_1中值定理.ppt

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1、一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理2.3.1二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理 中值定理 费马费马(fermat)引理引理一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理且 存在证证:设则证毕罗尔（罗尔（Rolle）定理）定理满足:(1)在区间 a,b 上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)使证证:故在 a,b 上取得最大值 M 和最小值 m.若 M=m,则因此在(a,b)内至少存在一点若 M m,则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,不妨设 则至少存在一点使注意注意:1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.例如,则由

2、费马引理得 使2)定理条件只是充分的.本定理可推广为在(a,b)内可导,且在(a,b)内至少存在一点证明提示证明提示:设证 F(x)在 a,b 上满足罗尔定理.OABCabxy 一条连续曲线,除端点外处处有不垂直于x轴的切线,且两端点的纵坐标相等.若定理条件不满足，则结论不一定成立.罗尔定理的几何解释:则在曲线上至少有一点C,在该点处切线水平.例例1.证明方程有且仅有一个小于1 的正实根.证证:1)存在性.则在 0,1 连续,且由介值定理知存在使即方程有小于 1 的正根2)唯一性.假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点但矛盾,故假设不真!设例例2 设且在内可导,证明至少存在一点使提

3、示提示:由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理(1)在区间 a,b 上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使思路思路:利用逆向思维逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,在 a,b 上连续,在(a,b)内可导,且证证:问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立.证毕几何解释几何解释:拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.拉格朗日中值定理又称拉格朗

4、日中值定理又称有限增量定理有限增量定理.拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.微分中值定理微分中值定理推论推论例例3.证明等式证证:设由推论可知 (常数)令 x=0,得又故所证等式在定义域 上成立.自证自证:经验经验:欲证时只需证在 I 上例例4.证明不等式证证:设中值定理条件,即因为故因此应有三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理分析分析:及(1)在闭区间 a,b 上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使满足:要证证证:作辅助函数且使即由罗尔定理知,至少存在一点思考思考:柯西定理的下述证法对吗?两个 不一定相同错错!上

5、面两式相比即得结论.柯西定理的几何意义柯西定理的几何意义:注意:弦的斜率切线斜率例例5.设至少存在一点使证证:结论可变形为设则在 0,1 上满足柯西中值定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点 ,使即证明内容小结内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论关键关键:利用逆向思维设辅助函数费马引理思考与练习思考与练习1.填空题填空题1)函数在区间 1,2 上满足拉格朗日定理条件,则中值2)设有个根,它们分别在区间上.方程2.若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.提示提示:设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件.备用题备用题求证存在使1.设 可导，且在连续，证证：因此至少存在显然在 上满足罗尔定理条件,即设辅助函数使得设 证明对任意有证证：2.不妨设