2019八年级数学上册 专题突破讲练 三角形的内外角关系试题 （新版）青岛版.doc

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1、1三角形的内外角关系三角形的内外角关系一、三角形的内角和定理一、三角形的内角和定理1. 定理：三角形的内角和是 180要点： 定理的证明根据是平行线的性质。 定理的证明方法有多种，选取以下两种方法加以掌握。2. 推论：直角三角形的两个锐角互余。ABC180 又C90 AB90 A 与B 互余。 等边三角形的每一个内角都是 60。DEF180，又D=E=F，3D180，D=E=F=60定理的应用：定理的应用： 在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角。证明方法证明方法把三个角“凑”到 A 处，过点 A 作直线 PQ/BC，这样就相当于把B 移到了1 的位置，把C 移到了2 的位置。延长 BC

2、到 D，过点 C 作射线CE/BA，这样就相当于把移到了1 的位置，把移到了2 的位置。2如：在ABC 中，C180（AB） 在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角。如：在ABC 中，已知A：B：C2：3：4，则可设A、B、C 为 2x、3x、4x，利用方程求得度数。二、三角形的外角二、三角形的外角1. 外角的定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。如如ACDACD 与与BCEBCE 均为外角。均为外角。2. 三角形外角的性质（1 1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。）三角形的一个外角等于

3、和它不相邻的两个内角之和。（2 2）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。提示：提示：三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角，所以三角形共有六个外角。通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角。因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是 180，可推出三角形的外角和是 360。三、三角形的外角与内角的关系三、三角形的外角与内角的关系1. 三角形的一个外角与它相邻的内角互补，互补，如图：1 与4 是邻补角，即14180；2. 三角形的一个外角等于等于与它不相邻的两个内角的和，如图：123；3. 三角形的一

4、个外角大于大于与它不相邻的任何一个内角，如图：12，13。【拓展拓展】3方法归纳：方法归纳：三角形的内、外角关系的知识点应注意以下几点：三角形的内、外角关系的知识点应注意以下几点：（1）实际应用中，题目中往往把ABC180这个条件隐藏，要时时注意想到这个条件。（2）外角关系强调的是“不相邻”三个字，不要被题目偷换概念。（3）应用三角形的内、外角关系解题时，经常要使用到高、角平分线，注意二者定义中，高有垂直的结论，即有角是 90，角平分线的作用是将一个角平分成两个相等的角，有角的数值21存在。（4）三角形的内角和定理和三角形的外角的性质是求角度及与角有关的推理论证时常使用的理论依据，另外，在证明

5、角的不等关系时也常想到外角的性质。技巧归纳：技巧归纳：解决本部分习题时要注意几种数学思想的应用：（1）对顶三角形对顶三角形：有一个角是对顶角的两个三角形。特点是：每个三角形中除对顶角外，另两个角的和与另一个三角形中其余两个角的和相等。如图：ABDE两种图形两种图形的认识的认识 （2）图形的折叠图形的折叠：将图形沿某条线折叠，使其一部分与图形中某部分重合，可以形成边、角等多个相等关系。如图：123方程的思想根据角与角之间的关系求角的度数时可列方程（或方程组）求解。如：A：B：C1：2：3，求三角形的形状。整体运用的思想将待解决的问题看作一个整体，通过研究问题做整体处理后，达到解决问题的目的。如：

6、A40，求34BC 的度数。4总结：总结：1. 学会综合运用内、外角关系解决图形的角度计算问题。2. 将各种解题思想及方法掌握好，有利于今后几何的学习。例题例题 1 1 如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，ab，150，260，则3 的度数为（ ）A. 50B. 60 C. 70D. 80解解析析：先根据三角形的内角和定理求出4 的度数，由对顶角的性质可得出5 的度数，再由平行线的性质即可得出结论。答答案案：在BCD中，150，260，418012180506070，5470，ab，3570。故选C。点拨：点拨：本题考查的是平行线的性质、三角形的内角和定理。解答此类题目时往往用到三角形的内角

7、和是 180这一隐藏条件。例题例题 2 2 如图，在ABC 中，ACB90，沿 CD 折叠CBD，使点 B 恰好落在 AC 边上的点 E处。若A22，则BDC 等于（ ）转化的思想求较复杂的图形中多个角的度数和的问题。解题的关键是利用有关性质把这些角集中到一个三角形中，再利用三角形内角和的性质解决。如：求五角星的内角和问题。5A. 44B. 60C. 67D. 77解解析析：由ABC 中，ACB90，A22，可求得B 的度数。由折叠的性质可得：CEDB68，BDCEDC。由三角形外角的性质，可求得ADE 的度数，继而求得答案。答答案案：在ABC 中，ACB90，A22，B90A68，由折叠的性

