02汇交力系.ppt

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1、第二章 汇交力系现实生活中往往有许多力的作用线汇交于一点。我们把这样的力系称为汇交力系。合成设F1、F2、F3和F4为一组汇交力系作用于刚体上。xyzF1F2F3F4F1F2F3F4R12R123RabcdeF3R12F3R12F3R12R123R123R123R123F4F4F4F4O O21 汇交力系合成与平衡的几何法汇交力系合成与平衡的几何法F1F2F3F4R12R123RabcdeF3R12F3R12F3R12R123R123R123R123F4F4F4F4R=R123+F4=R12+F3+F4=F1+F2+F3+F4 推广得：R=F1+F2+FN=Fi 把各力矢首尾相接，把各力矢首尾

2、相接，形成一条有向折线段（称形成一条有向折线段（称为力链）。为力链）。加上一封闭边，加上一封闭边，就得到一个多边形，称为就得到一个多边形，称为力多边形。力多边形。空间汇交力系和平面情形类似，在理论上也可空间汇交力系和平面情形类似，在理论上也可以用力多边形来合成。但空间力系的力多边形为空以用力多边形来合成。但空间力系的力多边形为空间图形。间图形。给实际作图带来困难。给实际作图带来困难。xyzF1F2F3F1F2F3R12abcdF4R123F4设F1、F2、F3和F4为作用于刚体上的一组汇交力系，使刚体平衡。由二力平衡条件知：要使刚体保持平衡，需满足 R123+F4=0 又因为 R123=F1+

3、F2+F3所以 R=R123+F4=F1+F2+F3+F4=0 aO O平衡F1F2F3R12abcdF4R123a 在以上几何法求力系的合力中，合力为在以上几何法求力系的合力中，合力为零意味着力多边形自行封闭。所以平面汇交零意味着力多边形自行封闭。所以平面汇交力系平衡的必要与充分的几何条件是：力系平衡的必要与充分的几何条件是：力多力多力多力多边形自行封闭。或：力系中各力的矢量和等边形自行封闭。或：力系中各力的矢量和等边形自行封闭。或：力系中各力的矢量和等边形自行封闭。或：力系中各力的矢量和等于零。于零。于零。于零。A A6060P PB B3030a aa aC C(a)(a)N NB B(

4、b)(b)B BN NA AD DA AC C60603030P PE EP PN NB BN NA A60603030H HK K(c)(c)解：解：(1)(1)取梁取梁AB AB 作为研究对象。作为研究对象。(4)(4)解出：解出：N NA A=P=Pcos30cos30=17.3kN17.3kN，N NB B=P=Psin30sin30=10kN10kN(2)(2)画出受力图。画出受力图。(3)(3)应用平衡条件画出应用平衡条件画出P P、N NA A 和和N NB B 的闭合力三角形。的闭合力三角形。例题例题 2-1 2-1 水平梁水平梁AB AB 中点中点C C 作用着力作用着力P

5、P，其大小等于其大小等于20kN20kN，方方向与梁的轴线成向与梁的轴线成6060角，支承情况如图角，支承情况如图(a)(a)所示，试求固定铰链支所示，试求固定铰链支座座A A 和活动铰链支座和活动铰链支座B B 的反力。梁的自重不计。的反力。梁的自重不计。几何法解题步骤：几何法解题步骤：选研究对象；选研究对象；作出受力；作出受力；作力多边形，选择适当的比例尺；作力多边形，选择适当的比例尺；求出未知数。求出未知数。几何法解题不足：几何法解题不足：精度不够，误差大精度不够，误差大 作图要求精作图要求精 度高；度高；不能表达各个量之间的函数关系。不能表达各个量之间的函数关系。反之，当投影反之，当投

6、影F Fx x 、F Fy y 已知时，则可求出力已知时，则可求出力 F F 的大小和方向：的大小和方向：1 1、力在坐标轴上的投影：、力在坐标轴上的投影：结论：力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与结论：力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与该轴正向间该轴正向间夹角的余弦。夹角的余弦。y y b b a a a ab bF FO Ox xB BF Fx xF Fy y22汇交力系合成与平汇交力系合成与平的解析法的解析法 在空间情况下，力在空间情况下，力F 在在x 轴上投影，与平面情轴上投影，与平面情形相似，等于这个力的模乘以这个力与形相似，等于这个力的模乘以这个力与x轴正向间轴正向间夹角夹角的余

