基于插值FFT的电力系统谐波分析算法研究.pdf

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1、1基于插值 FFT 的电力系统谐波分析算法研究孙继蕃，王平（河海大学电气工程学院，江苏 南京，210098）摘要：快速傅立叶变换（FFT）在电力系统谐波分析中已经得到了广泛的应用，但直接应用该算法存在较大的误差，不能真实反映电网的谐波状况。本文对基于 Hanning窗插值 FFT 的电力系统谐波分析算法进行了改进，使采样频率更接近于同步采样，减少了频谱泄漏。仿真结果验证了在频率波动下，改进算法有较高的精度。关键词：谐波分析；插值；快速傅立叶变换0 引言随着各种非线性负荷特别是电力电子设备在电力系统中的广泛应用，电网谐波污染日益严重。FFT 算法因其算法简单，有较好的实用性，因此成为当前谐波分析

2、的主要算法，但这种算法需要在完全同步采样的条件下，当信号的测量时间不等于信号周期的整数倍，或当信号含有非整数次谐波时，由传统 FFT 算法得到的各次谐波的频率和真实的谐波频率之间有较大的误差。实际电网频率总会在额定频率附近波动，消除频率同步误差一般有两种方法：一种是由硬件实现同步采样1，在采集系统中加入锁相同步技术，优点是信号处理比较简单，但由于锁相环响应较慢，不能及时跟踪信号频率的快速变化，从而不能实现真正意义的同步采样；另一种方法是通过软件算法解决非同步问题2 4，文献2-4提出了加窗插值 FFT 算法，有效地改善了谐波参数的测量精度。文献5用 FFT 迭代计算实现自适应整周期采样，减少了

3、泄漏误差。本文首先说明了频谱泄漏和栅栏效应产生的原因，然后在详细分析加 Hanning 窗插值 FFT算法的基础上，对插值算法公式进行了修正，仿真结果证明了该算法的有效性。1 频谱泄漏和栅栏效应在电力系统谐波测量中，要处理的信号都是经过采样和 A/D 转换得到的有限长的数字信号，就相当于对无限长的信号乘以一个矩形窗加以截断。时域中的相乘运算相当于在频域中作卷积运算，因此回造成离散傅立叶变换的泄漏现象。设一无限长单一频率信号为：()mjtmmxtA e（1）其傅立叶变换为一条单一的位于m处的谱线：()2()mmmXA（2）实际进行分析时只能取其中一段信号，将()mxt截成长度为 T 的信号可以通

4、过乘以一个矩形窗()Tw t得到：()()()mmTxtxtw t（3）其中矩形窗为1,0()0,TtTw t 其他（4）矩形窗的傅立叶变换为：sin(/2)()exp(/2)/2sin(/2)exp(/2)TTWj TTcTj T（5）由于时域信号相乘的傅立叶变换相当于各自傅立叶变换的卷积，故()2()()2sin()exp()22mmTmmmmXAWdA TcTjT （6）图 1频谱泄漏不计相位，()mX的幅值如图 1 所示。由（6）2式和图 1 可知，()mX是频率中心位于m的一个sinc 函数，它不再是单一的谱线，而是分布于整个频率轴上，能量不再集中，产生了泄漏。更重要的是，在主瓣的周

5、围有许多旁瓣，这些旁瓣会引起不同分量间的干扰。应用FFT进行谐波分析很难做到整数个周期采样，即n d。通常只能按四舍五入的原则，取 相 邻 的 频 率 取 样 点 的 谱 线 值 代 替：()()mmXXn d，即使信号中只含有单一频率。离散傅立叶变换 DFT 也不可能求出信号的准确参数，这样就产生了栅栏效应，如图 2 所示。图 2栅栏效应2 基于 Hanning 窗的插值 FFT 算法2.1 Hanning 窗特性Hanning 窗函数的时域表达式为()0.5 1 cos 2()1Nnw nRnN（7）0,1,2,1nNHanning 窗的 DTFT 为1j2()eNjW eW其中 20.5

6、0.25121RRRWWWNWN（8）式中sin(/2)()sin(/2)RNWN当1N 时，1NN，所以 Hanning 窗谱的幅度函数为 220.50.25RRRWWWWNN（9）由式（9）可以看出，这三部分之和使旁瓣相互抵消，能量更集中于主瓣，但代价是主瓣宽度比矩形窗的主瓣宽度增加一倍，对临近一次谐波的泄漏十分严重，为了避免这个缺点，采样长度至少是信号周期的 2 倍。Hanning 窗的 DFT 为00(1)/0()0.5()0.25(1)(1)j k NNH kHkHkHke（10）式中，0sin()()sin(/)kHkNk N。2.2 插值方法设单一频率信号为(2)()mmjf t

