，21 21四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直，四边形

12、A1B1C1D1是矩形，SA1B1C1D1=54=20。9二、填空题二、填空题6. 1：4 解析：D、E是边AB、AC上的中点，DE是ABC的中位线，DEBC且DE=BC，21ADEABC，SADE：SABC=（1：2）2=1：4。7. 2 解析：D为AB的中点，AB=8，AD=4，DEAC于点E，A=30，DE=AD=2。218. 解析：D、E分别是BC、AC的中点，165DE是ABC的中位线，EDAB，且DE=AB，21CDECBA，=，CBACDE SS2)(ABED 41SCDE=SCBA。41同理，SFPM=SFDE=SCBA，41 161SFPM+SCDE=SCBA，165则=。C

13、BASS阴影 1659. 16 解析：菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，EF=2，BC=2EF=22=4。即AB=BC=CD=AD=4。故菱形的周长为 4BC=44=16。10. 64 解析：D，E分别是AB，AC的中点，DE是三角形ABC的中位线，DEBC，AED=ACB，AFC=90，E为AC的中点，EF=AC，AE=CE，21EF=CE，EFC=ECF，ECF=EFC=ACB=26，21FAE的度数为 9026=64，10三、解答题三、解答题11. 解：（1）证明：D、E分别是AB、AC的中点，DE是ABC的中位线，DEBC，又EFAB，四边形DBFE是平行四边形；（2）解：

14、当AB=BC时，四边形DBFE是菱形。理由如下：D是AB的中点，BD=AB，21DE是ABC的中位线，DE=BC，21AB=BC，BD=DE，又四边形DBFE是平行四边形，四边形DBFE是菱形。12.（1）证明：连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH。E、F分别是BC、AD的中点，EHAB，EH=AB，FHCD，FH=CD，21 21BME=CNE，BME=HEF，CNE=HFE，HEF=HFE。HE=HF，AB=CD；（2）解：连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH，EHAB，EH=AB，HODC，HO=DC。21 21AB=CD，HO=HE，HOE=HEO，OEC=60，HEO=AGO=60，OEH是等边三角形，AB=DC=5，OE=。2511