8、质可得：CEDB68，BDCEDC，ADECEDA46，BDC67。故选 C。点拨：点拨：此题考查了折叠的性质、三角形的内角和定理以及三角形外角的性质。此题注意掌握折叠前后图形的对应关系，以及数形结合思想的应用。1.1. 几何图形变换的研究几何图形变换的研究几何图形的变换，核心内容是首图形的证明基本思路，变换后的图形与首图形的总体证明方法相同。但要注意的是这种题中所蕴含的数学思想：通过变换掌握举一反三的能力，将知识学活、用活。通过变换，提高面对试题的研读能力，从而做到一会百会。（1）充分分析首图形的条件，在此基础上将其应用到后面的图形中；（2）在变换时，认清本质，对变换后的结果依照首图形结论加

9、以书写，注意与第一个结论保持格式上的一致，避免评卷老师的误判。（3）注意变换后，结论的变与不变：基本规律是线段与角相等的一般来说结论都会不变，但和、差类的变换最后其结论都会发生变化。例题例题 如图所示，在ABC 中，A，ABC 的内角平分线和外角平分线交于点 P，且P，试探求下列各图中 与 的关系，并选择一个加以说明。6解解析析：本题没有给出具体角度，所以最后形成的将是一个关系式。主要考查角平分线的定义、三角形的内角和定理以及外角的性质，分析可知图（1）90；（2） 、 （3）变换后图形21道理类似，但过程略有不同，可参考（1）应用的定理加以说明。答案答案：解：（1）90；（2）；（3）90。

10、21 21 21选择（1）进行证明。在图（1）中，根据三角形的内角和定理可得：ABCACB180A。BP 与 CP 是ABC 的角平分线，PBC ABC，PCB ACB，21 21PBCPCB （ABCACB）90。21 21在PBC 中，BPC180（PCBPBC）180（90）90。21 2190 。212.2. 化归思想及对顶三角形的应用化归思想及对顶三角形的应用化归思想是指将不同图形中的条件转化到同一图形中，三角形内角和的转化是利用有关性质把不同图形中的角集中到一个三角形中，再利用三角形的内角和定理、外角性质进行解决。对顶三角形的其他应用包含整体应用的思想，将不同三角形的内角和整体转化

11、到一个图形中，从而解决复杂图形中的求值问题。例题例题 （1）如图所示，线段 AD、BC 相交于点 O，所组成的ABO 与CDO 叫做“对顶三角形” 。已知A70，B25，求CD 的度数。（2）如图所示，求ABCDE 的度数。（3）如图所示，求ABCDEF 的度数。7解解析析：先根据对顶三角形的性质求得图中 ABCD 702595，图中考虑连接 BC，则可将问题转化为对顶三角形的问题，总和为 180；图 中图形将三个三角形中的AB、CD、EF 转化到GIH 中，利用对顶三角形的性质得到2（GIHGHIHGI）360答案：答案：解：（1）在ABO 与CDO 中因为 ABAOBCDCOD180AOB

12、COD所以ABCD因为A70，B25所以CD702595（2）连接 BC因为EOD 与BOC 为对顶三角形，所以DEOBCOCB所以ABCDE180（3）因为ABG 与GIH、EFI 与GIH、CHD 与GIH 都是对顶三角形，ABGIHGHICDGIH HGIEFGHIHGI所以ABCDEF2（GIHGHIHGI）360（答题时间：（答题时间：4545 分钟）分钟）一、选择题一、选择题1. 在给定的下列条件中，不能判定三角形是直角三角形的是（ ）A. ABC123 B. ABCC. ABC D. A2B3C2. 已知ABC 的三个内角A、B、C 满足关系式BC3A，则此三角形中（ ）A. 一

13、定有一个内角为 45 B. 一定有一个内角为 608C. 一定是直角三角形 D. 一定是钝角三角形*3. 如图，在ABC中，C70，沿图中虚线截去C，则12（ ）A. 360 B. 250 C. 180 D. 140*4. 已知ABC 中，ABC 和ACB 的平分线交于点 O，则BOC 一定（ ）A. 小于直角 B. 等于直角 C. 大于直角 D. 不能确定*5. 如图ABC 中，BADCBEACF，ABC50，ACB62，则DFE 的大小是（ ）A. 50 B. 62 C. 68 D. 70*6. 如图，在折纸活动中，小明制作了一张ABC 纸片，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，将ABC

14、沿着 DE 折叠压平，A 与 A重合，若A75，则12（ ）A. 150 B. 210 C. 105 D. 75二、填空题二、填空题*7. 如图，已知ABC 的B 和C 的外角平分线交于点 D，A40，那么D_。9*8. 如图，在ABC 中，BC，FDBC，DEAB，AFD158， 则EDF _。*9. 如图，ACD 是ABC 的外角，ABC 的平分线与ACD 的平分线交于点 A1，A1BC 的平分线与A1CD 的平分线交于点 A2，An1BC 的平分线与An1CD 的平分线交于点 An。设A。则：（1）A1 ；（2）An 。三、解答题三、解答题10. 判断适合下列条件的ABC 是锐角三角形、