7、mmxtA e（11）可以得到12/)0()()Njnk NmmnXkxn e（12）对于离散频谱，0,1,1kN。设mf在频率00k F和00()kF之间，0k为整数，即00()mfkF01（13）式中0F为频率分辨力，0/sFfN，sf为采样频率，N 为采样点数。非同步采样 DFT 谱值与信号的理想谱值不一样，如图 3 所示，因而产生泄漏。插值方法就是通过对 DFT 的算法结果进行处理，得到接近于真实的频谱。图 3 非同步采样产生泄漏()mxt加 Hanning 窗的 DFT 为000(1)/2()()sin()2(1)mmwmkkjNNmXkA H kkAe（14）在实际应用中采样点数N

8、一般较大，同时较小，sin(/)/NN3sin(sin()sin(/)/NN）上式可简化为02sin()()2(1)mwmXkA（15）同理，0sin()(1)2(1)(2)mwmXkA（16）设00()(1)mwmwXkXk（17）从而可以求得21（18）由式（14）和式（15）可以求得谐波的复制和相位分别为202(1)()sin()mmwAXk（19）0(1)()mmwNangle XkN（20）系统的基波频率1f可由式（13）求得10()/sfkfN（21）这里，1f作为下一次采样频率的参考，新的采样频率修正为10()sfround fN（22）式中，0N为一个周期的采样点数。3 仿真结

9、果及分析本算法对采样频率进行修正，减小了由于非同步采样而产生的频谱泄漏，在此基础上的插值算法有很高的精度。为了验证算法的准确性，假定电网的波形表达式为911()sin(2)mmmx tAmf谐波信号的参数设置如表 1 所示，采样初始频率50 128sfHz，数据长度为 4 个周期 512 点。限于篇幅，表 2 中仅列出了系统频率1f由 50.3Hz波动到 50.4Hz 情况下直接 FFT、加 Hanning 窗插值 FFT 和采样频率修正后改进算法的幅值、相位的计算结果。表 1 谐波信号参数谐波次数 m123456789幅值 Am2201100.8120.650.52相位 m0 20 30 4

10、5 60 70 90 120150表 2 不同算法的结果谐波 m123456789幅值 Am2201100.8120.650.52直接 FFT220.59530.65329.43190.919911.02410.59794.14440.73121.7773插值 FFT199.98381.098910.00670.811312.00190.62745.00320.51292.0013改进 FFT199.99621.019410.00140.798212.00010.60435.00070.50242.0006相位 m0203045607090120150直接 FFT7.1606125.93645

11、4.4104113.730898.1572-160.4078147.7476-114.5163-131.2093插值 FFT-0.014531.717330.045626.978459.986269.662490.1130120.2963-209.7448改进 FFT-0.003722.196630.001739.709659.986868.224290.0036119.0024150.0812由表2可以看出插值FFT 算法能够有效地解决频谱泄漏问题，抑制谐波之间地干扰，即使是幅值较小的偶次谐波，直接 FFT 算法经常被大幅值的奇次谐波的泄漏所淹没，插值 FFT 算法也能算出准确的结果。直接

12、FFT 算法得到的相位误差很大，无法用于谐波分析，插值 FFT 算法计算的相位精度得到显著提高。采样频率修正后谐波的各项参数进一步接近于真实值，在相位的精度上尤为明显。4 结论本文提出的对采样频率进行修正的加 Hanning窗插值 FFT 算法应用于电网谐波测量，减少了非同步采样对谐波分析造成的误差，提高了谐波分析的精度。该方法用于 Blackman 窗或者增加窗函数的宽度能够进一步提高谐波参数的准确性。对于幅值4较小的偶次谐波相位的计算本算法还不够理想，需要进一步研究。参考文献1 高保卫，程红，高毓麟.交流采样中的一种频率跟踪测量方法J.煤矿自动化，1998，(4):25-262 庞浩，李东

13、霞，俎云霄，王赞基.应用 FFT 进行电力系统谐波分析的改进算法J.中国电机工程学报，2003，13(6):50-543 张伏生，耿中行，葛耀中.电力系统谐波分析的高精度 FFT 算法J.中国电机工程学报，1999，19(3):63-664 THOMAS G.Interpolation algorithms for discrete fouriertransformofweighed signalsJ.IEEETrans on PowerDelivery,2001,16(2):160-1645 于达仁，张志强，孙林.用于电网谐波分析的自适应整周期采样算法J.黑龙江电力技术，1997，19(5):260-263作者介绍孙继蕃（1979），男，硕士研究生，主要从事控制理论与控制工程方面的研究。Email：;王平（1962），男，江苏扬州人，副教授，主要从事控制理论与控制工程，电力系统及其自动化方面的研究。Email：