7、弦。的余弦。x x x xa ab bA AB BF Fa a b b 由力矢由力矢F F 的始端的始端A A 和末端和末端B B向投影平面向投影平面oxyoxy引引垂线，由垂足垂线，由垂足A A到到B B所构成的矢量所构成的矢量A A B B ，就是就是力在平面力在平面OxyOxy上的投影记为上的投影记为F Fxyxy。即：即：注意：注意：力在轴上投影是代数值。力在轴上投影是代数值。力在平面上的投影是矢量。力在平面上的投影是矢量。2 2、力在平面上的投影：、力在平面上的投影：x xy yO OA AB BA AB BF FF Fxyxy3 3、力在直角坐标轴上的投影：、力在直角坐标轴上的投影

8、：(1)(1)、一次投影法（直接投影法）、一次投影法（直接投影法）(3)、二次投影法（间接投影法）当力与各轴正向夹角不易确定时，可先将 F 投影到xy面上，然后再投影到 x、y 轴上，即FxFyFz 引入引入x、y、z 轴单位失轴单位失 。则可写为：。则可写为：4 4、力的解析表示式：、力的解析表示式：若以若以 表示力沿直角坐标轴的正交分量，表示力沿直角坐标轴的正交分量，则：则：所以：所以：A AF F2 2F F1 1(a)(a)F F3 3F F1 1F F2 2R RF F3 3x xA AB BC CD D(b)(b)合力投影定理：合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于它合力在任一轴

9、上的投影，等于它的各分力在同一轴上的投影的代数和的各分力在同一轴上的投影的代数和。证明：证明：以三个力组成的汇交力系为例。设有三个以三个力组成的汇交力系为例。设有三个共点力共点力F F1 1、F F2 2、F F3 3 如图。如图。5 5、汇交力系合成的解析法：、汇交力系合成的解析法：合力合力 R 在在x 轴上投影：轴上投影：F F1 1F F2 2R RF F3 3x xA AB BC CD D(b)(b)推广到任意多个推广到任意多个力力F1、F2、Fn 组成的平面组成的平面共共点力系，可得：点力系，可得：各力在各力在x 轴上投影：轴上投影：a ab bc cd d 合力的大小合力的大小合力

10、合力R R 的方向余弦的方向余弦根据合力投影定理得根据合力投影定理得6 6、汇交力系平衡的充要解析条件：、汇交力系平衡的充要解析条件：力系中所有各力在各个坐标轴中每一轴上的力系中所有各力在各个坐标轴中每一轴上的投影的代数和分别等于零。投影的代数和分别等于零。空间汇交力系的平衡方程空间汇交力系的平衡方程:平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系的平衡方程:解：解：(1)(1)取制动蹬取制动蹬ABD ABD 作为研究对象。作为研究对象。例题例题 2-2 2-2 图所示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动图所示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力蹬上的力P P=212N=212N，方向与水平面成方

11、向与水平面成=45=45 角。当平衡时，角。当平衡时，BCBC水水平，平，AD AD 铅直，试求拉杆所受的力。已知铅直，试求拉杆所受的力。已知EAEA=24cm=24cm，DEDE=6cm=6cm 点点E E在铅直线在铅直线DADA上上，又，又B B、C C、D D 都是光滑铰链，机构的都是光滑铰链，机构的自重不自重不计计。O O P PA AS SB BB BN ND DD D(b)(b)P P 24246 6A AC CB BO OE ED D(a)(a)(3)(3)列出平衡方程：列出平衡方程：O O4545P PF FB BF FD DD D(b)(b)x xy y又又(2)(2)画受力

12、图画受力图联立求解，得联立求解，得3030B BP PA AC C3030 a a 解：解：1.1.取滑轮取滑轮B B 轴销作为研究对象。轴销作为研究对象。2.2.画出受力图（画出受力图（b)b)。S SBCBCQ QS SABABP Px xy y30303030 b b B B例题例题 2-3 2-3 利用铰车绕过定滑轮利用铰车绕过定滑轮B B的绳子吊起一重的绳子吊起一重P=P=20kN20kN的的货物，货物，滑轮由两端铰链的水平刚杆滑轮由两端铰链的水平刚杆AB AB 和斜刚杆和斜刚杆BC BC 支持于点支持于点B B(图图(a a)。不计铰车的自重，试求杆不计铰车的自重，试求杆AB AB