15、直角三角形还是钝角三角形？（1）A20，B75；（2）AB30，BC30；（3）ABC21 61*11. 一个零件的形状如图，按规定A 应等于 90，B、D 应分别是 20和 30，李叔叔量得BCD142就判定这个零件不合格，你能说出道理吗?*12. 如图，已知在ABC 中，B70，BACBCA32，CDAD 于 D，且ACD35，求BAE 的度数。*13. 如图，点 C 为 RtABE 的边 AE 延长线上的一点，BEAC，点 D 为边 AB 上一点，DC 交 BE10于点 F，已知ADC80，B35，求C 的度数。*14. 如图所示，已知12，34，C32，D28，（1）求P 的度数。（2

16、）请推断P 与C、D 的关系。*15. 已知ABC 中，BAC100。（1）若ABC 和ACB 的平分线交于点 O，如图所示，试求BOC 的大小；（2）若ABC 和ACB 的三等分线（即将一个角平均分成三等份的射线）相交于 O、O1，如图所示，试求BOC 的大小；（3）以此类推，若ABC 和ACB 的 n 等分线自下而上依次相交于 O、O1、O2、，如图所示，试探求BOC 的大小与 n 的关系，并判断当BOC170时，是几等分线的交线所成的角。111. C 解析：利用比例设方程，A、B、D 中都有直角，C 选项中三角相等则每一角为 60，则选C。2. A 解析：题目中隐含的条件为ABC180，

17、将BC3A 代入，则可知A45。3. B 解析：利用整体运用的思想，C70，则1、2 外角的和为 110，12360110250。4. C 解析：ABCACBBAC180，ABCACB180BAC，ABC 和ACB 的平分线交于点 O，则BOC180（180BAC）90BAC，所以选 C。21 215. C 解析：因为DFEACFCAF，BADCBEACF，所以DFEBAC，因为ABC50，ACB62，则BAC180506268。6. A 解析：连接 A A，根据三角形外角的性质，122A，所以12150。7. 70 解析：因为AABCACB180，A40，所以ABCACB140，所以ABC

18、与ACB 的外角和 360140220，因为 CD、BD 是角平分线，所以BCDCBD110，所以D70。8. 68 解析：因为AFD158，所以CFD22，因为 FDBC，所以C68，又因为BC，所以B68，因为 DEAB，所以BDE22，所以EDF180902268。9. （1）， （2） 解析：（1）A1B 是ABC 的平分线，A2B 是A1BC 的平分线，A1BCABC，A1CDACD，又ACDAABC，A1CDA1BCA1，21 21AABC2（A1BCA1） ，A1A，A，A1；21（2）同理可得A2A1 ，所以An。2110. 解：（1）因为C180AB，A20，B75；所以C1

19、80AB180207585，所以三角形为锐角三角形。（2）因为AB30，BC30，所以A30B，CB30，因为ABC180，所以 30BBB30180，所以B60，A90，C30，所以此三角形为直角三角形。（3）因为ABC，所以设Ax，B2x，C6x，因为21 6112ABC180，所以 x2x6x180，所以 x20，所以 6x120，所以该三角形为钝角三角形。11. 解：这个零件不合格。道理如下：延长 DC 交 AB 与点 E，因为DEB 为ADE 的外角，所以DEBAD，因为DCB 为BEC外角，所以DCBCEBB，因为A 应等于 90，B、D 应分别是 20和 30，所以BCD140，

20、所以这个零件不合格。12. 解： B70 （已知） BACBCA110 BAC：BCA3：2（已知） BAC110/5366 BCA110/5244 CDAD（已知） ADC90又ACD35（已知）DAC180ADCACD55BAE180DACBAC18055665913. 解：因为 BEAC，所以AEB90，因为B35，所以A180903555，因为ADC80，所以C180ADCA180805545。14. 解：（1）因为1、C 和3、P 是对顶三角形中的两对角所以，1C3P；因为4、D 和2、P 是对顶三角形中的两对角所以，4D2P所以1C4D3P2P又因为12、34、C32、D28得到32282P所以P30（2）同理：P。2DC15. 解：BAC100，ABCACB80，（1）点 O 是ABC 与ACB 的角平分线的交点，OBCOCB40，BOC140。（2）点 O 是ABC 与ACB 的三等分线的交点，13OBCOCB380BOC3460（3）点 O 是ABC 与ACB 的 n 等分线的交点，OBCOCBBOC180n80 n80当BOC170时，是八等分线的交线所成的角。