第9章第6节无穷乘积课件.ppt

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1、9.6 无穷乘积无穷乘积称为无穷乘积无穷乘积.称为部分乘积部分乘积.一一.定义定义1/20/202319.6 无穷乘积无穷乘积在第（1）种情况下，称无穷乘积收敛，无穷乘积收敛，并称极限值p为这个无穷乘积的值，记为在第（2）、（3）种情况下，称无穷乘积发散无穷乘积发散.1/20/202329.6 无穷乘积无穷乘积说明：说明：（1）在第（）在第（2）种情况下部分乘积序列）种情况下部分乘积序列极限值极限值p存在，但存在，但p=0，为便于叙述，为便于叙述，也认为这个无穷乘积是发散的也认为这个无穷乘积是发散的.（2）在一个无穷乘积中，只要有一个因数为）在一个无穷乘积中，只要有一个因数为0，部分乘积序列的

2、极限部分乘积序列的极限p=0，所以以后讨论中总是假定所以以后讨论中总是假定1/20/202339.6 无穷乘积无穷乘积例例1：解解:1/20/202349.6 无穷乘积无穷乘积例例2：解：解：反复使用倍角公式，有1/20/202359.6 无穷乘积无穷乘积例例3：无穷乘积与都发散.解：解：第一个部分乘积极限为0，第二个部分乘积无极限.（证毕）（证毕）1/20/202369.6 无穷乘积无穷乘积二二.无穷乘积的性质无穷乘积的性质性质性质1 1：1/20/202379.6 无穷乘积无穷乘积性质性质2:2:（收敛的必要条件）（收敛的必要条件）由性质由性质2 2可知，例可知，例3 3中的两个无穷乘积都

3、发散中的两个无穷乘积都发散.性质性质3:3:则任意增加有限个非零项或任意删去有限个项，则任意增加有限个非零项或任意删去有限个项，不改变原有次序，所得无穷乘积仍收敛不改变原有次序，所得无穷乘积仍收敛.1/20/202389.6 无穷乘积无穷乘积根据性质2和性质3，以后讨论总假定 这启发我们利用已经熟悉的无穷级数无穷级数来讨论无无穷乘积穷乘积的敛散性，并建立几个基本的判别方法.定理定理1 1：并且当满足条件时若级数的和为L，1/20/202399.6 无穷乘积无穷乘积证明：证明：再由指数函数和对数函数的连续性知：推论：推论：1/20/2023109.6 无穷乘积无穷乘积定理定理2 2：证明：证明：1/20/2023119.6 无穷乘积无穷乘积推论：推论：1/20/2023129.6 无穷乘积无穷乘积定理定理3 3：证明：证明：1/20/2023139.6 无穷乘积无穷乘积三三.无穷乘积的绝对收敛无穷乘积的绝对收敛利用乘积和级数之间的关系来建立无穷乘积绝对收敛的概念绝对收敛的概念.称无穷乘积为绝对收敛绝对收敛.绝对收敛绝对收敛乘积具有可交换性，非绝对收敛非绝对收敛级级数数不具有可交换性。1/20/2023149.6 无穷乘积无穷乘积例例4：解：解：例例5：证明：证明：作业：作业：P49 1（2）（）（3），），21/20/202315