13、 和和BC BC 所受的力。所受的力。3.3.列出平衡方程：列出平衡方程：4.4.联立求解，得联立求解，得 反力反力S SAB AB 为负值，说明该力实际指向与图上假为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相反。即杆定指向相反。即杆AB AB 实际上受拉力。实际上受拉力。S SBCBCQ QS SABABP Px xy y30303030 b b B B例题例题 2-4 2-4 如图所示，如图所示，用起重机吊起重物。起用起重机吊起重物。起重杆的重杆的A A端用球铰链固定端用球铰链固定在地面上，而在地面上，而B B端则用绳端则用绳CBCB和和DBDB拉住，两绳分别拉住，两绳分别系在墙上的系在墙上的

14、C C点和点和D D点，点，连线连线CDCD平行于平行于x x轴。已知轴。已知CE=EB=DECE=EB=DE,角角=30=30o o，CDBCDB平面与水平面间的夹平面与水平面间的夹角角EBFEBF=30=30o o,重物重物G=G=10 10 kNkN。如不计起重杆的重如不计起重杆的重量量,试求起重杆所受的力试求起重杆所受的力和绳子的拉力。和绳子的拉力。1.1.取杆取杆ABAB与重物为研究对象，受力分析如图。与重物为研究对象，受力分析如图。解：解：x xz zy y3030o o A AB BD DGC CE EF FF1F2FAz zy y3030o o A AB BGE EF FF1F

15、A其侧视图为其侧视图为3.联立求解。联立求解。2.列平衡方程。列平衡方程。z zy y3030o o A AB BG GE EF FF F1 1F FA Ax xz zy y3030o o A AB BD DGC CE EF F投影法的符号法则：投影法的符号法则：当由平衡方程求得某一未知力的值为负时，表示当由平衡方程求得某一未知力的值为负时，表示原先假定的该力指向和实际指向相反。原先假定的该力指向和实际指向相反。解析法求解共点力系平衡问题的一般步骤解析法求解共点力系平衡问题的一般步骤:1.选分离体，画受力图。分离体选取应最好含题设选分离体，画受力图。分离体选取应最好含题设 的已知条件。的已知条

16、件。2.建立坐标系。建立坐标系。3.将各力向各个坐标轴投影，并应用平衡方程将各力向各个坐标轴投影，并应用平衡方程F Fx x=0 0，F Fy y=0 0，F Fz z=0 0，求解求解。解题技巧及说明：解题技巧及说明：1 1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用殊时用 几几 何法（解力三角形）比较简便。何法（解力三角形）比较简便。2 2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊，都用解析法。特殊，都用解析法。3 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中、投影轴常选择与未知力垂直，最

17、好使每个方程中只有一个未知数。只有一个未知数。4 4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。、对力的方向判定不准的，一般用解析法。5 5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，一般负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。汇交力系平衡的解析条件：X i=0;Y i=0;Zi=0 推广前述的证明可得汇交力系平衡的充要条件：R=F1+F2+FN=0 即 F i=0汇交力系平衡的几何条件：力多边形自行封闭。结结 论论由 R=0

18、 x xy yO O平面汇交力系的特殊情形1、力在轴上的投影 根据力在某轴上的投影等于力的模乘以力与投影轴正向间夹角的余弦。对于正交轴 Oxy，有 F=X i+Y j必须注意，力在轴上的投影 X、Y 为代数量（力与轴间的夹角为锐角时，其值为正），而力沿两轴的分量是矢量。在两轴相互不正交时，分力在数值上不等于投影。2、平面问题的平衡条件 X=0，Y=0事实上，两坐标轴并不要求一定相互垂直，只要两轴不平行即可。（思考）X XY YF Fy yF Fx xF F分力分力投影投影X XY YF Fy yF Fx x分力分力投影投影求图示结构支座 A、B 的反力。各杆的自重忽略，且 ABC=BAC=30

19、。例2-5C CA AB BP PF FF FB BF FA A解：法法 一，取坐标轴如图并做受力分析一，取坐标轴如图并做受力分析 X X=0,=0,F FA A cos 30cos 30 F FB B cos 30+cos 30+F F=0 =0 Y Y=0,(=0,(F FA A+F FB B )Sin30)Sin30 P P =0 =0y yx xF FB BF FA AF FB BF FA AF FB BF FA A联立求解，便可解出联立求解，便可解出 F FA A 和和 F FB B（这里暂不解）（这里暂不解）C CA AB BP PF FF FB BF FA A例2-5续法法 二，二，取坐标轴如图x x X X=0,=0,F FB B cos30cos30 P P cos30cos30 F F cos60=0 cos60=0 Y Y=0,=0,F FA A cos30+cos30+F F cos60 cos60 P P cos30=0 cos30=0y y显见，显见，x x 和和 y y 轴并不相互正交，而求解反而方便了。轴并不相互正交，而求解反而方便了。